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La Transformada de Laplace CAPÍTULO 4 Read Me First.

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1 La Transformada de Laplace CAPÍTULO 4 Read Me First

2 Contenidos 4.1 Definición de la transformada de Laplace 4.2 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 4.3 Propiedades operacionales 4.4 Propiedades operacionales adicionales 4.5 La función delta de Dirac 4.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

3 4.1 Definición de la Transformada de Laplace Definición básica Si f(t) está definida para t 0, entonces (1) Si f(t) está definida para t 0, entonces (2) es la Transformada de Laplace de f. EDFINICIÓN 4.1 Transformada de Laplace

4 Evaluar L {1} Solución: Aquí tenemos en cuenta que los límites de integración son 0 y. De la definición Como e -st 0 cuando t, para s > 0. Ejemplo 1

5 Evaluar L {t} Solución Ejemplo 2

6 Evaluar L {e -3t } Solución Ejemplo 3

7 Evaluar L {sin 2t} Solución Ejemplo 4

8 Ejemplo 4 (2) Transformada de Laplace de sin 2t

9 T.L. is Linear Podemos comprobar fácilmente que (3)

10 (a) (b)(c) (d)(e) (f)(g) TEOREMA 4.1 Transformadas de algunas Funciones básicas

11 Se dice que f(t) es de orden exponencial, Si existen constantes c, M > 0, y T > 0, tales que |f(t)| Me ct para todo t > T. Fig 4.1, 4.2. EDFINICIÓN 4.2 Orden Exponencial

12 Fig 4.1

13 Fig 4.2

14 Eejmplos Fig 4.3

15 Fig 4.4 Una función como no es de orden exponencial, observe Fig 4.4

16 Si f(t) una función continua por partes en [0, ) y de orden exponencial c, entonces existe L{f(t)} para s > c. TEOREMA 4.2 Condiciones Suficientes para la Existencia

17 Ejemplo 5 Hallar L {f(t)} para Solución

18 4.2 Transformadas inversas y Transformadas de derivadas (a) (b)(c) (d)(e) (f)(g) TEOREMA 4.3 Algunas transformadas inversas

19 Ejemplo 1 Hallar las transformadas inversas de (a) (b) Solución (a) (b)

20 L -1 también es lineal Podemso comprobar fácilmente que (1)

21 Hallar Solución (2) Ejemplo 2

22 Ejemplo 3 Hallar Solución Usando fracciones parciales Luego (3) Si ponemos s = 1, 2, 4, entonces

23 (4) Así (5) Ejemplo 3 (2)

24 Transformadas de Derivadas (6) (7) (8)

25 Si son continuas en [0, ) y son de orden exponencial y si f (n) (t) es continua por partes en [0, ), entonces donde TEOREMA 4.4 Transformada de una derivada

26 Solución de EDO lineales Luego (9) (10)

27 Tenemos (11) donde

28

29 Resolver Solución (12) (13) Ejemplo 4

30 Podemos hallar A = 8, B = 2, C = 6 Así Ejemplo 4 (2)

31 Ejemplo 5 Resolver Solución (14) Así

32 Si f continua por partes en [0, ) y de orden exponencial, entonces lim s L {f} = 0. TEOREMA 4.5 Comportamiento de F(s) cuando s 4.3 Propiedades operacionales Demostración

33 Demostración L {e at f(t)} = e -st e at f(t)dt = e -(s-a)t f(t)dt = F(s – a) Si L {f} = F(s) y a cualquier número real, entonces L {e at f(t)} = F(s – a), Fig TEOREMA 4.6 Primer teorema de traslación

34 Fig 4.10

35 Hallar las T.L. de (a) (b) Solución (a) (b) Ejemplo 1

36 Forma inversa del Teorema 4.6 (1) donde

37 Hallar la T.L. inversa de (a) (b) Solución (a) teenmos A = 2, B = 11 (2) Ejemplo 2

38 Ejemplo 2 (2) And (3) De (3), tenemos (4)

39 Ejemplo 2 (3) (b) (5) (6) (7)

40 Resolver Solución Ejemplo 3

41 Ejemplo 3 (2) (8)

42 Ejemplo 4 Resolver Solución

43 Ejemplo 4 (2)

44 La función escalón unitaria U (t – a) se define como EDFINICIÓN 4.3 Función escalón unitario Fig 4.11.

45 Fig 4.11

46 Fig 4.12 muestra la gráfica de (2t – 3) U (t – 1). Considerando la Fig 4.13, es la misma que f(t) = 2 – 3 U (t – 2) + U (t – 3) Fig 4.12Fig 4.13

47 También una función del tipo (9) es la misma que (10) De manera similar, una función del tipo (11) puede escribirse como (12)

48 Expresar en términos de U (t). Fig Solución De (9) y (10), con a = 5, g(t) = 20t, h(t) = 0 f(t) = 20t – 20t U (t – 5) Ejemplo 5

49 Fig 4.14

50 Cosidere la función (13) Fig 4.15.

51 Ch4_51 Fig 4.15

52 Demostración Si F(s) = L {f}, y a > 0, entonces L {f(t – a) U (t – a)} = e -as F(s) TEOREMA 4.7 Segundo teorema de traslación

53 Sea v = t – a, dv = dt, entonces Si f(t) = 1, entonces f(t – a) = 1, F(s) = 1/s, (14) por ejemplo: La T.L. de la Fig 4.13 es

54 Forma inversa del Teorema 4.7 (15)

55 Ejemplo 6 Hallar la T.L. inversa de (a) (b) Solución (a) luego (b) luego

56 Forma alternativa del Teorema 4.7 Como, entonces Lo anterior se puede resolver. Sin embargo, lo enfocamos de otra manera. Sea u = t – a, Esto es, (16)

57 Hallar Solución Con g(t) = cos t, a =, entonces g(t + ) = cos(t + )= cos t Por (16), Ejemplo 7

58 Resolver Solución Hallamos f(t) = 3 cos t U (t ), luego (17) Ejemplo 8

59 Ejemplo 8 (2) Se sigue desde (15) con a =, entonces Así (18) Fig 4.16

60 Fig 4.16

61 Recuerde que la ED de una viga es (19) Fig Vigas

62 Fig 4.17

63 Una viga de longitud L se empotra en ambos extremos como se ilustra en la Fig Determine la deflexión de la viga cuando la carga está dada por: Solución Tenemos las condiciones en la frontera: y(0) = y(L) = 0, y(0) = y(L) = 0. Por (10), Ejemplo 9

64 Ejemplo 9 (2) Transformando (19) en donde c 1 = y(0), c 3 = y (3) (0)

65 Así Ejemplo 9 (3)

66 Ejemplo 9 (4) Aplicamos y(L) = y(L) = 0, entonces Así

67 4.4 Propiedades Operacionales Adicionales Multiplicando una función por t n esto es, De manera similar,

68 Si F(s) = L {f(t)} y n = 1, 2, 3, …, entonces TEOREMA 4.8 Derivadas de una transformada

69 Ejemplo 1 Hallar L {t sen kt} Solución Con f(t) = sen kt, F(s) = k/(s 2 + k 2 ), luego

70 Enfoques diferentes Teorema 4.6: Teorema 4.8:

71 Resolver Solución ó Del ejemplo 1, Así Ejemplo 2

72 Convolución Un producto especial, f * g se define mediante al integral y se llama convolución de f y g. La convolución es una función de t, por ejemplo: Observación: f * g = g * f

73 Demostración Si f(t) y g(t) son continuas por partes en [0, ) y de orden exponencial, entonces TEOREMA 4.9 Teorema de convolución

74 manteniendo fija, let t = +, dt = d Se realiza al integración en la región sombreada de la Fig Cambiando el orden de integración:

75 Fig 4.32

76 Ejemplo 3 Hallar Solución Original statement = L {e t * sin t}

77 Forma inversa del Teorema 4.9 L -1 {F(s)G(s)} = f * g(4) Mire en la tabla del Apéndice III, (5)

78 Ejemplo 4 Hallar Solución Sea entonces

79 Ejemplo 4 (2) Ahora recordamos que sen A sen B = (1/2) [cos (A – B) – cos (A+B)] Si ponemos A = k, B = k(t ), entonces

80 Transformada de una Integral Cuando g(t) = 1, G(s) = 1/s, entonces

81 Ch4_81 Eejmplos:

82 Ecuación Integral de Volterra

83 Ejemplo 5 Resolver Solución Primero, h(t- ) = e (t- ), h(t) = e t. De (9) Resolviendo para F(s) y empleando fracciones parciales

84 Circuitos en Serie De la Fig 4.33, tenemos la cual se llama ecuación integrodiferencial. Fig 4.33

85 Ejemplo 6 Determine i(t) en Fig 4.33, cuando L = 0.1 h, R = 2, C = 0.1 f, i(0) = 0, y E(t) = 120t – 120t U (t – 1) Solución Usando los datos, (10) se convierte Y entonces

86 Ejemplo 6 (2)

87 Ejemplo 6 (3) Escrita como una función definida por partes: (11)

88 Fig 4.34

89 Periodic Function f(t + T) = f(t) Si f(t) is una función periódica con período T, entonces TEOREMA 4.10 Transformada de una función periódoca

90 Demostración Use el mismo método de transformación

91 Halle la T. L. de la función en Fig Solución Hallamos T = 2 y Del Teorema 4.10, Ejemplo 7

92 Fig 4.35

93 Ejemplo 8 La ED (13) Hallar i(t) donde i(0) = 0, E(t) es como ilustar la Fig Solución ó (14) Porque y

94 Ch4_94 Luego i(t) se esribe de la siguiente manera y se ilustra en la Fig 4.36: (15)

95 Fig 4.36

96 4.5 La función delta de Dirac Impulso Unitario Observe la Fig 4.43(a). Está función se define por (1) donde a > 0, t 0 > 0. Para un valor pequeño de a, a (t – t 0 ) es una función constante de gran magnitud. El comportamiento de a (t – t 0 ) cuando a 0, se llama impulso unitario, porque posee la propiedad. Fig 4.43(b).

97 Ch4_97 Fig 4.43

98 La función delta de Dirac Esta función se define como (t – t 0 ) = lim a 0 a (t – t 0 )(2) Las dos propiedades importantes son: (1) (2), x > t 0

99 Demostración La Transformada de Laplace es Para t 0 > 0, TEOREMA 4.11 Transformación de la función delta de Dirac

100 Cuando a 0, (4) es 0/0. Use la regla de LHopital, entonces (4) tiende a 1 cuando a 0. Así, Ahora cuando t 0 = 0, tenemos

101 Ejemplo 1 Resolver sujeta a (a) y(0) = 1, y(0) = 0 (b) y(0) = 0, y(0) = 0 Solución (a) s 2 Y – s + Y = 4e -2 s Así y(t) = cos t + 4 sen(t – 2 ) U (t – 2 ) Como sen(t – 2 ) = sen t, enonces (5) Fig 4.44.

102 Fig 4.44

103 Ejemplo 1 (2) (b) Así y(t) = 4 sen(t – 2 ) U (t – 2 ) y (6)

104 Fig 4.45

105 4.6 Sistemas Eds Lineales Resortes acoplados En el ejemplo 1 trabajaremos con (1)

106 Ejemplo 1 Use T.L. para resolver (2) donde x 1 (0) = 0, x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 0, x 2 (0) = 1. Solución s 2 X 1 – sx 1 (0) – x 1 (0) + 10X 1 – 4X 2 = 0 4X 1 + s 2 X 2 – sx 2 (0) – x 2 (0) + 4X 2 = 0 Recolocando: (s )X 1 – 4X 2 = 1 4X 1 + (s 2 + 4)X 2 = 1(3)

107 Ejemplo 1 (2) Resolviendo (3) para X 1 : Usamos X 1 (s) para obtener X 2 (s)

108 Ejemplo 1 (3) Luego (4)

109 Redes De la Fig 4.47, tenemos (5)

110 Fig 4.47

111 Resolver (5) donde E(t) = 60 V, L = 1 h, R = 50 ohm, C = f, i 1 (0) = i 2 (0) = 0. Solución Tenemos Entonces sI 1 (s) + 50I 2 (s)= 60/s 200I 1 (s) + (s + 200)I 2 (s)= 0 Ejemplo 2

112 Ejemplo 2 (2) Resolviendo lo anterior: Así

113 Péndulo Doble De la Fig 4.48, tenemos (6)

114 Fig 4.48

115 Compruebe que cuando la solución de (6) es (7) Fig 4.49 Ejemplo 3

116 Fig 4.49


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