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1JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Dada una función cualquiera f(x), se define su tasa de variación media en un intervalo cerrado [a,

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1 1JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Dada una función cualquiera f(x), se define su tasa de variación media en un intervalo cerrado [a, b] como el cociente entre el incremento de la función en dicho intervalo y el incremento de la variable independiente: Se observa que la TVM coincide con el valor de la pendiente de la recta secante a f(x ) en los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) f(a) f(b) ab Para calcular la tasa de variación instantánea de la función en a, calcularemos el límite:

2 JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ2 La TVI(a) coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en x = a f(a) a Definimos la derivada de una función en el punto de abscisa x = a como el límite: f(a) coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en el punto (a, f(a))

3 JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ3 Ejemplo: Calcular el valor de la pendiente de la recta tangente a la función f(x) = x 2 – 1 en x = 1 La pendiente de la recta tangente a la función en el punto (a, f(a)) coincide con la derivada de la función en dicho punto: Luego la pendiente de la recta tangente en x = 1 es f(1) = 2

4 JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ4 La función derivada de una función y=f(x), es una función que asocia a cada valor de la variable x, el valor de la derivada en ese punto. La representamos por f'(x) o y' y viene dada por : FUNCIÓN derivada Ejemplo: Hallar la derivada de la función: f(x) = x 2 - 2x

5 JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ5 TABLA DE DERIVADAS y = k y = 0 y = x y = 1 y = x n y = n x n - 1 y = e x y = a x y = a x lna y = sen x y = cos x y = cos x y = - sen x y = tag x y = sec 2 x y = u n y = n u n – 1 · u y = e u y = e u · u y = a u y = a u lna · u y = sen u y = cos u · u y = cos u y = - sen u · u y = tag u y = sec 2 u · u Derivadas de la función compuesta Para abreviar, hacemos f(x) = u

6 JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ6 REGLAS DE DERIVACIÓN DERIVADA DE LA SUMA DE FUNCIONES: Sea y = f(x) + g(x) y = f (x) + g(x) y = x 3 + x y = 3x DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES: Sea y = f(x) · g(x) y = f (x) · g(x) + f(x) · g (x) y = e x. x 4 y = e x x 4 + e x 4x 3 = e x x 3 ( x + 4) DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN: Sea y = k · f(x) y = k · f(x) y = 4 · sen x y = 4 · cos x

7 JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ7 DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA:


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