La descarga está en progreso. Por favor, espere

La descarga está en progreso. Por favor, espere

VECTORES EN EL ESPACIO Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B) Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B) Semestre 99-00 B.

Presentaciones similares


Presentación del tema: "VECTORES EN EL ESPACIO Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B) Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B) Semestre 99-00 B."— Transcripción de la presentación:

1 VECTORES EN EL ESPACIO Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B) Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B) Semestre B

2 Algebra lineal Vectores en el espacio O Eje X Eje Y Eje Z Sistema de coordenadas de la mano derecha

3 Algebra lineal Vectores en el espacio Eje Y Eje X Eje Z u=(a,b,c) son las coordenadas del punto P y del vector u u a b Dado un vector u se le asocia el punto P(a,b,c) así: c

4 Algebra lineal Vectores en el espacio Eje Y Eje X Eje Z u=(a,b,c) u a b c Dado (a,b,c) 3 se le asocia el vector u así:

5 Algebra lineal Vectores en el espacio Punto P en el espacio (a,b,c) 3 Vector u=OP desde el origen hasta P Esta correspondencia se llama: Sistema de coordenadas rectangulares

6 Algebra lineal Vectores en el espacio Eje X Plano XY={(x,y,z) 3 / z=0} Eje Y Eje Z O

7 Algebra lineal Vectores en el espacio Plano XZ= {(x,y,z) 3 / y=0} Eje X Eje Z O Eje Y

8 Algebra lineal Vectores en el espacio Plano YZ={(x,y,z) 3 / x=0} O Eje Y Eje Z Eje X

9 Algebra lineal Vectores en el espacio Sean u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) vectores en el espacio y un número real. Se define el vector: suma u+v como u+v= (u1+ v1, u2+ v2, u3+v3) producto por un escalar u como u=(au1, au2, au3).

10 Algebra lineal Vectores en el espacio La magnitud o norma de un vector u=(u 1, u 2,u 3) es su longitud, es decir, de acuerdo al teorema de Pitágoras. Un vector de norma 1 se llama vector unitario

11 Algebra lineal Vectores en el espacio a) Encuentre el vector de norma 4 en la dirección del vector (2,-2,-1) Ejemplo Nº1 b) Encuentre el vector unitario que forma un ángulo de /4 con el eje X

12 Algebra lineal Vectores en el espacio Solución Nº1 por lo tanto (2,-2,-1) es el vector buscado a)

13 Algebra lineal Vectores en el espacio b) Hay infinitos vectores de norma 1, que forman un ángulo de /4 con el eje X. Eje Y Eje X Eje Z

14 Algebra lineal Vectores en el espacio Por lo tanto en 3 se define una dirección como un vector unitario. u=(a,b,c) unitario Eje X Eje Y Eje Z u a= cos b= cos c= cos cos 2 +cos 2 +cos 2 =1,, son los ángulos directores

15 Algebra lineal Vectores en el espacio Se define el producto interior o producto escalar de dos vectores u=(u 1,u 2,u 3 ) y v=(v 1,v 2,v 3 ) como: u.v=u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3 Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v. Producto escalar

16 Algebra lineal Vectores en el espacio Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o. Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de /2 Producto escalar Eje X Eje Y Eje Z /2

17 Algebra lineal Vectores en el espacio Interpretación geométrica: Teorema: Sean u y v vectores no nulos y el ángulo entre ellos, entonces v u Proy v u= u cos

18 Algebra lineal Vectores en el espacio Teorema: v u Proy v u Sea v un vector no nulo, entonces para cualquier vector u se tiene que es un vector ortogonal a v w= w=u-proy v u

19 Algebra lineal Vectores en el espacio Prueba del Teorema: Por lo tanto w v w.v=

20 Algebra lineal Vectores en el espacio a) Calcule la proyección de u=(2,3,-1) sobre v=(2,-1,3). Ejercicio Nº2 c) Encuentre todos los vectores ortogonales a (1,-1,2) y (0,1,-2) b) Sean u=(1,0,0), v=(0,1,1) y w=(3,0,0). Encuentre el ángulo entre u y v, u y w, v y w.

21 Algebra lineal Vectores en el espacio El producto vectorial o producto cruz fue definido por Hamilton (1848) y solo está definido para 3. Es un producto de vectores en 3 cuyo resultado es un vector perpendicular a ambos factores, de manera que se mantenga el sistema derecho Producto vectorial Primero se define en los vectores canónicos i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)

22 Algebra lineal Vectores en el espacio ixi=0 jxj=0 kxk=0 ixj=k jxi=-k kxi=j ixk=-j jxk=i kxj=-i Producto vectorial u= ai+bj+ck v= xi+yj+zk uxv (bz-cy)i- (az-cx)j +(ay-bx)k

23 Algebra lineal Vectores en el espacio Producto vectorial Una regla nemotécnica para recordar la definición de producto vectorial es escribir uxv como el determinante : y calcular el mismo por cofactores de la primera fila uxv=

24 Algebra lineal Vectores en el espacio Producto vectorial Teorema: Si es el ángulo entre los vectores u y v, entonces Prueba:

25 Algebra lineal Vectores en el espacio Producto vectorial Teorema: Sean u,v,w vectores en 3 y un número real, entonces: ux0 = 0xu = 0 uxv = - vxu (propiedad anticonmutativa) ( u)xv = (uxv) = ux( v) ux(v+w) = uxv + uxw (propiedad distributiva) u.(uxv) = v.(uxv) = 0, es decir, u uxv, v uxv uxv = 0 si y solo si u||v. (uxv).w = u.(vxw) (producto triple) Prueba: Use MATLAB

26 Algebra lineal Vectores en el espacio Interpretación geométrica del producto cruz Area del paralelogramo generado por los vectores u y v = uxv Eje Z Eje Y Eje X u sen u v Area= v u sen uxv

27 Algebra lineal Vectores en el espacio Interpretación geométrica del producto cruz Volumen del paralelepípedo generado por los vectores u, v y w= |w.(uxv)| Eje Z Eje Y Eje X u v w Area de la base uxv Volumen |uxv|Proy uxv w

28 Algebra lineal Vectores en el espacio Solución Nº2 Proy v u= u.v=0, v.w=0, de donde u v y v w (forman un ángulo de /2). u.w=3,, por lo tanto u.w= de donde u w y el ángulo que forman es cero ya que tienen la misma dirección

29 Algebra lineal Vectores en el espacio Solución Nº2 u=(a,b,c) es ortogonal a (1,-1,2) y (0,1,-2) si a-b+2c=0 y b-2c=0 Sistema homogéneo cuya matriz asociada es Solución: a=0; b=2t; c=t, t, es decir, todos los vectores de la forma (0,2t,t).


Descargar ppt "VECTORES EN EL ESPACIO Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B) Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B) Semestre 99-00 B."

Presentaciones similares


Anuncios Google