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Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión11 Unidad II Análisis de Potencia en estado estable Conferencia 1.

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1 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión11 Unidad II Análisis de Potencia en estado estable Conferencia 1

2 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión2 Objetivos Definir el significado de los valores promedios o eficaces, para las variables de corriente y voltaje. Definir el significado de los valores promedios o eficaces, para las variables de corriente y voltaje. 2.1 Introducción. 2.2 Potencia Instantánea. 2.3 Potencia Promedio. 2.4 Valores Efectivos. Contenido

3 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión3 En las sesiones anteriores hemos estado tratando principalmente de determinar el voltaje o corriente en algún punto dado de una red. Tiene igual importancia determinar la potencia que suministra o que absorbe cierto elemento. En las sesiones anteriores hemos estado tratando principalmente de determinar el voltaje o corriente en algún punto dado de una red. Tiene igual importancia determinar la potencia que suministra o que absorbe cierto elemento. 2.1 Introducción Típicamente los dispositivos eléctricos y electrónicos tienen condiciones normales de funcionamiento de potencia instantánea máxima o de potencia pico que no pueden excederse sin dañar los dispositivos. En esta sección explicaremos las diferentes ramificaciones de la potencia en circuitos de corriente alterna. Vamos a examinar la potencia instantánea, la potencia promedio, la máxima transferencia de potencia y los valores efectivos o rms. En esta sección explicaremos las diferentes ramificaciones de la potencia en circuitos de corriente alterna. Vamos a examinar la potencia instantánea, la potencia promedio, la máxima transferencia de potencia y los valores efectivos o rms.

4 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión4 2.2 Potencia Instantánea Veamos el circuito mostrado en la Figura 1, donde v(t) = V M cos(ωt+ v ) Entonces la potencia instantánea es: i(t) = I M cos(ωt+ i ) p (t) = v(t)*i(t)= V M I M *cos(ωt+ v )* cos(ωt+ i ) Recordando que: cos 1 cos 2 = (1/2)[ cos( )+ cos( )] cos 1 cos 2 = (1/2)[ cos( )+ cos( )]

5 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión5 entonces: Observe que esta expresión consta de dos términos, uno es una constante (es decir, independiente del tiempo) y el otro es una onda coseno de dos veces la frecuencia de excitación. Observe que esta expresión consta de dos términos, uno es una constante (es decir, independiente del tiempo) y el otro es una onda coseno de dos veces la frecuencia de excitación. p (t) = (V M I M /2)[cos( v - i )+ cos(2 t+ v + i )] Ejemplo: Para el circuito de la Figura 1 determine la potencia instantánea, si v(t) = 4cos( t+60º)V y Z = 2|30º Ω. Para el circuito de la Figura 1 determine la potencia instantánea, si v(t) = 4cos( t+60º)V y Z = 2|30º Ω. Solución:

6 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión6 entonces: Por lo tanto: Por lo tanto: i (t) = 2 cos( t+30 o )A El valor promedio de cualquier forma de onda (por ejemplo, una función senoidal) puede calcularse integrando la función en un periodo completo y dividiendo este resultado entre el periodo. El valor promedio de cualquier forma de onda (por ejemplo, una función senoidal) puede calcularse integrando la función en un periodo completo y dividiendo este resultado entre el periodo. 2.3 Potencia Promedio p (t) = 4[cos(30 o )+ cos(2 t+90 o )]W p (t) = cos(2 t+90 o )]W

7 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión7 Donde t o es arbitraria, y T = 2 / es el periodo del voltaje o la corriente. Donde t o es arbitraria, y T = 2 / es el periodo del voltaje o la corriente. El segundo término es una onda coseno de frecuencia doble, se sabe de matemáticas que el valor promedio de una onda coseno en un periodo completo o un número entero de periodos es cero, por lo tanto la potencia promedio es:. El segundo término es una onda coseno de frecuencia doble, se sabe de matemáticas que el valor promedio de una onda coseno en un periodo completo o un número entero de periodos es cero, por lo tanto la potencia promedio es:.

8 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión8 Observe que como cos(- ) = cos( ), el argumento para una función coseno puede ser v - i o i - v. Además, note que v - i Observe que como cos(- ) = cos( ), el argumento para una función coseno puede ser v - i o i - v. Además, note que v - i es el ángulo de la impedancia del circuito. Para un circuito puramente resistivo Para un circuito puramente resistivo Para un circuito puramente reactivo Para un circuito puramente reactivo Además usando la ley de Ohm, para un circuito puramente resistivo, también podemos emplear las expresiones: Además usando la ley de Ohm, para un circuito puramente resistivo, también podemos emplear las expresiones:

9 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión9 Debido a que las impedancias puramente reactivas no absorben potencia promedio, con frecuencia reciben el nombre de elementos sin pérdidas. La red puramente reactiva opera en una forma en la que almacena energía en una parte del periodo y la entrega en otro. Debido a que las impedancias puramente reactivas no absorben potencia promedio, con frecuencia reciben el nombre de elementos sin pérdidas. La red puramente reactiva opera en una forma en la que almacena energía en una parte del periodo y la entrega en otro. Para el circuito mostrado en la Figura 2 determine la potencia promedio de cada elemento. Para el circuito mostrado en la Figura 2 determine la potencia promedio de cada elemento. Ejemplo: Ejemplo: Solución: Solución:

10 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión10 P L = 0, ya que la bobina no absorbe potencia promedio Ejemplo: Ejemplo: Para el circuito mostrado en la Figura 3 determine la potencia promedio absorbida y entregada. Para el circuito mostrado en la Figura 3 determine la potencia promedio absorbida y entregada.

11 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión11 Solución: Solución:

12 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión12 Como podemos observar la Potencia promedio total absorbida es por supuesto igual a la Potencia promedio total entregada. Como podemos observar la Potencia promedio total absorbida es por supuesto igual a la Potencia promedio total entregada. En general no podemos aplicar la superposición a la potencia. Debemos, no obstante, enumerar que hay un caso especial en el que la superposición se aplica a la potencia, esto es cuando las señales senoidales están armónicamente relacionas. En general no podemos aplicar la superposición a la potencia. Debemos, no obstante, enumerar que hay un caso especial en el que la superposición se aplica a la potencia, esto es cuando las señales senoidales están armónicamente relacionas. Esto es: Si la corriente es de la forma: Esto es: Si la corriente es de la forma: i(t) = I 1 cos(ω 1 t + 1 ) + I 2 cos(ω 2 t + 2 ) Y si nω 1 = mω 2, donde son enteros diferentes, entonces: De modo que cosω 1 t tiene n periodos completos en el tiempo T y cosω 2 t tiene m periodos completos en el tiempo T. Esas senoidales se dice que están armónicamente relacionas. De modo que cosω 1 t tiene n periodos completos en el tiempo T y cosω 2 t tiene m periodos completos en el tiempo T. Esas senoidales se dice que están armónicamente relacionas.

13 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión13 La potencia promedio absorbida por la Resistencia R es un intervalo de tiempo T esta dada por: La potencia promedio absorbida por la Resistencia R es un intervalo de tiempo T esta dada por: Donde 1 y 2 son periódicas en T Como: La integral será cero.

14 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión14 Por lo tanto: Por lo tanto: La superposición se aplica si una y solo una de las fuentes es CD. Ejemplo: La corriente en una resistencia de 2Ω es de la forma i(t) = 4cos(377t + 30º) + 2cos(754t + 60º) A. Deseamos encontrar la potencia promedio absorbida por la resistencia. La corriente en una resistencia de 2Ω es de la forma i(t) = 4cos(377t + 30º) + 2cos(754t + 60º) A. Deseamos encontrar la potencia promedio absorbida por la resistencia. solución: 1 = 377 y 2 = 754, es decir, 2 = 2 1, entonces la potencia será: 1 = 377 y 2 = 754, es decir, 2 = 2 1, entonces la potencia será:

15 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión15 Transferencia Máxima de Potencia Promedio Transferencia Máxima de Potencia Promedio Para ello no vamos a auxiliar del circuito mostrado en la Figura 4 Para ello no vamos a auxiliar del circuito mostrado en la Figura 4 La potencia promedio en la carga es: La potencia promedio en la carga es: donde Z TH = R TH +jX TH y Z L = R L +jX L donde Z TH = R TH +jX TH y Z L = R L +jX L La magnitud de la corriente fosorial y el voltaje fasorial están dados por las siguientes expresiones: La magnitud de la corriente fosorial y el voltaje fasorial están dados por las siguientes expresiones:

16 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión16 Los ángulos de fase para la corriente fasorial y el voltaje fasorial están contenidos en la cantidad: Los ángulos de fase para la corriente fasorial y el voltaje fasorial están contenidos en la cantidad: Note también que: Note también que: Entonces: y además y además

17 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión17 Desde el punto de vista de maximizar P L, V TH es una constante, la cantidad (X L + X TH ) no absorbe potencia y, por lo tanto, cualquier valor diferente de cero de esta cantidad solo sirve para reducir P L. De aquí que podemos eliminar este término seleccionando X L =-X TH. Desde el punto de vista de maximizar P L, V TH es una constante, la cantidad (X L + X TH ) no absorbe potencia y, por lo tanto, cualquier valor diferente de cero de esta cantidad solo sirve para reducir P L. De aquí que podemos eliminar este término seleccionando X L =-X TH. Nuestro problema se reduce entonces a maximizar: Nuestro problema se reduce entonces a maximizar: Sin embargo esta es la misma cantidad que maximizamos en el caso puramente resistivo seleccionando R L =R TH. Por lo tanto, para una transferencia máxima de potencia promedio que se muestra en la Figura 4, Z L debe elegirse de forma que: Sin embargo esta es la misma cantidad que maximizamos en el caso puramente resistivo seleccionando R L =R TH. Por lo tanto, para una transferencia máxima de potencia promedio que se muestra en la Figura 4, Z L debe elegirse de forma que: Z L = R L + jX L = R TH – jX TH = Z L * Finalmente, si la impedancia de carga es puramente resistiva (es decir, X L = 0), la condición para máxima transferencia de potencia promedio puede derivarse mediante la expresión: Finalmente, si la impedancia de carga es puramente resistiva (es decir, X L = 0), la condición para máxima transferencia de potencia promedio puede derivarse mediante la expresión:

18 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión18 Ejemplo: Ejemplo: Para el circuito mostrado en la Figura 6 encuentre la potencia máxima transferida a al carga. Para el circuito mostrado en la Figura 6 encuentre la potencia máxima transferida a al carga. Necesitamos encontrar la impedancia de Thévenin ya que para máxima transferencia de potencia promedio Z L = Z TH. Para ello nos auxiliamos de la Figura 7. Necesitamos encontrar la impedancia de Thévenin ya que para máxima transferencia de potencia promedio Z L = Z TH. Para ello nos auxiliamos de la Figura 7. El valor de R L que maximiza P L bajo la condición X L = 0 es: El valor de R L que maximiza P L bajo la condición X L = 0 es: Solución: Solución:

19 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión19 Entonces: Entonces: Para encontrar la potencia máxima transferida a la carga, necesitamos el voltaje de Thévenin. Para encontrar la potencia máxima transferida a la carga, necesitamos el voltaje de Thévenin. Z TH = (2 + j)||(4) = j0.43 Ω Z TH = (2 + j)||(4) = j0.43 Ω Z L = j0.43 Ω Z L = j0.43 Ω

20 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión20 C. R. Lindo Carrión 20 Valores efectivos o rms Valores efectivos o rms Además de corriente directa y señales senoidales existen otro tipo de fuentes de señal, la técnica mediante la cual podemos comparar la efectividad de las diferentes fuentes de entregar potencia a una carga es que surge la definición de valor efectivo de una forma de onda periodica, que representa voltaje o corriente. Además de corriente directa y señales senoidales existen otro tipo de fuentes de señal, la técnica mediante la cual podemos comparar la efectividad de las diferentes fuentes de entregar potencia a una carga es que surge la definición de valor efectivo de una forma de onda periodica, que representa voltaje o corriente. El valor efectivo de una corriente o voltaje es la corriente o voltaje estable (CD) que transfiere la misma potencia promedio que la corriente variable. El valor efectivo de una corriente o voltaje es la corriente o voltaje estable (CD) que transfiere la misma potencia promedio que la corriente variable. =0 Como la CD es constante, el valor rms de la CD es simplemente el valor constante. Como la CD es constante, el valor rms de la CD es simplemente el valor constante. entonces: entonces: De aquí el nombre rms (root mean square) raíz cuadratica media

21 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión21 C. R. Lindo Carrión 21 Veamos el caso senoidal Veamos el caso senoidal =0 entonces: entonces: recordando que: recordando que: i(t) = I M cos(ωt - ) con periodo T = 2 /, entonces:

22 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión22 C. R. Lindo Carrión 22 Al usar valores rms para el voltaje y la corriente se tiene: Al usar valores rms para el voltaje y la corriente se tiene: La potencia absorbida por una resistencia R es: La potencia absorbida por una resistencia R es: =0 Determine el valor efectivo de la forma de onda de corriente mostrado en la Figura 8. Determine el valor efectivo de la forma de onda de corriente mostrado en la Figura 8. Ejemplo: Ejemplo:

23 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión23 C. R. Lindo Carrión 23 Solución: Solución: para 0 < t < T, entonces: para 0 < t < T, entonces: =0 entonces: entonces:

24 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión24 C. R. Lindo Carrión 24 =0 Determine el valor efectivo de la forma de onda de voltaje mostrado en la Figura 9. Determine el valor efectivo de la forma de onda de voltaje mostrado en la Figura 9. Ejemplo: Ejemplo:

25 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión25 C. R. Lindo Carrión 25 Solución: Solución: T=3s =0 v(t) = 4t V para 0 < t < 1s 0 V para 1 < t < 2s -4t+8 V para 0 < t < 1s

26 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión26 C. R. Lindo Carrión 26 =0 donde el valor rms de la corriente total es: donde el valor rms de la corriente total es: Si la corriente en una resistencia R esta compuesta por una suma de ondas senoidales de frecuencias diferentes, la potencia absorbida por la resistencia puede ser expresada como: Si la corriente en una resistencia R esta compuesta por una suma de ondas senoidales de frecuencias diferentes, la potencia absorbida por la resistencia puede ser expresada como: cada corriente representa una corriente de diferente frecuencia cada corriente representa una corriente de diferente frecuencia

27 Análisis de Potencia en estado estable C. R. Lindo Carrión27 C. R. Lindo Carrión 27 =0 Para la corriente i(t) = 12 sen377t + 6sen(754t + 30º) A. Determine el valor efectivo de dicha corriente. Para la corriente i(t) = 12 sen377t + 6sen(754t + 30º) A. Determine el valor efectivo de dicha corriente. Ejemplo: Ejemplo: Solución: Solución:


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