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La Transformada de Laplace
CAPÍTULO 4 ※Read Me First
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Contenidos 4.1 Definición de la transformada de Laplace
4.2 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 4.3 Propiedades operacionales 4.4 Propiedades operacionales adicionales 4.5 La función delta de Dirac 4.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
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4.1 Definición de la Transformada de Laplace
Definición básica Si f(t) está definida para t 0, entonces (1) Si f(t) está definida para t 0, entonces (2) es la Transformada de Laplace de f. EDFINICIÓN 4.1 Transformada de Laplace
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Ejemplo 1 Evaluar L{1} Solución: Aquí tenemos en cuenta que los límites de integración son 0 y . De la definición Como e-st 0 cuando t , para s > 0.
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Ejemplo 2 Evaluar L{t} Solución
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Ejemplo 3 Evaluar L{e-3t} Solución
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Ejemplo 4 Evaluar L{sin 2t} Solución
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Ejemplo 4 (2) Transformada de Laplace de sin 2t ↓
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T.L. is Linear Podemos comprobar fácilmente que (3)
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Transformadas de algunas
(b) (c) (d) (e) (f) (g) TEOREMA 4.1 Transformadas de algunas Funciones básicas
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Se dice que f(t) es de orden exponencial,
EDFINICIÓN 4.2 Se dice que f(t) es de orden exponencial, Si existen constantes c, M > 0, y T > 0, tales que |f(t)| Mect para todo t > T. Fig 4.1, 4.2. Orden Exponencial
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Fig 4.1
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Fig 4.2
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Eejmplos Fig 4.3
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Fig 4.4 Una función como no es de orden exponencial, observe Fig 4.4
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Condiciones Suficientes
TEOREMA 4.2 Si f(t) una función continua por partes en [0, ) y de orden exponencial c, entonces existe L{f(t)} para s > c. Condiciones Suficientes para la Existencia
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Ejemplo 5 Hallar L{f(t)} para Solución
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4.2 Transformadas inversas y Transformadas de derivadas
TEOREMA 4.3 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Algunas transformadas inversas
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Ejemplo 1 Hallar las transformadas inversas de (a) (b)
Solución (a) (b)
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L -1 también es lineal Podemso comprobar fácilmente que (1)
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Ejemplo 2 Hallar Solución (2)
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Ejemplo 3 Hallar Solución Usando fracciones parciales
Luego (3) Si ponemos s = 1, 2, −4, entonces
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Ejemplo 3 (2) (4) Así (5)
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Transformadas de Derivadas
(6) (7) (8)
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Si son continuas en [0, ) y son de
TEOREMA 4.4 Si son continuas en [0, ) y son de orden exponencial y si f(n)(t) es continua por partes en [0, ), entonces donde Transformada de una derivada
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Solución de EDO lineales
Luego (9) (10)
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Tenemos (11) donde
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Ejemplo 4 Resolver Solución (12) (13)
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Ejemplo 4 (2) Podemos hallar A = 8, B = −2, C = 6 Así
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Ejemplo 5 Resolver Solución (14) Así
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4.3 Propiedades operacionales
TEOREMA 4.5 Si f continua por partes en [0, ) y de orden exponencial, entonces lims L{f} = 0. Comportamiento de F(s) cuando s → Demostración
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TEOREMA 4.6 Si L{f} = F(s) y a cualquier número real, entonces L{eatf(t)} = F(s – a), Fig 4.10. Primer teorema de traslación Demostración L{eatf(t)} = e-steatf(t)dt = e-(s-a)tf(t)dt = F(s – a)
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Fig 4.10
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Ejemplo 1 Hallar las T.L. de (a) (b) Solución (a) (b)
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Forma inversa del Teorema 4.6
(1) donde
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Ejemplo 2 Hallar la T.L. inversa de (a) (b)
Solución (a) teenmos A = 2, B = (2)
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Ejemplo 2 (2) And (3) De (3), tenemos (4)
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Ejemplo 2 (3) (b) (5) (6) (7)
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Ejemplo 3 Resolver Solución
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Ejemplo 3 (2) (8)
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Ejemplo 4 Resolver Solución
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Ejemplo 4 (2)
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La función escalón unitaria U(t – a) se define como
EDFINICIÓN 4.3 La función escalón unitaria U(t – a) se define como Función escalón unitario Fig 4.11.
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Fig 4.11
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Fig Fig 4.13 Fig 4.12 muestra la gráfica de (2t – 3)U(t – 1). Considerando la Fig 4.13, es la misma que f(t) = 2 – 3U(t – 2) + U(t – 3)
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También una función del tipo. (9) es la misma que
También una función del tipo (9) es la misma que (10) De manera similar, una función del tipo (11) puede escribirse como (12)
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Ejemplo 5 Expresar en términos de U(t). Fig 4.14.
Solución De (9) y (10), con a = 5, g(t) = 20t, h(t) = 0 f(t) = 20t – 20tU(t – 5)
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Fig 4.14
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Cosidere la función (13) Fig 4.15.
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Fig 4.15
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TEOREMA 4.7 Si F(s) = L{f}, y a > 0, entonces L{f(t – a)U(t – a)} = e-asF(s) Segundo teorema de traslación Demostración
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Sea v = t – a, dv = dt, entonces Si f(t) = 1, entonces f(t – a) = 1, F(s) = 1/s, (14) por ejemplo: La T.L. de la Fig 4.13 es
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Forma inversa del Teorema 4.7
(15)
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Ejemplo 6 Hallar la T.L. inversa de (a) (b) Solución (a) luego
(b) luego
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Forma alternativa del Teorema 4.7
Como , entonces Lo anterior se puede resolver. Sin embargo, lo enfocamos de otra manera. Sea u = t – a, Esto es, (16)
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Ejemplo 7 Hallar Solución Con g(t) = cos t, a = , entonces g(t + ) = cos(t + )= −cos t Por (16),
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Ejemplo 8 Resolver Solución Hallamos f(t) = 3 cos t U(t −), luego (17)
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Ejemplo 8 (2) Se sigue desde (15) con a = , entonces Así
(18) Fig 4.16
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Fig 4.16
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Vigas Recuerde que la ED de una viga es (19) Fig 4.17.
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Fig 4.17
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Ejemplo 9 Una viga de longitud L se empotra en ambos extremos como se ilustra en la Fig Determine la deflexión de la viga cuando la carga está dada por: Solución Tenemos las condiciones en la frontera: y(0) = y(L) = 0, y’(0) = y’(L) = 0. Por (10),
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Ejemplo 9 (2) Transformando (19) en donde c1 = y”(0), c3 = y(3)(0)
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Ejemplo 9 (3) Así
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Ejemplo 9 (4) Aplicamos y(L) = y’(L) = 0, entonces Así
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4.4 Propiedades Operacionales Adicionales
Multiplicando una función por tn esto es, De manera similar,
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Si F(s) = L{f(t)} y n = 1, 2, 3, …, entonces
TEOREMA 4.8 Si F(s) = L{f(t)} y n = 1, 2, 3, …, entonces Derivadas de una transformada
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Ejemplo 1 Hallar L{t sen kt}
Solución Con f(t) = sen kt, F(s) = k/(s2 + k2), luego
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Enfoques diferentes Teorema 4.6: Teorema 4.8:
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Ejemplo 2 Resolver Solución ó Del ejemplo 1, Así
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Convolución Un producto especial, f * g se define mediante al integral y se llama convolución de f y g. La convolución es una función de t, por ejemplo: Observación: f * g = g * f
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Demostración Teorema de convolución TEOREMA 4.9
Si f(t) y g(t) son continuas por partes en [0, ) y de orden exponencial, entonces Teorema de convolución Demostración
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manteniendo fija, let t = + , dt = d Se realiza al integración en la región sombreada de la Fig Cambiando el orden de integración:
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Fig 4.32
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Ejemplo 3 Hallar Solución Original statement = L{et * sin t}
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Forma inversa del Teorema 4.9
L-1{F(s)G(s)} = f * g (4) Mire en la tabla del Apéndice III, (5)
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Ejemplo 4 Hallar Solución Sea entonces
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Ejemplo 4 (2) Ahora recordamos que sen A sen B = (1/2) [cos (A – B) – cos (A+B)] Si ponemos A = k, B = k(t − ), entonces
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Transformada de una Integral
Cuando g(t) = 1, G(s) = 1/s, entonces
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Eejmplos:
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Ecuación Integral de Volterra
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Ejemplo 5 Resolver Solución Primero, h(t-) = e(t-), h(t) = et. De (9) Resolviendo para F(s) y empleando fracciones parciales
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Circuitos en Serie De la Fig 4.33, tenemos
la cual se llama ecuación integrodiferencial. Fig 4.33
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Ejemplo 6 Determine i(t) en Fig 4.33, cuando L = 0.1 h, R = 2 , C = 0.1 f, i(0) = 0, y E(t) = 120t – 120tU(t – 1) Solución Usando los datos, (10) se convierte Y entonces
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Ejemplo 6 (2)
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Ejemplo 6 (3) Escrita como una función definida por partes: (11)
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Fig 4.34
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Periodic Function f(t + T) = f(t)
Si f(t) is una función periódica con período T, entonces TEOREMA 4.10 Transformada de una función periódoca
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Demostración Use el mismo método de transformación
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Ejemplo 7 Halle la T. L. de la función en Fig 4.35.
Solución Hallamos T = 2 y Del Teorema 4.10,
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Fig 4.35
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Ejemplo 8 La ED (13) Hallar i(t) donde i(0) = 0, E(t) es como ilustar la Fig 4.35. Solución ó (14) Porque y
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Luego i(t) se esribe de la siguiente manera y se ilustra en la Fig 4
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Fig 4.36
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4.5 La función delta de Dirac
Impulso Unitario Observe la Fig 4.43(a). Está función se define por (1) donde a > 0, t0 > 0. Para un valor pequeño de a, a(t – t0) es una función constante de gran magnitud. El comportamiento de a(t – t0) cuando a 0, se llama impulso unitario, porque posee la propiedad Fig 4.43(b).
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Fig 4.43
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La función delta de Dirac
Esta función se define como (t – t0) = lima0 a(t – t0) (2) Las dos propiedades importantes son: (1) (2) , x > t0
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Demostración La Transformada de Laplace es
TEOREMA 4.11 Para t0 > 0, Transformación de la función delta de Dirac Demostración La Transformada de Laplace es
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Cuando a 0, (4) es 0/0. Use la regla de L’Hopital, entonces (4) tiende a 1 cuando a 0. Así , Ahora cuando t0 = 0, tenemos
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Ejemplo 1 Resolver sujeta a (a) y(0) = 1, y’(0) = 0 (b) y(0) = 0, y’(0) = 0 Solución (a) s2Y – s + Y = 4e-2s Así y(t) = cos t + 4 sen(t – 2)U(t – 2) Como sen(t – 2) = sen t, enonces (5) Fig 4.44.
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Fig 4.44
103
Ejemplo 1 (2) (b) Así y(t) = 4 sen(t – 2)U(t – 2) y (6)
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Fig 4.45
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4.6 Sistemas Eds Lineales Resortes acoplados En el ejemplo 1 trabajaremos con (1)
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Ejemplo 1 Use T.L. para resolver (2) donde x1(0) = 0, x1’(0) = 1, x2(0) = 0, x2’(0) = −1. Solución s2X1 – sx1(0) – x1’(0) + 10X1 – 4X2 = 0 −4X1 + s2X2 – sx2(0) – x2’(0) + 4X2 = 0 Recolocando: (s2 + 10)X – 4X2 = −4X1 + (s2 + 4)X2 = −1 (3)
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Ejemplo 1 (2) Resolviendo (3) para X1: Usamos X1(s) para obtener X2(s)
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Ejemplo 1 (3) Luego (4)
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Redes De la Fig 4.47, tenemos (5)
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Fig 4.47
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Ejemplo 2 Resolver (5) donde E(t) = 60 V, L = 1 h, R = 50 ohm,
C = 10-4 f, i1(0) = i2(0) = 0. Solución Tenemos Entonces sI1(s) + 50I2(s)= 60/s −200I1(s) + (s + 200)I2(s)= 0
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Ejemplo 2 (2) Resolviendo lo anterior: Así
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Péndulo Doble De la Fig 4.48, tenemos (6)
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Fig 4.48
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Ejemplo 3 Compruebe que cuando la solución de (6) es (7) Fig 4.49
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Fig 4.49
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