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Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión11 Unidad IAnálisis de CA en estado estable Conferencia 1.

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1 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión11 Unidad IAnálisis de CA en estado estable Conferencia 1

2 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión2 Objetivos Describir una señal de corriente alterna a través de los parámetros que la definen. Describir una señal de corriente alterna a través de los parámetros que la definen. Representar adecuadamente una señal senoidal, de manera fasorial. Representar adecuadamente una señal senoidal, de manera fasorial. 1.1 Introducción 1.2 Función Senoidal 1.3 Fasores 1.4 Relaciones fasoriales para los elementos de un circuito Contenido

3 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión3 En la realidad de cada día, nos encontramos con la utilización de la energía eléctrica. La distribución de esta energía se realiza utilizando tensiones alternas senoidales. En la realidad de cada día, nos encontramos con la utilización de la energía eléctrica. La distribución de esta energía se realiza utilizando tensiones alternas senoidales. 1.1 Introducción De manera que cuando hablamos de corriente alterna, nos referimos normalmente a aquella que presenta una forma senoidal. Esto es así, porque presenta varias ventajas en cuanto a su distribución y transporte frente a la corriente continua, además es la forma en que los generadores de corriente alterna la dan. En Europa la frecuencia de la red es de 50 Hz, en la mayor parte de América es de 60 Hz. La razón digna para estudiar la función senoidal, es que es la forma de onda dominante en la industria de potencia eléctrica. La señal presente en los tomacorrientes de c.a. en nuestra casa, oficina, laboratorios, etc., es senoidal. La razón digna para estudiar la función senoidal, es que es la forma de onda dominante en la industria de potencia eléctrica. La señal presente en los tomacorrientes de c.a. en nuestra casa, oficina, laboratorios, etc., es senoidal.

4 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión4 Se puede diferenciar e integrar repetidamente y seguir siendo una senoide de la misma frecuencia. Se puede diferenciar e integrar repetidamente y seguir siendo una senoide de la misma frecuencia. Desde el punto de vista de la Teoría de Circuitos la onda senoidal presenta las siguientes ventajas: Desde el punto de vista de la Teoría de Circuitos la onda senoidal presenta las siguientes ventajas: La suma de ondas senoidales de igual frecuencia, pero de distinta amplitud y fase, es una senoide de la misma frecuencia. Admite una representación con vectores giratorios, denominados fasores, que admiten una representación en el plano complejo. Es por esta razón la necesidad de estudiar el comportamiento en estado estable de la función senoidal y esto condujo a los ingenieros a desarrollar los conceptos de fasor y de impedancia, que relacionan linealmente la corriente y el voltaje fasorial de un elemento del circuito. Es por esta razón la necesidad de estudiar el comportamiento en estado estable de la función senoidal y esto condujo a los ingenieros a desarrollar los conceptos de fasor y de impedancia, que relacionan linealmente la corriente y el voltaje fasorial de un elemento del circuito.

5 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión5 En esta sección, estudiamos la respuesta forzada de estado estable de redes con funciones forzadas senoidales. Vamos a ignorar las condiciones iniciales y la respuesta transitoria o natural, que fue estudiada con anterioridad, y que finalmente desaparece en el tipo de circuitos que vamos a tratar. Nos referimos a esto como un análisis de c.a. en estado estable. 1.2 Función Senoidal La función forzada de onda senoidal es descrita por: x(ωt) = X M senωt x(t) puede representar v(t) ó i(t). X M es la amplitud o valor máximo es la frecuencia angular es la frecuencia angular t es el argumento de la función seno t es el argumento de la función seno donde:

6 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión6 La expresión general para una función seno puede ser descrita por: donde:ωt + θ es el argumento de la función seno θ es el ángulo de fase x(t) = X M sen(ωt + θ)

7 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión7 cosωt = sen(ωt + π/2) senωt = cos(ωt - π/2) -cosωt = cos(ωt ± π/2) -senωt = sen(ωt ± π/2) Recordemos algunas de las identidades trigonométricas, que nos servirán de alguna utilidad: Recordemos algunas de las identidades trigonométricas, que nos servirán de alguna utilidad: Utilizando estas identidades trigonométricas, tratemos de expresar la expresión general del seno en otra forma: x(t) = X M sen(ωt + θ) x(t) = X M (senωt*cosθ + cosωt*senθ) x(t) = A senωt + B cosωt sen( + β) = sen *cosβ + cos *senβ cos( + β) = cos *cosβ - sen *senβ sen( - β) = sen *cosβ - cos *senβ cos( - β) = cos *cosβ + sen *senβ donde A = X M cosθ B = X M senθ Entonces Entonces y

8 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión8 Por lo tanto Si aplicamos una función forzada senoidal a una red lineal, los voltajes y corrientes de estado estable en la red también serán senoidales. Esto también se cumple (es decir, es válido) para la aplicación de las Leyes de Kirchhoff de los Voltajes y las Corrientes. Por ejemplo: si aplicamos un voltaje v(t) = Asen(ωt + θ), entonces esto producirá una corriente i(t) = Bsen(ωt + φ). Entonces podemos concluir que la solución conlleva en determinar los valores de los dos parámetros B y φ. A continuación encontremos la respuesta de estado estable de un circuito RL ante una función forzada senoidal.

9 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión Respuesta de Estado Estable de un circuito RL a una función forzada senoidal: Consideremos el circuito mostrado en la Figura 1.1 Aplicando LKV a la malla existente, obtenemos: entonces i(t) será también senoidal: i(t) = Acos(ωt + φ) i(t) = Acosωt*cosφ - Asenωt*senφ) i(t) = A 1 cosωt – A 2 senωt

10 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión10 donde A 1 = Acosφ A 2 = Asenφ Si ahora sustituimos i(t) obtenido, en la ecuación diferencial inicial, y aplicando su derivada, obtenemos: L(-A 1 ωsenωt -A 2 ωcosωt) +R(A 1 cosωt – A 2 senωt) = V M cosωt Ahora igualando término a término, ambos lados de la ecuación, obtenemos las siguientes, ecuaciones: -A 1 ωL - A 2 R = 0 -A 2 ωL + A 1 R = V M Resolviendo ambas ecuaciones, tenemos:

11 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión11 Así, la corriente i(t) será: donde A y φ se determinan como: Entonces:

12 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión12 luego para la fase φ Así: por lo tanto entonces el ángulo de fase φ es:

13 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión13 El análisis anterior nos indica que el ángulo de fase φ será cero si la bobina L = 0 y por lo tanto la corriente i(t) estará en fase con el voltaje v(t). Si por el contrario hacemos la Resistencia R = 0, el ángulo de fase φ valdrá 90º y así la corriente i(t) se retrasará del voltaje v(t) en 90º. por lo tanto la corriente i(t) será: Si ambos componentes R y L están presentes, la corriente i(t) se retrasará del voltaje v(t) por algún ángulo de fase φ entre 0 o y 90º.

14 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión14 Dejamos al estudiante, que proceda de similar forma para hacer el análisis del circuito RC mostrado en la Figura 1.2 Respuesta a encontrar será: donde θ = tan -1 (ωRC).

15 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión15 Sin embargo se puede notar que la solución de este circuito sencillo es trabajoso, puede imaginarse como será para una red más grande. Para evitar este método, vamos a establecer una correspondencia entre funciones senoidales temporales y números complejos. Sin embargo se puede notar que la solución de este circuito sencillo es trabajoso, puede imaginarse como será para una red más grande. Para evitar este método, vamos a establecer una correspondencia entre funciones senoidales temporales y números complejos. El medio que emplearemos para establecer esa relación, es la ecuación de Euler. El medio que emplearemos para establecer esa relación, es la ecuación de Euler. e jωt = cosωt + jsenωt, donde R(e jωt ) = cosωt y Im(e jωt ) = senωt e jωt = cosωt + jsenωt, donde R(e jωt ) = cosωt y Im(e jωt ) = senωt Suponemos que seleccionamos como nuestra función forzante de voltaje: Suponemos que seleccionamos como nuestra función forzante de voltaje: v(t) = V M e jωt, entonces de la identidad trigonométrica se puede escribir: v(t) = V M e jωt, entonces de la identidad trigonométrica se puede escribir: v(t) = V M cosωt + jV M senωt, entonces la respuesta de corriente puede escribirse como: v(t) = V M cosωt + jV M senωt, entonces la respuesta de corriente puede escribirse como: i(t) = I M cos(ωt + φ) + jI M sen(ωt + φ), que también puede ser escrito como: i(t) = I M cos(ωt + φ) + jI M sen(ωt + φ), que también puede ser escrito como:

16 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión16 Debido a las relaciones anteriores que más que aplicar la función forzante V M cosωt y calcular la respuesta I M cos(ωt + φ), podemos aplicar la función forzante compleja V M e jωt y calcular la respuesta I M e j(ωt + φ ), la parte real de ésta, es la respuesta deseada I M cos(ωt + φ) Debido a las relaciones anteriores que más que aplicar la función forzante V M cosωt y calcular la respuesta I M cos(ωt + φ), podemos aplicar la función forzante compleja V M e jωt y calcular la respuesta I M e j(ωt + φ ), la parte real de ésta, es la respuesta deseada I M cos(ωt + φ) i(t) = I M e j(ωt + φ) i(t) = I M e j(ωt + φ) Aunque este procedimiento en principio parece ser más complicado, no lo es. Mediante esta técnica, convertiremos la ecuación diferencial en una ecuación algebraica que es mucho más fácil de resolver. Aunque este procedimiento en principio parece ser más complicado, no lo es. Mediante esta técnica, convertiremos la ecuación diferencial en una ecuación algebraica que es mucho más fácil de resolver. 1.2 Fasores 1.2 Fasores Cada vez que supongamos que la función forzante de una red lineal es la forma v(t) = V M e jωt, podemos decir que todo voltaje o corriente de estado estable en la red tendrá la misma forma y la misma frecuencia ω, por ejemplo, una corriente i(t) será de la forma i(t) = I M e j(ωt + φ). Cada vez que supongamos que la función forzante de una red lineal es la forma v(t) = V M e jωt, podemos decir que todo voltaje o corriente de estado estable en la red tendrá la misma forma y la misma frecuencia ω, por ejemplo, una corriente i(t) será de la forma i(t) = I M e j(ωt + φ).

17 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión17 Podemos entonces proceder en nuestro análisis de circuitos, anotando simplemente la frecuencia y omitir el factor e jωt, ya que éste es común a todos los términos en las ecuaciones descritas. Podemos entonces proceder en nuestro análisis de circuitos, anotando simplemente la frecuencia y omitir el factor e jωt, ya que éste es común a todos los términos en las ecuaciones descritas. Esto quiere decir que todo voltaje o corriente puede describirse completamente mediante una magnitud y una fase. Por ejemplo, un voltaje v(t) puede escribirse en forma exponencial como: Esto quiere decir que todo voltaje o corriente puede describirse completamente mediante una magnitud y una fase. Por ejemplo, un voltaje v(t) puede escribirse en forma exponencial como: v(t) = V M cosωt = Re[V M e j(ωt + θ) ] o como un número complejo, v(t) = V M cosωt = Re[V M e j(ωt + θ) ] o como un número complejo, Como estamos trabajando con una función forzante compleja cuya parte real es la respuesta deseada, y cada término en la ecuación contendrá e jωt, podemos entonces omitir Re[] y e jωt, y trabajar solo con el número complejo V M |θ. Esta representación compleja comúnmente se llama fasor. Como estamos trabajando con una función forzante compleja cuya parte real es la respuesta deseada, y cada término en la ecuación contendrá e jωt, podemos entonces omitir Re[] y e jωt, y trabajar solo con el número complejo V M |θ. Esta representación compleja comúnmente se llama fasor. v(t) = Re[V M |θ ej ωt ] v(t) = Re[V M |θ ej ωt ]

18 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión18 Fasor: es una versión transformada de una onda senoidal de voltaje o corriente que consiste en la información de la magnitud y el ángulo de fase de la senoide. Como característica distintiva, los fasores, se escribirán en negritas. Por ejemplo un voltaje v(t) = V M cos(ωt + θ) se escribirá en notación fasorial como: V = V M |θ, una corriente i(t) = I M cos(ωt + φ), en notación fasorial se escribirá como I = I M |φ. Como característica distintiva, los fasores, se escribirán en negritas. Por ejemplo un voltaje v(t) = V M cos(ωt + θ) se escribirá en notación fasorial como: V = V M |θ, una corriente i(t) = I M cos(ωt + φ), en notación fasorial se escribirá como I = I M |φ. De nuevo encontraremos la corriente i(t) en el circuito RL, considerado anteriormente, De nuevo encontraremos la corriente i(t) en el circuito RL, considerado anteriormente,

19 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión19 Al aplicar la LKV a la malla se obtiene la ecuación diferencial: Recordemos lo dicho anteriormente, que la solución de la ecuación diferencial, es la parte real de esta corriente. Recordemos lo dicho anteriormente, que la solución de la ecuación diferencial, es la parte real de esta corriente. La función forzante utilizada será, con el fasor V = V M |0 o, entonces la corriente será i(t) = Ie jωt, con el fasor I = I M |φ. La función forzante utilizada será, con el fasor V = V M |0 o, entonces la corriente será i(t) = Ie jωt, con el fasor I = I M |φ. Vamos a sustituir el voltaje y corriente en la ecuación diferencial, usando los fasores, Vamos a sustituir el voltaje y corriente en la ecuación diferencial, usando los fasores,

20 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión20 ahora efectuando la derivada tenemos: ahora despejando el fasor I, tendremos: ahora despejando el fasor I, tendremos: como puede ser observado, el término e jωt, es un factor común, como fue dicho anteriormente y puede ser eliminado, dejando los fasores, es decir, como puede ser observado, el término e jωt, es un factor común, como fue dicho anteriormente y puede ser eliminado, dejando los fasores, es decir, así la corriente i(t) será: así la corriente i(t) será:

21 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión21 la cual nuevamente es la función obtenida anteriormente. la cual nuevamente es la función obtenida anteriormente. Ejemplo: Pasar del tiempo a fasorial: v(t) = 24cos(377t – 45º) V e i(t) = 12sen(377t + 120º) A Ejemplo: Pasar del tiempo a fasorial: v(t) = 24cos(377t – 45º) V e i(t) = 12sen(377t + 120º) A Representación fasorial Representación fasorial Dominio de tiempo Dominio de tiempo Dominio de frecuencia Dominio de frecuencia Acos(ωt ± θ) Asen(ωt ± θ) A|±θ A|±θ-90 o El voltaje v(t) como fasor será: V= 24|-45 o V y la corriente i(t) como fasor será: I = 12|120 o -90 o = 12|30 o A. El voltaje v(t) como fasor será: V= 24|-45 o V y la corriente i(t) como fasor será: I = 12|120 o -90 o = 12|30 o A. Ahora convirtamos de la forma fasorial al tiempo: V= 16|20 o V e I= 10|-75 o A, con f = 1KHz. Ahora convirtamos de la forma fasorial al tiempo: V= 16|20 o V e I= 10|-75 o A, con f = 1KHz. El voltaje será: v(t) = 16cos(2000 t + 20º) V y la corriente será: i(t) = 10cos(2000π t - 75º) A, que también puede escribirse en términos de la función seno como: i(t) = 10sen(2000π t + 15º) A. El voltaje será: v(t) = 16cos(2000 t + 20º) V y la corriente será: i(t) = 10cos(2000π t - 75º) A, que también puede escribirse en términos de la función seno como: i(t) = 10sen(2000π t + 15º) A.

22 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión Relaciones fasoriales para elementos de circuitos 1.3 Relaciones fasoriales para elementos de circuitos Aplicando la ley de Ohm para el circuito de la Figura 1.3, tenemos: Aplicando la ley de Ohm para el circuito de la Figura 1.3, tenemos: Para el caso de un Resistor: Para el caso de un Resistor: v(t) = Ri(t) y sustituyendo por las funciones complejas tenemos: v(t) = Ri(t) y sustituyendo por las funciones complejas tenemos: ahora eliminando el factor común e jωt, se tiene: ahora eliminando el factor común e jωt, se tiene: que convertido en forma fasorial será: que convertido en forma fasorial será:

23 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión23 como podemos observar θ v = θ i, lo que significa que la corriente y el voltaje para este circuito (es decir, en una Resistencia) están en fase, esto puede ser visto en la Figura 1.4 (b), la Figura 1.4 (a) muestra el diagrama fasorial. como podemos observar θ v = θ i, lo que significa que la corriente y el voltaje para este circuito (es decir, en una Resistencia) están en fase, esto puede ser visto en la Figura 1.4 (b), la Figura 1.4 (a) muestra el diagrama fasorial.

24 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión24 Aplicando la ley del elemento para el circuito de la Figura 1.5, tenemos: Aplicando la ley del elemento para el circuito de la Figura 1.5, tenemos: Para el caso de una Bobina: Para el caso de una Bobina: y sustituyendo por las funciones complejas tenemos: y sustituyendo por las funciones complejas tenemos: ahora efectuando la derivada y eliminando el factor común e jωt, se tiene: ahora efectuando la derivada y eliminando el factor común e jωt, se tiene:

25 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión25 que convertido en forma fasorial será: que convertido en forma fasorial será: que también podemos escribirla como: ya que como podemos observar θ v = θ i +90 o, lo que significa que la corriente y el voltaje están fuera de fase 90º,y en particular podemos decir que el voltaje adelanta a la corriente por 90º o decir que la corriente esta atrasada del voltaje en 90º. esto puede ser visto en la Figura 1.6 (b), la Figura 1.6 (a) muestra el diagrama fasorial. ya que como podemos observar θ v = θ i +90 o, lo que significa que la corriente y el voltaje están fuera de fase 90º,y en particular podemos decir que el voltaje adelanta a la corriente por 90º o decir que la corriente esta atrasada del voltaje en 90º. esto puede ser visto en la Figura 1.6 (b), la Figura 1.6 (a) muestra el diagrama fasorial.

26 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión26 Aplicando la ley del elemento para el circuito de la Figura 1.7, tenemos: Aplicando la ley del elemento para el circuito de la Figura 1.7, tenemos: Para el caso de un Capacitor: Para el caso de un Capacitor: y sustituyendo por las funciones complejas tenemos: y sustituyendo por las funciones complejas tenemos: ahora efectuando la derivada y eliminando el factor común e jωt, se tiene: ahora efectuando la derivada y eliminando el factor común e jωt, se tiene:

27 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión27 que convertido en forma fasorial será: que convertido en forma fasorial será: que también podemos escribirla como: como podemos observar θ i = θ v +90 o, lo que significa que la corriente y el voltaje están fuera de fase 90º,y en particular podemos decir que la corriente adelanta al voltaje por 90º o decir que el voltaje esta atrasado de la corriente en 90º, esto puede ser visto en la Figura 1.8 (b), la Figura 1.8 (a) muestra el diagrama fasorial.

28 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión28 Para el circuito mostrado en la Figura 1.9, encuentre la corriente i(t), usando fasores. Con v(t) = 24cos(377t + 75º) V y R = 6. Para el circuito mostrado en la Figura 1.9, encuentre la corriente i(t), usando fasores. Con v(t) = 24cos(377t + 75º) V y R = 6. Ejemplo Ejemplo Convertimos el voltaje a la forma fasorial, entonces V= 24|75 o V y aplicando la ley de Ohm, obtenemos: así i(t) será: así i(t) será: i(t) = 4cos(377t + 75º) A Solución Solución

29 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión29 Para el circuito mostrado en la Figura 1.10, encuentre la corriente i(t), usando fasores. Con v(t) = 12cos(377t + 20º) V y L = 20mH. Para el circuito mostrado en la Figura 1.10, encuentre la corriente i(t), usando fasores. Con v(t) = 12cos(377t + 20º) V y L = 20mH. Ejemplo Ejemplo Convertimos el voltaje a la forma fasorial, entonces V= 12|20 o V y aplicando la ley del elemento, obtenemos: así i(t) será: i(t) = 1.59cos(377t - 70º) A Solución Solución

30 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión30 Para el circuito mostrado en la figura, encuentre la corriente i(t), usando fasores. Con v(t) = 100cos(377t + 15º) V y C = 100µF. Para el circuito mostrado en la figura, encuentre la corriente i(t), usando fasores. Con v(t) = 100cos(377t + 15º) V y C = 100µF. Ejemplo Ejemplo Convertimos el voltaje a la forma fasorial, entonces V= 100|15 o V y aplicando la ley del elemento, obtenemos: así i(t) será: i(t) = 3.77cos(377t + 105º) A Solución Solución


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