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5.3 Funciones Especiales Ecuación de Bessel de orden v (1) donde v 0, y x = 0 es un punto singular regular de (1). Las soluciones de (1) se llaman funciones.

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1 5.3 Funciones Especiales Ecuación de Bessel de orden v (1) donde v 0, y x = 0 es un punto singular regular de (1). Las soluciones de (1) se llaman funciones de Bessel. Lengenders Equation de order n (2) donde n es un entero no negativo, y x = 0 es un punto ordinario de (2). Las soluciones de (2) se llaman funciones de Legendre.

2 La Solución de la Ecuación de Bessel Puesto que x = 0 es un punto singular regular, sabemos que existe al menos una solución de la forma. Entonces de (1), (3)

3 De (3) tenemos la ecuación indicial r 2 – v 2 = 0, r 1 = v, r 2 = v. Cuando r 1 = v, tenemos (1 + 2v)c 1 = 0 (k + 2)(k v)c k+2 + c k = 0 ó (4) La elección de c 1 = 0 implica c 3 = c 5 = c 7 = … = 0, así que para k = 0, 2, 4, …., dejando que sea k + 2 = 2n, n = 1, 2, 3, …, tenemos (5)

4 Así (6)

5 Elegimos c 0 como valor específico donde (1 + v) es la función gamma. Vease el Apéndice II. Hay una relación importante: (1 + ) = ( ) Así que podemos reducir el denominador de (6):

6 De ahí que podemos poner (6) como

7 Funciones de Bessel de Primera Clase Podemos definir J v (x) mediante (7) y (8) En otras palabras, la solución general de (1) en (0, ) es y = c 1 J v (x) + c 2 J -v (x), v entero(9) Fig 5.3

8

9 Ejemplo 1 Considere la ED Hallamos v = ½, y la solución general en (0, ) es

10 Funciones de Bessel de Segunda Clase Si v entero, entonces (10) y la función J v (x) son soluciones linealmente independientes de (1). Otra solución de (1) es y = c 1 J v (x) + c 2 Y v (x). Como v m, m un entero, (10) tiene la forma 0/0. De la regla de LHopital, la función y J v (x) soluciones linealmente independientes de

11 De ahí que para cada valor de v, la solución general de (1) es (11) Y v (x) se llama función de Bessel de segunda clase de orden v. Fig 5.4 ilustra y 0 (x) y y 1 (x).

12 Fig 5.4

13 Ejemplo 2 Considere la ED Hallamos v = 3, y de (11) la solución general en (0, ) es

14 EDs Solubles en Términos de Funciones de Bessel Sea t = x, > 0, en (12) entonces por la regla de la cadena,

15 Así, (12) pasa a ser La solución de la anterior ED es y = c 1 J v (t) + c 2 Y v (t) Sea t = x, tenemos y = c 1 J v ( x) + c 2 Y v ( x)(13)

16 Otra ecuación se llama ecuación de Bessel modificada de orden v, (14) Ahora dejamos que sea t = ix, entonces (14) se transforma en Las soluciones son J v (ix) y Y v (ix). Una solución de valores reales, llamada función de Bessel modificada de primera clase de orden v se define como (15)

17 Análogamente a (10), la función de Bessel modificada de segunda clase de orden v entero se define como (16) y para cualquier v = n entero, Puesto que I v y K v son linealmente independientes en (0, ), la solución general de (14) es (17)

18 Consideramos otra ED importante: (18) La solución general de (18) es (19) Aquí no se especifican los detalles.

19 Ejemplo 3 Hallar la solución general de en (0, ) Solución Escribiendo la ED como recurriendo to (18) 1 – 2a = 3, b 2 c 2 = 9, 2c – 2 = 1, a 2 – p 2 c 2 = 0 luego a = 1, c = ½. Además tomamos b= 6, p = 2. De (19) la solución es

20 Ejemplo 4 Recordamos el modelo de la Sec. 3.8 Se debe comprobar que tomando se tiene

21 Ejemplo 4 (2) La solución de la nueva ecuación es x = c 1 J 0 (s) + c 2 Y 0 (s), Si volvemos a sustituir obtenemos la solución.

22 Propiedades (1) (2) (3) (4)

23 Ejemplo 5 Obtener la fórmula Solución De la ecuación (7) se deduce

24 Ejemplo 5 (2)

25 El resultado del ejemplo 5 puede escribirse como que es una ED lineal en J v (x). Multiplicando ambos lados por el factor de integración x -v, se obtiene (20) Se puede demostrar que (21) Cuando y = 0, se deduce del (14) que (22)

26 Funciones de Bessel Esféricas Cuando el orden v es la mitad de un entero impar, esto es, 1/2, 3/2, 5/2, ….. La función de Bessel de primera clase J v (x) puede expresarse como función de Bessel esférica : Como (1 + ) = ( ) y (1/2) = ½, entonces

27 De ahí que y

28 La Solución de Ecuación de Legendre Como x = 0 es un punto ordinario de (2), usamos Después de sustituir y simplificar, obtenemos o en las formas siguientes:

29 Usando (25), para al menos |x| < 1, obtenemos

30 Observaciones: Si n es un entero par, la primera serie termina, mientras que y 2 es una serie infinita. Si n es un entero impar, la serie y 2 termina con x n.

31 Polinomios de Legendre Los siguientes polinomios de orden n son polinomios de Legendre: (27)

32 Son a su vez soluciones particulares de las EDs. (28) Fig 5.5

33

34 Propiedades (1) (2) (3) (4) (5)

35 Relación de Recurrencia Sin comprobación, tenemos (29) que es válida para k = 1, 2, 3, … Otra fórmula puede generar los polinomios de Legendre por diferenciación. La fórmula de Rodrigues para estos polinomios es: (30)


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