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Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión11 Unidad V Funcionamiento de las redes en el campo de la frecuencia Conferencia.

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1 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión11 Unidad V Funcionamiento de las redes en el campo de la frecuencia Conferencia 3

2 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión2 Objetivos Definir el fenómeno de resonancia. Definir el fenómeno de resonancia. Utilizar adecuadamente las relaciones de: ancho de banda, frecuencia de media potencia, factor de calidad y frecuencia de resonancia, en la caracterización de las redes eléctricas conectadas tanto en serie como en paralelo. Utilizar adecuadamente las relaciones de: ancho de banda, frecuencia de media potencia, factor de calidad y frecuencia de resonancia, en la caracterización de las redes eléctricas conectadas tanto en serie como en paralelo. 5.4 Circuitos resonantes 5.4 Circuitos resonantes Contenido

3 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión3 La Figura 17 muestra dos circuitos con características de frecuencia extremadamente importante, el circuito resonante serie y el circuito resonante paralelo. La Figura 17 muestra dos circuitos con características de frecuencia extremadamente importante, el circuito resonante serie y el circuito resonante paralelo. 5.4 Circuitos Resonantes Para el circuito RLC serie, la impedancia de entrada es: Para el circuito RLC serie, la impedancia de entrada es:

4 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión4 Los términos imaginarios para ambas ecuaciones anteriores serán cero si: Los términos imaginarios para ambas ecuaciones anteriores serán cero si: El valor de que satisface esta ecuación es: El valor de que satisface esta ecuación es: Para el circuito RLC paralelo, la admitancia de entrada es: Para el circuito RLC paralelo, la admitancia de entrada es: Y en este valor de la impedancia del circuito en serie es: Z(j o ) = R Y en este valor de la impedancia del circuito en serie es: Z(j o ) = R Y en este valor de la admitancia del circuito en paralelo es: Y(j o ) = G Y en este valor de la admitancia del circuito en paralelo es: Y(j o ) = G

5 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión5 Esta frecuencia o, a la que la impedancia del circuito en serie o la admitancia del circuito en paralelo es puramente real, se llama frecuencia resonante, y los circuitos mismos, en esta frecuencia, se dice que están en resonancia. Esta frecuencia o, a la que la impedancia del circuito en serie o la admitancia del circuito en paralelo es puramente real, se llama frecuencia resonante, y los circuitos mismos, en esta frecuencia, se dice que están en resonancia. En la resonancia, el voltaje y la corriente están en fase y, por consiguiente, el ángulo de fase es cero y el factor de potencia es unitario. En la resonancia, el voltaje y la corriente están en fase y, por consiguiente, el ángulo de fase es cero y el factor de potencia es unitario. En el caso en serie, en la resonancia la impedancia es un mínimo y, por consiguiente, la corriente es máxima para un voltaje dado. En el caso en serie, en la resonancia la impedancia es un mínimo y, por consiguiente, la corriente es máxima para un voltaje dado. A bajas frecuencias, la impedancia del circuito en serie está dominado por el término capacitivo y la admitancia del circuito en paralelo está dominada por el término inductivo. A bajas frecuencias, la impedancia del circuito en serie está dominado por el término capacitivo y la admitancia del circuito en paralelo está dominada por el término inductivo. La Figura 18 ilustra la respuesta de frecuencia de los circuitos RLC en serie y en paralelo. La Figura 18 ilustra la respuesta de frecuencia de los circuitos RLC en serie y en paralelo.

6 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión6 A altas frecuencias, la impedancia del circuito en serie está dominado por el término inductivo y la admitancia del circuito en paralelo está dominada por el término capacitivo. A altas frecuencias, la impedancia del circuito en serie está dominado por el término inductivo y la admitancia del circuito en paralelo está dominada por el término capacitivo.

7 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión7 La ganancia de corriente I sal /I f del circuito paralelo mostrado en la Figura 19 es La ganancia de corriente I sal /I f del circuito paralelo mostrado en la Figura 19 es Resonancia Paralelo Resonancia Paralelo donde Y es la admitancia de los tres elementos en paralelo. Por tanto, donde Y es la admitancia de los tres elementos en paralelo. Por tanto, sustituyendo Y en la ecuación de H, sustituyendo Y en la ecuación de H,

8 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión8 El término imaginario es igual a cero en la frecuencia de resonancia, cuando C=1/ L. La frecuencia de resonancia de un circuito resonante en paralelo se define como la frecuencia o a la cual la admitancia Y es no reactiva. El término imaginario es igual a cero en la frecuencia de resonancia, cuando C=1/ L. La frecuencia de resonancia de un circuito resonante en paralelo se define como la frecuencia o a la cual la admitancia Y es no reactiva. La frecuencia de resonancia es: La frecuencia de resonancia es: Un circuito resonante es una combinación de elementos sensibles a la frecuencia, conectados para obtener una respuesta selectora de frecuencia. Un circuito resonante es una combinación de elementos sensibles a la frecuencia, conectados para obtener una respuesta selectora de frecuencia. Para el circuito RLC en paralelo se define otro parámetro llamado factor de calidad Q como Para el circuito RLC en paralelo se define otro parámetro llamado factor de calidad Q como

9 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión9 donde Q es un coeficiente adimensional. En esencia Q es una medida de la capacidad de almacenamiento de energía de un circuito en relación con su capacidad de disipación de energía. La definición de Q es donde Q es un coeficiente adimensional. En esencia Q es una medida de la capacidad de almacenamiento de energía de un circuito en relación con su capacidad de disipación de energía. La definición de Q es Multiplicando Q= o CR por / o, se obtiene Multiplicando Q= o CR por / o, se obtiene Q = 2 Q = 2 energía disipada por ciclo energía máxima almacenada De igual forma se multiplica Q=R/ o L por o / para obtener De igual forma se multiplica Q=R/ o L por o / para obtener Sustituyendo ambas ecuaciones en la ecuación de H, para obtenerla en términos de Q y o como sigue Sustituyendo ambas ecuaciones en la ecuación de H, para obtenerla en términos de Q y o como sigue

10 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión10 Por lo tanto, la magnitud es: Por lo tanto, la magnitud es: y la fase es y la fase es La tabla siguiente muestra la magnitud y fase de H a ciertas frecuencias. La tabla siguiente muestra la magnitud y fase de H a ciertas frecuencias. 0 1 o 2 |H|0 1/ o 45 o 0o0o -45 o -90 o

11 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión11 Hay dos frecuencia 1 y 2, que corresponden a H=1/ 2. Examinando la ecuación de la magnitud H, se observa que H=1/ 2 se presenta cuando Hay dos frecuencia 1 y 2, que corresponden a H=1/ 2. Examinando la ecuación de la magnitud H, se observa que H=1/ 2 se presenta cuando La ecuación anterior se puede reordenar en forma de una ecuación de cuarto grado, en función de. Despejando los valores de interés, se obtiene La ecuación anterior se puede reordenar en forma de una ecuación de cuarto grado, en función de. Despejando los valores de interés, se obtiene

12 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión12 El ancho de banda (B) del circuito se define como el intervalo que se encuentra entre las dos frecuencias donde la magnitud de la ganancia es 1/ 2. El ancho de banda (B) del circuito se define como el intervalo que se encuentra entre las dos frecuencias donde la magnitud de la ganancia es 1/ 2. Un circuito con una Q alta tendrá un ancho de banda angosto. Por ejemplo, si Q=100 y o =100Krad/s, entonces B=1Krad/s. Un circuito con una Q alta tendrá un ancho de banda angosto. Por ejemplo, si Q=100 y o =100Krad/s, entonces B=1Krad/s. El ancho de banda de un circuito selectivo en frecuencia es el intervalo entre las frecuencias donde la magnitud de la ganancia cae a 1/ 2 veces el valor máximo. Por tanto, El ancho de banda de un circuito selectivo en frecuencia es el intervalo entre las frecuencias donde la magnitud de la ganancia cae a 1/ 2 veces el valor máximo. Por tanto, La ecuación anterior ilustra que el ancho de banda es inversamente proporcional a Q. Por tanto, la selectividad de frecuencia del circuito esta determinada por el valor de Q. Un circuito de Q alta tiene un ancho de banda pequeño y, por consiguiente, el circuito es muy selectivo. La ecuación anterior ilustra que el ancho de banda es inversamente proporcional a Q. Por tanto, la selectividad de frecuencia del circuito esta determinada por el valor de Q. Un circuito de Q alta tiene un ancho de banda pequeño y, por consiguiente, el circuito es muy selectivo.

13 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión13 La manera que Q afecta la selectividad de la frecuencia de la red se muestra en la Figura 20. La manera que Q afecta la selectividad de la frecuencia de la red se muestra en la Figura 20. Puesto que los casos que interesan normalmente son aquellos donde Q>10, entonces (1/2Q)2«1 y las ecuaciones de 1 y 2, se reducen a Puesto que los casos que interesan normalmente son aquellos donde Q>10, entonces (1/2Q)2«1 y las ecuaciones de 1 y 2, se reducen a

14 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión14 Cuando Q>10, la curva de magnitud tiene una simetría aritmética aproximada entorno a o, como se aprecia en la Figura 21. Independientemente de Q, la respuesta es simétrica en una escala logarítmica de frecuencia. Cuando Q>10, la curva de magnitud tiene una simetría aritmética aproximada entorno a o, como se aprecia en la Figura 21. Independientemente de Q, la respuesta es simétrica en una escala logarítmica de frecuencia.

15 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión15 Para pequeñas desviaciones de frecuencias con respecto a o Q es relativamente alta y definimos como Para pequeñas desviaciones de frecuencias con respecto a o Q es relativamente alta y definimos como donde representa la cantidad proporcional por la que la frecuencia se desvía de o. Entonces podemos escribir el factor ( / o - o / ) en términos de como donde representa la cantidad proporcional por la que la frecuencia se desvía de o. Entonces podemos escribir el factor ( / o - o / ) en términos de como Usando «1 para pequeñas desviaciones de o, Usando «1 para pequeñas desviaciones de o, Entonces H es Entonces H es que es una aproximación válida siempre que «1. que es una aproximación válida siempre que «1.

16 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión16 La ganancia de voltaje V sal /V f del circuito paralelo mostrado en la Figura 22 es La ganancia de voltaje V sal /V f del circuito paralelo mostrado en la Figura 22 es Resonancia Serie Resonancia Serie De nuevo se observa que la relación carece de término imaginario cuando L=1/ C y la frecuencia de resonancia es De nuevo se observa que la relación carece de término imaginario cuando L=1/ C y la frecuencia de resonancia es La frecuencia de resonancia de un circuito RLC en serie se define como la frecuencia o a la cual la impedancia total se vuelve real (no reactiva). La frecuencia de resonancia de un circuito RLC en serie se define como la frecuencia o a la cual la impedancia total se vuelve real (no reactiva).

17 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión17 Como antes, el ancho de banda del circuito es Como antes, el ancho de banda del circuito es El factor de calidad Q para el circuito resonante en serie se define como El factor de calidad Q para el circuito resonante en serie se define como Multiplicando Q= o L/R por / o, se obtiene Multiplicando Q= o L/R por / o, se obtiene De igual forma se multiplica Q=1/ o RC por o / para obtener De igual forma se multiplica Q=1/ o RC por o / para obtener Sustituyendo ambas ecuaciones en la ecuación de H, para obtenerla en términos de Q y o como sigue Sustituyendo ambas ecuaciones en la ecuación de H, para obtenerla en términos de Q y o como sigue

18 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión18 Note que esta ecuación es igual a la ecuación obtenida para el circuito resonante en paralelo. Sin embargo, nótese que la definición del factor de calidad para el circuito serie es diferente de la del circuito resonante paralelo. No obstante las demás relaciones para el ancho de banda, 2, 1 y son válidas para ambos circuitos. Note que esta ecuación es igual a la ecuación obtenida para el circuito resonante en paralelo. Sin embargo, nótese que la definición del factor de calidad para el circuito serie es diferente de la del circuito resonante paralelo. No obstante las demás relaciones para el ancho de banda, 2, 1 y son válidas para ambos circuitos. Ejemplo Ejemplo Considere la red que se muestra en la Figura 23. Determine la frecuencia de resonancia, el voltaje a través de cada elemento en resonancia y el valor del factor de calidad. Considere la red que se muestra en la Figura 23. Determine la frecuencia de resonancia, el voltaje a través de cada elemento en resonancia y el valor del factor de calidad.

19 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión19 Solución Solución La frecuencia de resonancia es: La frecuencia de resonancia es: A esta frecuencia de resonancia la corriente serie es: A esta frecuencia de resonancia la corriente serie es: Por tanto los voltajes de cada elemento son: Por tanto los voltajes de cada elemento son:

20 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión20 El factor de calidad es: El factor de calidad es: Es interesante notar que los voltajes a través de la bobina y del capacitor pueden escribirse en términos del Q como: Es interesante notar que los voltajes a través de la bobina y del capacitor pueden escribirse en términos del Q como:

21 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión21 Ejemplo Ejemplo Un circuito resonante en serie tiene R=2, L=1mH, C=0.1 F. Calcular o, B y Q y determinar la respuesta del circuito cuando =1.02 o. Un circuito resonante en serie tiene R=2, L=1mH, C=0.1 F. Calcular o, B y Q y determinar la respuesta del circuito cuando =1.02 o. Primero determinamos la frecuencia de resonancia Primero determinamos la frecuencia de resonancia El factor de calida es: El factor de calida es: Solución Solución Por lo tanto el ancho de banda es: Por lo tanto el ancho de banda es:

22 Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia C. R. Lindo Carrión22 También se desea determinar la respuesta del circuito cuando =1.02 o, es decir También se desea determinar la respuesta del circuito cuando =1.02 o, es decir Dado que Q=50, entonces Q =(50*0.02)=1, entonces H es: Dado que Q=50, entonces Q =(50*0.02)=1, entonces H es: La fase es: La fase es:


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