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Vectores CAPÍTULO 7. Contenidos 7.1 Vectores en 2 Dimensiones 7.2 Vectores en 3 Dimensiones 7.3 Producto Escalar 7.4 Producto Vectorial 7.5 Rectas y Planos.

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1 Vectores CAPÍTULO 7

2 Contenidos 7.1 Vectores en 2 Dimensiones 7.2 Vectores en 3 Dimensiones 7.3 Producto Escalar 7.4 Producto Vectorial 7.5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones 7.6 Espacios Vectoriales 7.7 Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt

3 7.1 Vectores en 2 Dimensiones Repaso de Vectores Vuelva a la Fig 7.1 después de la Fig 7.6.

4 Fig 7.1 (Vectores geométricos)

5 Fig 7.2 (Vectors equivalentes)

6 Fig 7.3 (Vectores paralelos)

7 Fig 7.4 (suma)

8 Fig 7.5 (resta)

9 Fig 7.6 (vectores de posición)

10 Ejemplo 1 Observe la Fig 7.7. Fig 7.7

11 Sea a =, b = vectores en R 2 (i) Suma: a + b = (1) (ii) Producto por un escalar: ka =, k es un escalar(2) (iii)Igualdad: a = b si y sólo si a 1 = b 1, a 2 = b 2 (3) DEFINICIÓN 7.1 Suma, Producto por un Escalar, Igualdad a – b = (4)

12 Solución Gráfica Fig 7.8 ilustra las solucones gráficas de suma y resta de dos vectores.

13 Ejemplo 2 Si a =, b =, hallar a + b, a b, 2a + 3b. Solución Usando (1), (2), (4), tenemos

14 Propiedades (i) a + b = b + a (ii) a + (b + c) = (a + b) + c (iii) a + 0 = a (iv) a + (a) = 0 (v) k(a + b) = ka + kbk escalar (vi) (k 1 + k 2 )a = k 1 a + k 2 ak 1, k 2 escalares (vii) k 1 (k 2 a) = (k 1 k 2 )ak 1, k 2 escalares (viii) 1a = a (ix) 0a = 0 = 0 =

15 Longitud, Norma a =, entonces Naturalmente, tenemos ||a|| 0, ||0|| = 0

16 Vector Unitaros Un vector cuya norma vale 1 se denomina vector unitario. u = (1/||a||)a es un vector unitario, puesto que

17 Ejemplo 3 Dado a =, el vector unitario en la misma dirección u es y

18 Los vectores i, j Si a =, entonces (5) Sea i =, j =, entonces (5) se transforma en a = a 1 i + a 2 j(6)

19 Fig 7.10

20 Ejemplo 4 (i) = 4i + 7j (ii) (2i – 5j) + (8i + 13j) = 10i + 8j (iii) (iv) 10(3i – j) = 30i – 10j (v) a = 6i + 4j, b = 9i + 6j son paralelos y b = (3/2)a

21 Ejemplo 5 Sea a = 4i + 2j, b = –2i + 5j. Dibujar a + b, a – b Solución Fig 7.11

22 7.2 Vectores en 3 Dimensiones Repaso Vualva a la Fig 7.22 después de la Fig Fig 7.22

23 Fig 7.23

24 Fig 7.24

25 Ejemplo 1 Represente los puntos (4, 5, 6) y (2, 2, 0). Solución Fig 7.25.

26 Formula de Distancia (1) Fig 7.26

27 Ejemplo 2 Hallar la distancia entre (2, 3, 6) y (1, 7, 4) Solución

28 Formula del Punto Medio (2)

29 Ejemplo 2 Hallar el punto medio (2, 3, 6) y (1, 7, 4) Solución De (2), tenemos

30 Vectores en 3 Dimensiones Fig 7.27.

31 Sea a =, b = en R 3 (i) a + b = (ii) ka = (iii) a = b si y sólo si a 1 = b 1, a 2 = b 2, a 3 = b 3 (iv) –b = (1)b = (v) a – b = (vi) 0 = (vi) DEFINICIÓN 7.2 Definiciones en 3 Dimensiones

32 Fig 7.28

33 Ejemplo 4 Hallar el vector que va de (4, 6, 2) a (1, 8, 3) Solución

34 Ejemplo 5 De la Definición 7.2, tenemos

35 Los vectores i, j, k i =, j =, k = a = = a 1 i + a 2 j + a 3 j

36 Fig 7.29

37 Ejemplo 6 a = = 7i 5j + 13j Ejemplo 7 (a) a = 5i + 3k está en el plano xz (b) Ejemplo 8 Si a = 3i 4j + 8k, b = i 4k, hallar 5a 2b Solución 5a 2b = 13i 20j + 48k

38 7.3 Producto Escalar El producto escalar de a y b es el escalar (1) donde es el ángulo que forman los vectores 0. DEFINICIÓN 7.3 Producto Escalar de Dos Vectores

39 Fig 7.32

40 Ejemplo 1 De (1) obtenemos i i = 1, j j = 1, k k = 1(2)

41 Producto Escalar en Forma de Componentes (3) (4) Fig 7.33

42

43 Ejemplo 2 Si a = 10i + 2j – 6k, b = (1/2)i + 4j – 3k, entonces

44 Propiedades (i) a b = 0 si y sólo si a = 0 or b = 0 (ii) a b = b a (iii) a (b + c) = a b + a c (iv) a (kb) = (ka) b = k(a b) (v) a a 0 (vi) a a = ||a|| 2

45 Orthogonal Vectors (i) a b > 0 si y sólo si es agudo (ii) a b < 0 si y sólo si es obtuso (iii) a b = 0 si y sólo si cos = 0, = /2 Observación: Como 0 b = 0, decimos que el vector nulo es ortogonal a todos los vectores. Dos vectores no nulos a y b son ortogonales si y sólo si a b = 0. TEOREMA 7.1 Criterio de Vectores Ortogonales

46 Ejemplo 3 i, j, k son vectores ortogonales. i j = j i = 0, j k = k j = 0, k i = i k = 0(5) Ejemplo 4 Si a = 3i j + 4k, b = 2i + 14j + 5k, entonces a b = –6 – = 0 Son ortogonales.

47 Ángulo que Forman Dos Vectores (6)

48 Ejemplo 5 Hallar el ángulo entre a = 2i + 3j + k, b = i + 5j + k. Solución

49 Cosenos Directores Observando la Fig 7.34, los ángulos,, se llaman ángulos directores. Ahora por (6) decimos que cos, cos, cos son cosenos directores, y cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1

50 Fig 7.34

51 Ejemplo 6 Hallar los cosenos directores y los ángulos directores de a = 2i + 5j + 4k. Solución

52 Componentes de a en b Como a = a 1 i + a 2 j + a 3 k, entonces (7) Escribimos los componentes de a como (8) Observe la Fig El componente de a en cualquier vector b es comp b a = ||a|| cos (9) escribiendo (9) como (10)

53 Fig 7.35

54 Ejemplo 7 Sea a = 2i + 3j – 4k, b = i + j + 2k. Hallar comp b a y comp a b. Solución De (10), a b = 3

55 Interpretación Física Observe la Fig Si F produce un desplazamiento d de un cuerpo, entonces el trabajo realizado es W = F d(11)

56 Fig 7.36

57 Ejemplo 8 Sea F = 2i + 4j. Si el bloque se mueve de (1, 1) a (4, 6), hallar el trabajo realizado por F. Solución d = 3i + 5j W = F d = 26 N-m

58 Proyección de a sobre b Observe la Fig La proyección de a sobre i es Observe la Fig La proyección de a sobre b es (12)

59 Fig 7.37

60 Fig 7.38

61 Ejemplo 9 Hallar la proyección de a = 4i + j sobre b = 2i + 3j. Solución

62 Fig 7.39

63 7.4 Cross Product El producto vectorial de dos vectores a y b es (1) donde es el ángulo entre ellos, 0, y n es un vector unitario perpendicular al plano de a y b Con la dirección que viene dada por la regla de la mano derecha. DEFINICIÓN 7.4 Producto Vectorial de Dos Vectores

64 Fig 7.46

65 Ejemplo 1 Para entender el sentido físico del producto vectorial, observe las Fig 7.37 y El momento producido por la fuerza F que actúa en la posición final del vector r está dado por = r F. Fig 7.47Fig 7.48

66 Propiedades (i) a b = 0, if a = 0 or b = 0 (ii) a b = b a (iii) a (b + c) = (a b) + (a c) (iv) (a + b) c = (a c) + (b c) (v) a (kb) = (ka) b = k(a b) (vi) a a = 0 (vii) a (a b) = 0 (viii) b (a b) = 0 Dos vectores no nulos a y b son paralelos, si y sólo si si a b = 0. TEOREMA 7.2 Criterio de Vectroes Paralelos

67 Ejemplo 2 (a) De propiedades (iv) i i = 0, j j = 0, k k = 0(2) (b) Si a = 2i + 3j – k, b = –6i – 3j + 3k = –3a, entonces a y b son paralelos. Así a b = 0 Si a = i, b = j, entonces (3) Siguiendo la regla de la mano derecha, n = k. Por lo que i j = k

68 Ejemplo 3 De Fig 7.49, tenemos (4)

69 Fig 7.49

70 Alternative Definition Como (5) tenemos (6)

71 También podemos escribir (6) como (7) Por otro lado, (7) se transforma en (8)

72 Ejemplo 4 Sea a = 4i – 2j + 5k, b = 3i + j – k, hallar a b. Solución De (8), tenemos

73 Productos Especiales Tenemos (9) se denomina el producto mixto. Los resultados siguientes se dejan como ejercicio. (10)

74 Area y Volumen Area de un paralelograma A = || a b||(11) Area de un triángulo A = ½||a b||(12) Volumen del paralelepípedo V = |a (b c)|(13) Fig 7.50 y Fig 7.51

75 Fig 7.50

76 Fig 7.51

77 Ejemplo 5 Hallar el area del triángulo definido por los puntos (1, 1, 1), (2, 3, 4), (3, 0, –1). Solución Usando (1, 1, 1) como el punto origen, tenemos dos vectores a =, b =

78 Vectores Coplanarios a (b c) = 0 si y sólo si a, b, c son coplanarios.

79 7.5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones Rectas: Ecuación Vectorial Fig Hallamos que r 2 – r 1 es paralelo a r – r 2, entonces r – r 2 = t(r 2 – r 1 )(1) Si escribimos a = r 2 – r 1 = = (2) luego (1) implica que una ecuación vectorial para la recta es r = r 2 + ta donde a se llama vector director.

80 Fig 7.55

81 Ejemplo 1 Hallar una ecuación vectorial para la recta que pasa por (2, –1, 8) y (5, 6, –3). Solución Definimos a = =. Las siguientes ecuaciones son tres posibles ecuaciones vectoriales de la recta: (3) (4) (5)

82 Ecuación Paramétrica También podemos escribir (2) como (6) las ecuaciones (6) se denominan ecuaciones paramétricas.

83 Ejemplo 2 Hallar las ecuaciones paramétricas para la recta del Ejemplo 1. Solución De (3), se tiene x = 2 – 3t, y = –1 – 7t, z = t(7) De (5), x = 5 + 3t, y = 6 + 7t, z = –3 – 11t(8)

84 Ejemplo 3 Determinar un vector a que sea paralelo a la recta: x = 4 + 9t, y = –14 + 5t, z = 1 – 3t Solución a = 9i + 5j – 3k

85 Ecuación continua De (6) siendo a i son no nulos. Entonces (9) se dice que es una ecuación continua.

86 Ejemplo 4 Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por (4, 10, 6) y (7, 9, 2) Solución Definimos a 1 = 7 – 4 = 3, a 2 = 9 – 10 = –1, a 3 = 2 – (–6) = 8, luego

87 Ejemplo 5 Determinar la ecuación continua para la recta que pasa por (5, 3, 1) y (2, 1, 1) Solución Definimos a 1 = 5 – 2 = 3, a 2 = 3 – 1 = 2, a 3 = 1 – 1 = 0, luego

88 Fig 7.56

89 Ejemplo 6 Escribir las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua para la recta que pasa por (4, 6, –3) y es paralela a a = 5i – 10j + 2k. Solución Ec. Vectorial: = + t(5, –10, 2) Ecs. Paramétricas : x = 4 + 5t, y = 6 – 10t, z = –3 + 2t, Ec. Continua:

90 Planos: Ecuación Vectorial Fig 7.57(a) ilustra el concepto del vector normal a un plano. Cualquier vector del plano debe ser perpendicular al vector normal, esto es n (r – r 1 ) = 0 (10)

91 Fig 7.57

92 Ecuaciones Cartesianas Si el vector normal es ai + bj + ck, entonces la ecuación cartesiana del plano que contiene a P 1 (x 1, y 1, z 1 ) es a(x – x 1 ) + a(y – y 1 ) + c(z – z 1 ) = 0(11)

93 Ejemplo 7 Determine el palno que contiene (4, 1, 3) y es perpendicular a n = 2i + 8j 5k Solución De (11): 2(x – 4) + 8(y + 1) – 5(z – 3) = 0 ó 2x + 8y – 5z + 15 = 0

94 ecuación (11) también puede escribirse como ax + by + cz + d = 0(12) La gráfiaca de cualquier ecuación ax + by + cz + d = 0, a, b, c no todos nulos, es un plano con el vector normal n = ai + bj + ck TEOREMA 7.3 Plano con Vector Normal

95 Ejemplo 8 Un vector normal al plano 3x – 4y + 10z – 8 = 0 es n = 3i – 4j + 10k.

96 Dados tres puntos no alineados, P 1, P 2, P 3, elegimos P 1 como le punto origen. Observe la Fig 7.58, Podemos obtener (13)

97 Fig 7.58

98 Ejemplo 9 Determinar la ecuación del palno que contiene (1, 0 1), (3, 1, 4) y (2, 2, 0). Solución Obtenemos dos vectores a partir de los puntos dados, u = y v =.

99 Ejemplo 9 (2) Si escogemos (2, 2, 0) como el punto origen, entonces = 0

100 Gráficas La gráfica de (12) caundo faltan una o ods variables sigue siendo un plano.

101 Ejemplo 10 Gráfica 2x + 3y + 6z = 18 Solución Poniendo:y = z = 0 nos da x = 9 x = z = 0 nos da y = 6 x = y = 0 nos da z = 3 Fig 7.59.

102 Fig 7.59

103 Ejemplo 11 Gráfica 6x + 4y = 12 Solución Esta ecuación carece de la variable z, por lo cual el plano es paralelo al eje z. Puesto quex = 0 nos da y = 3 y = 0 nos da x = 2 Fig 7.60.

104 Fig 7.60

105 Ejemplo 12 Gráfica x + y – z = 0 Solución Priemro observamos que el plano pasa por (0, 0, 0). Sea y = 0, entonces z = x; x = 0, entonces z = y.

106 Fig 7.61

107 Dos planos no paralelos se cortan en una recta. Observe la Fig Fig 7.63 ilustra la intersección de una recta con un plano.

108 Fig 7.62

109 Fig 7.63

110 Ejemplo 13 Hallar la ecuación paramétrica de la recta de la intersección de 2x – 3y + 4z = 1 x – y – z = 5 Solución Priemro dejamos que sea z = t, 2x – 3y = 1 – 4t x – y = 5 + t luego x = t, y = 9 + 6t, z = t.

111 Ejemplo 14 Determinar el punto de intersección del plano 3x – 2y + z = 5 y la recta x = 1 + t, y = 2 + 2t, z = 4t. Solución Suponemos que (x 0, y 0, z 0 ) es el punto de intersección. 3x 0 – 2y 0 + z 0 = 5 y x 0 = 1 + t 0, y 0 = 2 + 2t 0, z 0 = 4t 0 entonces 3(1 + t 0 ) – 2(2 + 2t 0 ) + 4t 0 = 5, t 0 = 4 Así, (x 0, y 0, z 0 ) = (3, 10, 16)

112 7.6 Espacios Vectoriales n Dimensiones Similar al de 3 dimensiones (1) (2)

113 Sea V un conjunto de elemntos en el que se definen las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. Entonces se dice que V es un espacio vectorial si se cumple lo siguiente. DEFINICIÓN 7.5 Espacio Vectorial

114 Axiomas para la suma vectorial (i) Si x y y son de V, entonces x + y es de V. (ii) Para todo x, y de V, x + y = y + x (iii) Para todo x, y, z de V, x + (y + z) = (x + y) + z (iv) Existe un único vector 0 de V, tal que 0 + x = x + 0 = x (v) Para cada x de V, existe un vector x de V, tal que x + (x) = (x) + x = 0 DEFINICIÓN 7.5 Espacio Vectorial

115 Axiomas para el producto por un escalar (vi) Si k es un escalar y x es de V, entonces kx es de V. (vii) k(x + y) = kx + ky (viii) (k 1 +k 2 )x = k 1 x+ k 2 x (ix) k 1 (k 2 x) = (k 1 k 2 )x (x) 1x = x Propiedades (i) y (vi) are called the closure axioms. DEFINICIÓN 7.5 Espacio Vectorial

116 Ejemplo 1 Determinar si cada uno de los conjuntos (a) V = {1} y (b) V = {0} bajo la suma y producto por un escalar son espacios vectoriales. Solución (a) V = {1}, viola muchos de los axiomas. (b) V = {0}, es fácil de comprobar que es un espacio vectorial. Además, se denomina el espacio vectorial nulo o trivial.

117 Ejemplo 2 Considere el conjunto V de todos los números reales positivos. Si x y y denotan números reales positivos, entonces escribimos vectores como x = x, y = y. Ahora la suma de vectores se define como x + y = xy y producto por un escalar como kx = x k Determinar si el conjunto es un espacio vectorial.

118 Ejemplo 2 (2) Solución Repasamos los 10 axiomas. (i) Pra x = x > 0, y = y > 0 de V, x + y = x + y > 0 (ii) Para todo x = x, y = y de V, x + y = x + y = y + x = y + x (iii) Para x = x, y = y, z = z de V x + (y + z) = x(yz) = (xy) = (x + y) + z (iv) Como 1 + x = 1x = x = x, x + 1 = x1 = x = x El vector nulo 0 es 1 = 1

119 Ejemplo 2 (3) (v) Si definimos x = 1/x, entonces x + (x) = x(1/x) = 1 = 1 = 0x + x = (1/x)x = 1 = 1 = 0 (vi) Si k es un escalary x = x > 0 es de V, entonces kx = x k > 0 (vii) Si k es un escalar, k(x + y) = (xy) k = x k y k = kx + ky (viii) (k 1 +k 2 )x = x k1+k2 = x k1 x k2 = k 1 x+ k 2 x (ix) k 1 (k 2 x) = (x k2 ) k1 = x k1k2 = (k 1 k 2 )x (x) 1x = x 1 = x = x

120 Si un subconjunto W de un espacio vectorial V es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones de suma de vectores y producto por un escalar definidas en V, entonces W se denomina un subespacio de V. DEFINICIÓN 7.6 Subespacio

121 Un conjunto no vacío W es un subespacio de V si y sólo si W es cerrado frente las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar definidas en V: (i) Si x y y son de W, entonces x + y es de W. (ii) Si x es de W y k un escalar cualquiera, entonces kx es de W. TEOREMA 7.4 Criterios para un Subespacio

122 Ejemplo 3 Suponemos que f y g son funciones continuas y de valor real definidas en (, ). Sabemos que f + g y kf, para cualquier número real k, son continuas y de valor real. Por lo cual, llegamos a la conclusión de que C(, ) es un subespacio del espacio vectorial de funciones de valores reales definidas en (, ).

123 Ejemplo 4 El conjunto P n de polinomios de grado menor o igual que n es un subespacio de C(, ).

124 Un conjunto de vectores {x 1, x 2, …, x n } se dice que es linealmente independiente, las únicas constantes que satisfacen k 1 x 1 + k 2 x 2 + …+ k n x n = 0(3) son k 1 = k 2 = … = k n = 0. Si el conjunto de vectores no es linealmente independiente, es linealmente dependiente. DEFINICIÓN 7.7 Independencia Lineal

125 Por ejemplo: i, j, k son linealmente independiente., y son linealmente dependiente, porque 3 + = 3a + b – c = 0

126 Puede demostrarse que cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes es una base de R 3. Por ejemplo,, Considere un conjunto de vectores B = {x 1, x 2, …, x n } de un Espacio Vectorial V. Si el conjunto es linealmente independiente y si todo vector de V puede expresarse Como combinación lineal de estos vectores, entonces se dice que B es una base de V. DEFINICIÓN 7.8 Base de un Espacio Vectorial

127 Base Estándar: {i, j, k} Para R n : e 1 =, e 2 = ….. e n = (4) Si B es un base, entonces existen cierto escalares tales que (5) donde estos escalares c i, i = 1, 2,.., n, se llaman coordenadas de v respecto de la base B.

128 Se dice que el número de vectores de una base B del espacio vectorial V es la dimensión del espacio. DEFINICIÓN 7.8 Dimensión de un Espacio Vectorial

129 Ejemplo 5 (a)Las dimensiones de R, R 2, R 3, R n son respectivamente 1, 2, 3, n. (b)Hay n + 1 vectores en B = {1, x, x 2, …, x n }. La dimensión es n + 1 (c)La dimensión del espacio nulo {0} es ceero.

130 ED Lineales La solución general de la siguiente ED (6) puede escribirse como y = c 1 y 1 + c 1 y 1 + … c n y n y se dice que es espacio solución. Así {y 1, y 2, …, y n } es una base.

131 Ejemplo 6 La solución general de y + 25y = 0 es y = c 1 cos 5x + c 2 sen 5x entonces {cos 5x, sin 5x} es una base.

132 Span Si S denota un conjunto cualquiera de vectores {x 1, x 2, …, x n } entonces al combinación lineal k 1 x 1 + k 2 x 2 + … + k n x n se llama span de los vectores y se escribe como Span(S) o Span{x 1, x 2, …, x n }.

133 Otras formas de Definiciones 7.8 y 7.9 Un conjunto S de vectores {x 1, x 2, …, x n } de un espacio vectorial V es una base, si S es linealmente independiente y es un conjunto de span de V. El número de vectores de este conjunto de span S es la dimensión del espacio V.

134 7.7 Gram-Schmidt Orthogonalization Process Base Ortonormal Todos los vectores de la base son ortogonales entre sí y tienen la longitud unidad.

135 Ejemplo 1 El conjunto de vectores (1) es linealmente independiente en R 3. De ahí que B = {w 1, w 2, w 3 } es una base. Como ||w i || = 1, i = 1, 2, 3, w i w j = 0, i j, B es una base ortonormal.

136 Demostración Como B = {w 1, w 2, …, w n } es una base ortonormal, entonces cualquier vector puede expresare como u = k 1 w 1 + k 2 w 2 + … + k n w n (2) (u w i ) = (k 1 w 1 + k 2 w 2 + … + k n w n ) w i = k i (w i w i ) = k i Supongamos que B = {w 1, w 2, …, w n } es una base ortonormal de R n. Si u es un vector cualquiera de R n, entonces u = (u w 1 )w 1 + (u w 2 )w 2 + … + (u w n )w n TEOREMA 7.5 Coordenadas respecto a una Base Ortonormal

137 Ejemplo 2 Determinar las coordenadas de u = respecto a la base ortonormal del Ejemplo 1. Solución

138 Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt La transformación de la base B = {u 1, u 2 } en una base ortogonal B= {v 1, v 2 } consta de dos pasos. Fig (3)

139 Fig 7.64(a)

140 Fig 7.64(b)

141 Fig 7.64(c)

142 Ejemplo 3 Sea u 1 =, u 2 =. Transformarlos en una base ortonormal. Solución De (3) Normalizando: Fig 7.65

143 Fig 7.65

144 Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt Para R 3 : (4)

145 Observe la Fig Suponemos que W 2 = Span{v 1, v 2 }, entonces es de W 2 y se llama proyección ortogonal de u 3 sobre W 2, denotado por x = proy w2 u 3. (5) (6)

146 Fig 7.66

147 Ejemplo 4 Sea u 1 =, u 2 =, u 3 =. Transformarlos en una base ortonormal. Solución De (4)

148 Ejemplo 4 (2)

149 Sea B = {u 1, u 2, …, u m }, m n, una base del subespacio W m de R n. Entonces {v 1, v 2, …, v m }, donde es una base ortogonal de W m. Una base ortonormal de W m es TEOREMA 7.6 Proceso de Ortogonalización


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