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Diferenciabilidad Derivabilidad y diferenciabilidad Diferenciabilidad gráficamente Diferenciabilidad y continuidad Diferenciabilidad/Introducción a la.

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Presentación del tema: "Diferenciabilidad Derivabilidad y diferenciabilidad Diferenciabilidad gráficamente Diferenciabilidad y continuidad Diferenciabilidad/Introducción a la."— Transcripción de la presentación:

1 Diferenciabilidad Derivabilidad y diferenciabilidad Diferenciabilidad gráficamente Diferenciabilidad y continuidad Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad.

2 Introducción Hemos definido anteriormente la derivada de una función como el límite del promedio de cambio de la función. Si el error que se comete al aproximar una función es despreciable, podemos decir que la función es diferenciable. x0x0 x 0 +h f 0.77

3 Derivabilidad y diferenciabilidad (1) Definición 1

4 Derivabilidad y diferenciabilidad (2) Definición 2 Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad.

5 Derivabilidad y diferenciabilidad (3) Observación Utilizando las notaciones y = f(x), x = x – x 0, y = y – y 0 = f(x) – f(x 0 ), las condiciones que deben cumplir a y la función se pueden escribir como y = ax + x (x ). Si (x ) 0 cuando x 0, entonces f es diferenciable en x = x 0. Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad.

6 Derivabilidad y diferenciabilidad (4) Teorema Una función f es diferenciable en x = x 0 si y sólo si f es derivable en x = x 0. La diferencial a de f en x = x 0 es la derivada de f en x = x 0. Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad.

7 Derivabilidad y diferenciabilidad (5) Teorema Partiendo de que y = f(x) es diferenciable en x = x 0 y que la diferencial de f en x = x 0 es a. Entonces, y = ax + x (x ) con (x ) 0 cuando x 0. La diferencial de f en x = x 0 es igual a f(x 0 ). Demostración De ahí, Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad.

8 Derivabilidad y diferenciabilidad (6) Teorema Partiendo de que y = f(x) es derivable en x = x 0. Entonces Existiendo el límite y siendo finito. La diferencial de f en x = x 0 es igual a f(x 0 ). Demostración La función se define como (x ) = y/ x – f(x 0 ). Entonces y = f(x 0 )x + x (x ) mediante la definición de, entonces (x ) 0 cuando x 0 ya que y/ x f(x 0 ) cuando x 0. Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad.

9 Aproximación lineal de funciones 0.5 < x < < x < < x < 1.1 El incremento x (x ) como definición de diferenciabilidad es el error que se comete cuando se aproxima la gráfica de una función por su recta tangente.

10 Diferenciabilidad/Introducción a la Diferenciabilidad. Diferenciabilidad y continuidad Demostración Teorema Toda función diferenciable f es continua. Si f es diferenciable en x 0, entonces f(x) – f(x 0 ) = f(x 0 )(x – x 0 ) + (x – x 0 ) (x – x 0 ). Por tanto Por lo que f es continua en x = x 0. es decir,

11 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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