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VARIABLE INDEPENDIENTE O VARIABLE LIBRE VARIABLE DEPENDIENTE Sean X y Y dos subconjuntos de los Números Reales. Una función f es una relación donde a todos.

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1 VARIABLE INDEPENDIENTE O VARIABLE LIBRE VARIABLE DEPENDIENTE Sean X y Y dos subconjuntos de los Números Reales. Una función f es una relación donde a todos los elementos de X se le asocia uno y sólo un elemento de Y. Es decir: DEFINICIÓN Ejemplo. 1

2 DOMINIO Ra í ces pares de n ú meros negativos. Restricciones: El dominio natural Ejemplo s Divisi ó n entre cero. 2

3 DOMINIO 3

4 RANGO Ejemplos Despejamos x 4

5 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL Conjunto de puntos, representados en el plano cartesiano, correspondiente a los pares ordenados de la funci ó n. U TILIDAD 1. D ETERMINAR EL RANGO DE UNA RELACIÓN. Rango Dominio 5

6 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL U TILIDAD 2. Determinar si un lugar geom é trico es funci ó n o no. Para toda funci ó n, cualquier recta vertical deber á cortar a su gr á fica en s ó lo un punto. NO FUNCIÓN 6

7 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL U TILIDAD 3. D ETERMINAR SI UNA FUNCIÓN ES INYECTIVA O NO Toda recta horizontal deber á cortar a su gr á fica en s ó lo un punto INYECTIVA NO INYECTIVA 7

8 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL U TILIDAD 4. D ETERMINAR SI UNA FUNCIÓN ES SOBREYECTIVA O NO 5. Determinar si la funci ó n es Biyectiva. Ejercicio 1 Graficar punto a punto Tabla de valores 8

9 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL Ejercicio 2 Tabla de valores 9

10 CLASES DE FUNCIONES FUNCIÓN ESTRICTAMENTE CRECIENTE 10

11 CLASES DE FUNCIONES FUNCIÓN CRECIENTE 11

12 CLASES DE FUNCIONES FUNCIÓN ESTRICTAMENTE DECRECIENTE 12

13 CLASES DE FUNCIONES FUNCIÓN MONÓTONA. Una función es Monótona en un intervalo si y s ó lo si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente en ese intervalo Defina FUNCIÓN DECRECIENTE Ejercicio 13

14 Gráfica simétrica al eje CLASES DE FUNCIONES. FUNCI Ó N PAR 14

15 CLASES DE FUNCIONES. FUNCI Ó N PAR 15

16 CLASES DE FUNCIONES. FUNCI Ó N IMPAR gráfica simétrica al origen 16

17 CLASES DE FUNCIONES. Determine si es par o impar Ejercicio 17

18 . TECNICAS DE GRAFICACIÓN Desplazamientos HORIZONTALES A la derecha 18

19 . TECNICAS DE GRAFICACIÓN Desplazamientos A la izquierda HORIZONTALES 19

20 . TECNICAS DE GRAFICACIÓN Desplazamientos VERTICALES Hacia arriba 20

21 . TECNICAS DE GRAFICACIÓN Desplazamientos VERTICALES Hacia abajo 21

22 . TECNICAS DE GRAFICACIÓN Desplazamientos Desplazada 3 unidades a la derecha Desplazada 2 unidades hacia abajo 22

23 . TECNICAS DE GRAFICACIÓN REFLEXIONES CON RESPECTO AL EJE x 23

24 . TECNICAS DE GRAFICACIÓN REFLEXIONES Desplazada 2 unidades a la izquierda Desplazada 3 unidades hacia arriba 24

25 . TECNICAS DE GRAFICACIÓN REFLEXIONES CON RESPECTO AL EJE y 25

26 . TECNICAS DE GRAFICACIÓN Comprensiones y Alargamientos Alargamiento con respecto al eje y 26

27 . TECNICAS DE GRAFICACIÓN Comprensiones y Alargamientos Comprensión con respecto al eje y 27

28 . TECNICAS DE GRAFICACIÓN Comprensiones y Alargamientos Alargamiento con respecto al eje x Alargada al doble horizontalmente 28

29 . TECNICAS DE GRAFICACIÓN Comprensiones y Alargamientos Comprensión con respecto al eje x Comprimida a la mitad horizontalmente 29

30 . TECNICAS DE GRAFICACIÓN Ejercicio 1 Sea Graficar 30

31 . TECNICAS DE GRAFICACIÓN Solución 1 Desplazada una unidad a la izquierda 31

32 . TECNICAS DE GRAFICACIÓN 2 Comprimida a la mitad 32

33 . TECNICAS DE GRAFICACIÓN 3 Reflejada con respecto al eje x 33

34 . TECNICAS DE GRAFICACIÓN 4 Desplazada 2 unidades hacia arriba. 34

35 . TECNICAS DE GRAFICACIÓN Ejercicio 2 Graficar 35

36 . TECNICAS DE GRAFICACIÓN Ejercicio Graficar

37 . FUNCIÓN LINEAL Regla de correspondencia PENDIENTE Intercepto con el eje y Recta Creciente Recta Decreciente Graficar Su gráfica es una recta 37

38 . FUNCIÓN LINEAL R ECTAS H ORIZONTALES Graficar F UNCIÓN CONSTANTE 38

39 . Rectas Verticales Graficar 39

40 . FUNCIÓN LINEAL Rectas que contienen al origen FUNCIÓN I DENTIDAD Graficar 40

41 . FUNCIÓN LINEAL Dos puntos definen una recta. Recorrido Elevación 41

42 . FUNCIÓN LINEAL Dos puntos definen una recta. Encuentre la ecuaci ó n de la recta definida por los puntos Ejemplo 1 y 1. Resp. 2. y Resp. 3. y Resp. 42

43 . FUNCIÓN CUADRÁTICA La gr á fica es una par á bola cóncava hacia arribacóncava hacia abajo 43

44 FUNCIÓN CUADRÁTICA El v é rtice de la par á bola tiene coordenadas FORMA CANÓNICA 44

45 Graficar FUNCIÓN CUADRÁTICA Ejemplo Vértice 45

46 FUNCIÓN CUADRÁTICA FORMA FACTORADA Ejemplo FORMA CANÓNICA FORMA FACTORADA Ceros 46

47 Graficar

48 Graficar

49 Graficar 49

50 graficarSea Ejercicio 50

51 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO 51

52 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Ejercicio Graficar desplazada una unidad a la derecha y una unidad hacia arriba 1 52

53 53

54 Nos quedamos con la parte derecha de f, y la reflejamos con respecto al eje y. 54

55 Nos quedamos con la parte izquierda de f, y la reflejamos con respecto al eje y. 55

56 Ejercicio 2 Sea 56

57 Graficar 57

58 Graficar 58

59 Graficar 59

60 Ejercicio 3 Sea Hallar el rango Solución: 60

61 Ejercicio 4 Graficar Solución: 61

62 Ejercicio 4 Graficar 62

63 OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES Función raíz cuadrada 63

64 OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES HIPERBOLA EQUILATERA 64

65 OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES 65

66 OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES 66

67 Funciones con regla de correspondencia definida en intervalos Ejemplo 1 Ejemplo 2 67

68 Ejercicio Graficar 68

69 Ejercicio Graficar 69

70 Ejercicio Sea la gráfica Hallar la Regla de Correspondencia 70

71 Funciones con regla de correspondencia definida en intervalos Ejemplo 3 71

72 OPERACIONES Ejemplo 1 Ejercicio 72

73 OPERACIONES Ejemplo 2 73

74 OPERACIONES Ejemplo 3 74

75 OPERACIONES Ejercicio Hallar Resp. 75

76 FUNCIÓN COMPUESTA 76

77 FUNCIÓN COMPUESTA Ejemplo 1 Sean y Hallar: g evaluada en f 77

78 FUNCIÓN COMPUESTA Ejemplo 2 Sean y Hallar: f evaluada en g 78

79 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Ejemplo 3 Seay Hallar Solución: Graficamos g 79

80 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Ejemplo 3 Seay Hallar Solución: Graficamos g 80

81 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Seay Hallar Solución: Graficamos f Ejemplo 4 81

82 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Seay Hallar Solución: Graficamos g Ejemplo 5 82

83 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Seay Hallar Solución: Graficamos f Ejemplo 6 83

84 FUNCIÓN INVERSA 1. Cambiar x por y y y por x 2. Despejar Ejemplo 1 84

85 FUNCIÓN INVERSA Ejemplo

86 FUNCIÓN INVERSA Ejemplo

87 FUNCIÓN INVERSA Ejemplo | 87

88 FUNCIÓN INVERSA Ejemplo 3 Primero: Segundo: 88

89 FUNCIÓN INVERSA Ejemplo 4 Primero: Segundo: 89

90 FUNCIÓN INVERSA Ejemplo 2 Sea 90


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