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VECTORES EN EL PLANO IES LOS PEDROCHES (Pozoblanco – Córdoba) IES LOS PEDROCHES (Pozoblanco – Córdoba) Curso 2003-04.

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1 VECTORES EN EL PLANO IES LOS PEDROCHES (Pozoblanco – Córdoba) IES LOS PEDROCHES (Pozoblanco – Córdoba) Curso

2 Algebra lineal Vectores en el plano El concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio PQ Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido con punto inicial P y punto final Q

3 Algebra lineal Vectores en el plano RS PQ S R La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por Vectores de la misma magnitud

4 Algebra lineal Vectores en el plano La dirección del vector viene dada por el punto inicial y el punto final. En este sentido Vectores de la misma dirección S R Q P S R S R Vectores en direcciones distintas P Q

5 Algebra lineal Vectores en el plano Vectores Equivalentes Q P Tienen la misma magnitud y dirección S R Definición Geométrica Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes

6 Algebra lineal Vectores en el plano O Eje x Eje y Representante del vector por el origen de coordenadas

7 Algebra lineal Vectores en el plano (a,b) son las coordenadas del vector u y también del punto P u a b A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así: P(a,b) Eje Y O Eje X

8 Algebra lineal Vectores en el plano u=(a,b) Dado (a,b) 2 se le asocia el vector u así: u a b P(a,b) Eje Y O Eje X Definición algebraica Un vector es un par ordenado de números reales

9 Algebra lineal Vectores en el plano Punto P en el plano (a,b) 2 Vector u=OP desde el origen hasta P Esta correspondencia se llama: Sistema de coordenadas rectangulares

10 Algebra lineal Vectores en el plano Magnitud o módulo de un vector u El vector nulo (0,0) no tiene dirección Dirección de u Angulo positivo que forma con el eje X u a b (a,b) Eje Y O Eje X Un vector de módulo uno se llama unitario

11 Algebra lineal Vectores en el plano Operaciones con vectores Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el plano y un número real. Se define el vector: suma u+v como u+v= (x+a, y+b) producto por un escalar u como u=( x, y).

12 Algebra lineal Vectores en el plano Operaciones con vectores Si u=(x,y), v=(a,b), pruebe gráficamente que u+v=(x+a,y+b) Eje Y O Eje X u+ v u+ v u v

13 Algebra lineal Vectores en el plano Operaciones con vectores u+v=(x+a,y+b) a y O Eje Y Eje X u+ v u+ v u v ax y b b b x x

14 Algebra lineal Vectores en el plano Operaciones con vectores Si u=(x,y), pruebe gráficamente que u=( x, y) Eje Y O Eje X u u >0 u <0

15 Algebra lineal Vectores en el plano Operaciones con vectores u=( x, y) u u O Eje Y Eje X x y Triángulos semejantes y x ? ¿

16 Algebra lineal Vectores en el plano Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es combinación lineal de los vectores i,j Eje Y O Eje X u x y i j xi yj

17 Algebra lineal Vectores en el plano Producto escalar Primero se define en los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) como i.i=j.j=1 i.j=j.i=0

18 Algebra lineal Vectores en el plano Se define el producto interior o producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como: u.v=ax+by Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo no negativo mas pequeño entre u y v. Producto escalar

19 Algebra lineal Vectores en el plano Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o. Dos vectores son ortogonales si forman un ángulo de /2 Producto escalar Eje X Eje Y /2

20 Algebra lineal Vectores en el plano Propiedades del producto escalar Teorema: Sean u,v vectores en 2 y un número real, entonces: u.0 = 0 u.v = v.u (propiedad conmutativa) ( u).v = (u.v) = u.( v) u.(v+w) = u.v + u.w (propiedad distributiva)

21 Algebra lineal Vectores en el plano Interpretación geométrica: Teorema: Sean u y v vectores no nulos y el ángulo entre ellos, entonces v u u cos w=


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