La descarga está en progreso. Por favor, espere

La descarga está en progreso. Por favor, espere

TEMA 2.5. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE. SUBTEMA 2.5.1. DEFINICION DE MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE (PRODUCTO VECTORIAL Y ESCALAR),

Presentaciones similares


Presentación del tema: "TEMA 2.5. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE. SUBTEMA 2.5.1. DEFINICION DE MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE (PRODUCTO VECTORIAL Y ESCALAR),"— Transcripción de la presentación:

1 TEMA 2.5. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE. SUBTEMA DEFINICION DE MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE (PRODUCTO VECTORIAL Y ESCALAR),

2 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. El producto escalar de dos vectores P y Q se define como el producto de las magnitudes de P y Q por el coseno del ángulo θ formado por P y Q como se ve en la figura siguiente. El producto escalar de P y Q se denota P.Q entonces se escribe: P. Q = PQ cos θ. (1).

3 Q P θ

4 Observe que la expresión que se acaba de definir no es un vector sino un escalar, lo cual explica el nombre de producto escalar; en virtud de la notación utilizada, P.Q también se conoce como el producto punto de los vectores P y Q. A partir de su propia definición, se concluye que el producto escalar de dos vectores es conmutativo, esto es, que: P. Q = Q. P

5 El producto escalar de dos vectores P y Q puede expresarse en términos de los componentes rectangulares de dichos vectores. Descomponiendo a P y a Q en sus componentes se escribe primero: P. Q = (Pxi + Pyj + Pzk). (Qxi + Qyj + Qzk). Haciendo uso de la propiedad distributiva, P.Q se expresa como la suma de los productos escalares, tales como Pxi. Qxi y Pyj.Qyj. Sin embargo, a partir de la definición de del producto escalar se concluye que los productos escalares de los vectores unitarios son iguales a cero o a uno.

6 i. i = 1j. j = 1k. k = 1 i x j = 0j. k = 0k. i= 0 Por lo tanto la expresión obtenida para P.Q, se reduce a: P.Q = Px Qx + Py Qy + Pz Qz. (2) En el caso particular cuando P y Q son iguales, se observa que: P. P = Px 2 + Py 2 + Pz 2 = P 2.

7 APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR. 1.- Angulo formado por dos vectores dados.- Considere que los dos vectores están dados en términos de sus componentes: P = Pxi + Pyj + Pzk.Q = Qxi + Qyj + Qzk Para determinar el ángulo formado por estos dos vectores, se igualan las expresiones obtenidas para el producto escalar en las ecuaciones (1) y (2) y se escribe: PQ cos θ = PxQx + PyQy + PzQz. Despejando cos θ tenemos: Cos θ = PxQx + PyQy + PzQz. PQ

8 2.- Proyección de un vector sobre un eje dado. Considere un vector P que forma un ángulo θ con un eje, o línea OL. La proyección de P sobre el eje OL se define como el escalar: POL = P cos θ.

9 Ejercicios de productos escalares. Dado los vectores P = 4i+ 3j – 2 k, q= -i + 4j -5k calcule el producto escalar p.q -4 i + 12 j + 10 k = 18. Dado los vectores p = 4i +3j- 2k, s = i + 4j + 3k, calcule el producto escalar p.s 4i + 12j - 6k=10.

10 Dado los vectores q = -i + 4j -5k y s = i + 4j+ 3k, calcule el producto escalar q.s. –i + 16j -15k=0 Dado los vectores p = 2i + 6j -3k y q = -4i + 8j -6k, calcule el producto escalar de p.q. -8i + 48j + 18k= 58.

11 Calculo del ángulo formado por 2 vectores, dados sus componentes rectangulares. 1.- Calcular el ángulo que forman los vectores p y q, expresados en sus componentes rectangulares, siendo p= 4i- 3j + k y q = -i -2j + 2k. producto escalar: -4 i + 6 j + 2 k = 4 cos θ = 4_______ _______________ ________________ (4) 2 + (-3) 2 + (1) 2 x (-1) 2 + (-2) 2 + (2) 2. cos θ = 4_______ ___________ _________ x cos θ = 4_______ ___ __ 26 x 9 cos θ = 4_______ = 4_____ = x θ = cos = 74.81°.

12 2.- calcule el ángulo entre los vectores p y q siendo las componentes de p y q las siguientes. P = -4i + 8j-3k, q = 2i + j + k. Producto escalar= -8 i + 8 j + 3 k = 3 ________________ ________________ cos θ = 3/(-4) 2 + (8) 2 + (3) 2 x (2) 2 + (1) 2 + (1) 2 __________ ________ cos θ = 3/ x __ ___ cos θ = 3/89 x 6 cos θ = 3/9.43 x 2.44 cos θ = 3/23.10 = θ = cos = 82.54°.

13 3.- Calcule el ángulo entre los vectores p y q, siendo sus componentes rectangulares las sigiuente. p = i-7j+ 4k y q= 5i-k. producto escalar: 5 i + 0 j + -4 k = 1 _______________ __________ cos θ = 1/(1) 2 + (7) 2 + (4) 2 x (5) 2 + (-1) 2. __________ _______ cos θ = 1/ x ___ ___ cos θ = 1/66 x 26. cos θ = 1/8.12 x cos θ = 1/41.33 cos θ = θ = cos = 88.61°.

14 4.- Calcule el ángulo entre los vectores p y q, siendo sus componentes rectangulares los siguientes. P = -2i-3j y q = -6i+4k. Producto escalar: 12 i = 12 _____________ __________ cos θ = 12/(-2) 2 + (-3) 2 x (-6) 2 + (4) 2. _____ ________ cos θ = 12/4 + 9 x __ ____ cos θ = 12/13 x 52 cos θ = 12/3.60 x 7.21 cos θ = 12/ cos θ = θ = cos = 62.45°.

15 PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES. Para entender mejor el efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido, a continuación se introducirá un nuevo concepto: el concepto del momento de una fuerza respecto a un eje. Este concepto se podrá entender más fácilmente y podrá aplicarse en una forma más efectiva si primero se agrega a las herramientas matemáticas disponibles, el producto vectorial de 2 vectores.

16 El producto vectorial de dos vectores P y Q se define como el vector V que satisface las siguientes condiciones: La línea de acción de V es perpendicular al plano que contiene a P y a Q como se ve en la figura siguiente.

17 V = P x Q Q P θ

18 2.- La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Q con el seno del ángulo θ.formado por P y Q (cuya medida siempre deberá ser menor o igual a 180°); por lo tanto, se tiene que: V = PQ sen θ.(1)

19 3. La dirección de V se obtiene a partir de la mano derecha. Cierre su mano derecha y manténgala de tal forma que sus dedos estén doblados en el mismo sentido que la rotación a través del ángulo θ. que haría al vector P colineal con el vector Q; entonces su dedo pulgar, indicará la dirección del vector V. Obsérvese que si P y Q no tienen un punto de aplicación común, estos primero se deben volver a dibujar a partir del mismo punto. Se dice que los tres vectores P, Q, y V (tomados en ese orden) forman una tríada a derechas.

20

21 Como se mencionó anteriormente, el vector V satisface estas tres condiciones (las cuales la definen en forma única) se conoce como el producto vectorial de P y Q y se representa por la expresión matemática: V = P X Q. (2). En virtud de la notación utilizada, el producto vectorial de dos vectores P y Q también se conoce como el producto cruz de P y Q.

22 A partir de la ecuación 1, se concluye que cuando dos vectores P y Q tienen la misma dirección o direcciones opuestas su producto vectorial es igual a cero. En el caso general, cuando el ángulo θ formado por los dos vectores no es 0° ni 180°, a la ecuación 1 se le puede dar una interpretación geométrica simple : La magnitud V del producto vectorial de P y Q es igual a área del paralelogramo que tiene como lados a P y Q como se ve en la figura siguiente.

23 V Q Q P

24 La magnitud V del producto vectorial de P y Q es igual al área del paralelogramo que tiene como lados a P y a Q de la figura anterior. Por lo tanto, el producto vectorial P X Q permanece inalterado si Q se reemplaza por un vector Q que sea coplanar a P y a Q y tal que la línea que une a las partes terminales de Q y Q sea paralela a P. Así se escribe: V = P X Q = P X Q.

25 A partir de la tercera condición empleada para definir el producto vectorial V de P y Q, esto es, la condición que establece que P, Q, y V deben formar una tríada a derechas, se concluye que los productos vectoriales no son conmutativos, es decir, Q X P no es igual a P X Q. De hecho, se puede verificar fácilmente que Q X P está representado por el vector –V que es igual y opuesto a V. Entonces se escribe: Q X P = - (P X Q).


Descargar ppt "TEMA 2.5. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE. SUBTEMA 2.5.1. DEFINICION DE MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN EJE (PRODUCTO VECTORIAL Y ESCALAR),"

Presentaciones similares


Anuncios Google