Valores y vectores propios

Presentación del tema: "Valores y vectores propios"— Transcripción de la presentación:

1 Valores y vectores propios
Consideremos un espacio vectorial (V,+,K,·) y un endomorfismo f:V ⟶ V Definición: El escalar λ∈K es un valor propio de f ⟺existe un vector no nulo x∈V, tal que f(x)=λx Todo vector no nulo que satisface la condición anterior se llama vector propio de f asociado al valor propio de λ . En consecuencia un vector propio de un endomorfismo es un vector no nulo cuya imagen es un múltiplo escalar del mismo.

2 VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ
El escalar λ es un valor propio de la matriz A∈ Kⁿ ̽ⁿ Si y solo si existe un vector no nulo X∈ Kⁿ ̽ⁿ Tal que AX=λX Un vector no nulo que satisfaga la relación AX=λX Se llama vector propio de A asociado al valor propio λ Afirmamos entonces que un vector propio de una matriz A∈ Kⁿ ̽ⁿ es un vector propio de la Transformación lineal de Kⁿ en Kⁿ representada Por A en la base canónica.

3 TEOREMA DE LAPLACE Un determinante es igual a la suma algebraica de los productos de cada uno de los elementos que forman una de sus líneas por sus respectivos adjuntos .

4 BASE CANÓNICA Para simplificar los cálculos de vectores en R³ utilizamos como base {i⃗ ,j⃗, k⃗} se denomina base canónica y sus componentes son : i⃗=(1,0,0) ; j⃗=(0,1,0) ;k⃗=(0,0,1) los valores de i⃗ ,j⃗, k⃗ cumplen las siguientes propiedades : a)Los tres vectores son linealmente independiente. b)Cualquier vector en R³ se pude expresar fácilmente como una combinación lineal de dichos vectores . c) Las componentes del vector son iguales a sus coordenadas respecto a la base canónica

5 Teorema de cayley Toda ecuación cuadrada satisface
El teorema de Carley – Hamilton , afirma que toda matriz cuadrada satisface su ecuación característica, es decir , si tenemos una matriz A su ecuación característica es el determinante D( A – λI) = 0 y se puede expresar como un polinomio λ de potencia n Toda ecuación cuadrada satisface

6 DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL
Se denomina dimensión de un espacio vectorial al numero máximo de vectores linealmente independientes que puede tener un conjunto

7 BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL
La base de un espacio vectorial es el conjunto de vectores linealmente independiente que se elige para expresar cualquier vector de dicho espacio como una combinación lineal única de los vectores que forman la base

8 VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES
Es cuando se cumple que la combinación lineal nula sea trivial .