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Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión11 Unidad IAnálisis de CA en estado estable Conferencia 2.

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1 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión11 Unidad IAnálisis de CA en estado estable Conferencia 2

2 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión2 Objetivos Utilizar correctamente las relaciones de Impedancia y Admitancia para los elementos : resistores, capacitores e inductores. Utilizar correctamente las relaciones de Impedancia y Admitancia para los elementos : resistores, capacitores e inductores. Aplicar adecuadamente los conceptos de: relaciones de fases, adelanto y atraso entre las variables de corriente y voltaje a través de un elemento eléctrico. Aplicar adecuadamente los conceptos de: relaciones de fases, adelanto y atraso entre las variables de corriente y voltaje a través de un elemento eléctrico. Aplicar las técnicas de análisis y teoremas de redes lineales para redes excitadas senoidalmente, compuestas por elementos resistivos, capacitivos e inductivos. Contenido 1.5Impedancia y Admitancia. 1.6Técnicas de Análisis. (redes en escalera, análisis nodal, análisis de malla)

3 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión3 La impedancia se define como la razón del voltaje fasorial V a la corriente fasorial I, así: La impedancia se define como la razón del voltaje fasorial V a la corriente fasorial I, así: 1.4 Impedancia y Admitancia 1.4 Impedancia y Admitancia Z(jω) = R(ω) + jX(ω), la parte real es la que hasta ahora conocíamos y es la Resistencia y la parte compleja que es conocida como Reactancia. Z(jω) = R(ω) + jX(ω), la parte real es la que hasta ahora conocíamos y es la Resistencia y la parte compleja que es conocida como Reactancia. Entonces la impedancia tiene dos componentes: Entonces la impedancia tiene dos componentes: Impedancia Impedancia [Ohms] Como puede ser visto, una característica importante de la Impedancia es que depende de la frecuencia. Como puede ser visto, una característica importante de la Impedancia es que depende de la frecuencia.

4 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión4 y la fase es: y la fase es: entonces la magnitud de la impedancia es: entonces la magnitud de la impedancia es: podemos escribir que la Resistencia y la Reactancia serán: podemos escribir que la Resistencia y la Reactancia serán: R = Zcosθ z y X = Zsenθ z. R = Zcosθ z y X = Zsenθ z. En la siguiente tabla resumimos la impedancia para cada uno de los elemento pasivos conocidos hasta el momento. En la siguiente tabla resumimos la impedancia para cada uno de los elemento pasivos conocidos hasta el momento. Elementos pasivos ImpedanciaR Z = R L Z = jωL = jX L = ωL|90 o, X L = ωL C Z = 1/jωC = -jX C = (1/ωC)|-90 o, X C = 1/ωC

5 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión5 Las Leyes de Kirchhoff de los Voltajes y las Corrientes, son válidas en el dominio de la frecuencia. También podemos decir que las impedancias en serie al igual que las Resistencias en serie, se suman, es decir, Z s = Z 1 + Z 2 + Z 3 + +Z n Para el caso de las impedancias en paralelo, es igual al caso de las Resistencias en paralelo, La impedancia equivalente paralelo, es el inverso de la suma de todos los inverso, es decir,

6 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión6 Ejemplo: Primero encontraremos las impedancias de cada elemento, para el caso a) f = 60Hz, tenemos: Primero encontraremos las impedancias de cada elemento, para el caso a) f = 60Hz, tenemos: Para el circuito que se muestra en la Figura 1.12 encuentre la corriente i(t) para las frecuencias: a) f = 60Hz y b) f = 400Hz. Considere v(t) = 50cos(ωt + 30º) V, R = 25, L = 20mH y C = 50µF. Solución: Z R = 25, Z L = jωL = j(2 *60)(20m)= j7.54, y Z C = 1/jωC = - j/(2 *60)(50µ) = -j53.05 Z R = 25, Z L = jωL = j(2 *60)(20m)= j7.54, y Z C = 1/jωC = - j/(2 *60)(50µ) = -j53.05 Ahora como las tres impedancias están en serie, se suman para obtener la impedancia equivalente, así: Ahora como las tres impedancias están en serie, se suman para obtener la impedancia equivalente, así:

7 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión7 Z s = Z R + Z L + Z C = 25 – j45.51 Z s = Z R + Z L + Z C = 25 – j45.51 Aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos: Aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos: así la corriente i(t) será: i(t) = 0.96cos(120 t º) A para el caso b) f = 400Hz, tenemos: Z R = 25, Z L = jωL = j(2 *400)(20m)= j50.27, y Z C = 1/jωC = -j/(2 *400)(50µ)= -j7.96 Z R = 25, Z L = jωL = j(2 *400)(20m)= j50.27, y Z C = 1/jωC = -j/(2 *400)(50µ)= -j7.96

8 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión8 Ahora como las tres impedancias están en serie, se suman para obtener la impedancia equivalente, así: Ahora como las tres impedancias están en serie, se suman para obtener la impedancia equivalente, así: Z s = Z R + Z L + Z C = 25 + j42.31 Z s = Z R + Z L + Z C = 25 + j42.31 Aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos: Aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos: así la corriente i(t) será: así la corriente i(t) será: i(t) = 1.02cos(800 t – 29.42º) A i(t) = 1.02cos(800 t – 29.42º) A Es importante notar que a la frecuencia de 60Hz, la reactancia del circuito es capacitiva, ya que la parte imaginaria es negativa, sin embargo, en f = 400Hz la reactancia es inductiva, ya que la parte imaginaria es positiva. Es importante notar que a la frecuencia de 60Hz, la reactancia del circuito es capacitiva, ya que la parte imaginaria es negativa, sin embargo, en f = 400Hz la reactancia es inductiva, ya que la parte imaginaria es positiva.

9 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión9 Admitancia Admitancia Otra cantidad que es muy útil en el análisis de circuitos de corriente alterna es la admitancia. Es el recíproco de la Impedancia, es decir, Otra cantidad que es muy útil en el análisis de circuitos de corriente alterna es la admitancia. Es el recíproco de la Impedancia, es decir, La parte real G, es la que hasta ahora conocíamos y es la Conductancia y la parte compleja B, es conocida como Susceptancia. Podemos entonces escribir, La parte real G, es la que hasta ahora conocíamos y es la Conductancia y la parte compleja B, es conocida como Susceptancia. Podemos entonces escribir, entonces podemos encontrar cada una de las partes como:

10 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión10 En la siguiente tabla resumimos la admitancia para cada uno de los elemento pasivos conocidos hasta el momento. En la siguiente tabla resumimos la admitancia para cada uno de los elemento pasivos conocidos hasta el momento. Para el caso de las admitancias en paralelo es similar al de las Admitancias en paralelo, se suman, es decir, Para el caso de las admitancias en paralelo es similar al de las Admitancias en paralelo, se suman, es decir, Elementos pasivos Admitancia R Y = 1/R= G L Y = 1/jωL = (1/ωL)|-90 o C Y = jωC = ωC|90 o Y p = Y 1 + Y 2 + Y 3 + +Y n Y p = Y 1 + Y 2 + Y 3 + +Y n

11 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión11 Para el caso de las admitancias en serie, es igual al caso de las Admitancias en serie, La admitancia equivalente serie, es el inverso de la suma de todos los inverso, es decir, Para el caso de las admitancias en serie, es igual al caso de las Admitancias en serie, La admitancia equivalente serie, es el inverso de la suma de todos los inverso, es decir, Ejemplo: Para el circuito que se muestra en la Figura 1.13 encuentre la corriente fasorial I. Considere V s = 60|45 o V. Para el circuito que se muestra en la Figura 1.13 encuentre la corriente fasorial I. Considere V s = 60|45 o V.

12 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión12 Ahora aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos: Ahora aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos: Primero encontraremos las admitancias de cada elemento: Primero encontraremos las admitancias de cada elemento: Solución: entonces:

13 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión13 Similar que el caso con las Resistencias, encontraremos circuitos en los cuales, cuando intentamos reducir el circuito a una impedancia equivalente Z, encontramos que en ningún lado hay una impedancia en serie o en paralelo con otra. Similar que el caso con las Resistencias, encontraremos circuitos en los cuales, cuando intentamos reducir el circuito a una impedancia equivalente Z, encontramos que en ningún lado hay una impedancia en serie o en paralelo con otra. Transformaciones Y-Δ y Δ-Y Entonces podemos resolver el problema usando transformaciones Y a delta ( ) o delta a Y, según convenga. Estas conversiones pueden ser apreciadas en las Figuras 1.14 (a) y (b) Entonces podemos resolver el problema usando transformaciones Y a delta ( ) o delta a Y, según convenga. Estas conversiones pueden ser apreciadas en las Figuras 1.14 (a) y (b)

14 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión14 Se procede de similar forma como lo hicimos con el caso de las resistencias: de ambos circuitos tomemos las siguientes impedancias: Se procede de similar forma como lo hicimos con el caso de las resistencias: de ambos circuitos tomemos las siguientes impedancias: Ahora si resolvemos este conjunto de ecuaciones para Z a, Z b y Z c, obtenemos: Ahora si resolvemos este conjunto de ecuaciones para Z a, Z b y Z c, obtenemos:

15 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión15 Una forma sencilla para recordar este procedimiento para pasar de - Y es: insertar la Y dentro de la y la impedancia que se busca, será igual al producto de la impedancia entre las cuales se encuentra (en la ) dividido entre la suma de las tres impedancias. Una forma sencilla para recordar este procedimiento para pasar de - Y es: insertar la Y dentro de la y la impedancia que se busca, será igual al producto de la impedancia entre las cuales se encuentra (en la ) dividido entre la suma de las tres impedancias. De manera similar, si resolvemos ahora para Z 1, Z 2 y Z 3 obtenemos: De manera similar, si resolvemos ahora para Z 1, Z 2 y Z 3 obtenemos: Al igual que en el caso anterior, una forma sencilla para recordar este procedimiento para pasar de Y - es: insertar la en la Y y la impedancia que se busca, será igual a la suma de los producto de las combinaciones de dos impedancias (de la Y) dividido entre la impedancia del lado opuesto a la que se esta encontrando (de la Y). Al igual que en el caso anterior, una forma sencilla para recordar este procedimiento para pasar de Y - es: insertar la en la Y y la impedancia que se busca, será igual a la suma de los producto de las combinaciones de dos impedancias (de la Y) dividido entre la impedancia del lado opuesto a la que se esta encontrando (de la Y).

16 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión16 Para el caso balanceado en que Z a = Z b = Z c y Z 1 = Z 2 = Z 3 entonces Para el caso balanceado en que Z a = Z b = Z c y Z 1 = Z 2 = Z 3 entonces y Z = 3 Z Y y Z = 3 Z Y Encuentre la impedancia equivalente del circuito que se muestra en la Figura 1.15 Encuentre la impedancia equivalente del circuito que se muestra en la Figura 1.15 Ejemplo: Ejemplo:

17 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión17 Primero convertiremos la parte de arriba del Δ en Y, para ello comenzaremos con encontrar la impedancia entre el nodo a y en centro de la Y, así: Primero convertiremos la parte de arriba del Δ en Y, para ello comenzaremos con encontrar la impedancia entre el nodo a y en centro de la Y, así: luego la impedancia entre el nodo b y el centro de la Y, luego la impedancia entre el nodo b y el centro de la Y, Solución: Solución: luego la impedancia entre el nodo c y el centro de la Y, luego la impedancia entre el nodo c y el centro de la Y,

18 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión18 Esto puede verse en la Figura 1.16, luego reducimos, las impedancias que se encuentran en serie, como son: j1 y 2 + j0.67, las cuales se encuentran ahora en paralelo, y resolviendo nos da: Esto puede verse en la Figura 1.16, luego reducimos, las impedancias que se encuentran en serie, como son: j1 y 2 + j0.67, las cuales se encuentran ahora en paralelo, y resolviendo nos da:

19 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión19 Resultando el circuito equivalente de la Figura 1.17, que como podemos observar, todas las impedancias se encuentran en serie, entonces la impedancia equivalente Z es: Resultando el circuito equivalente de la Figura 1.17, que como podemos observar, todas las impedancias se encuentran en serie, entonces la impedancia equivalente Z es: Z = j – j0.06 = j0.61 Z = j – j0.06 = j0.61 Figura 1.17

20 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión20 Para el circuito que se muestra en la Figura 1.18, encuentre cada una de las variables del circuito. Para el circuito que se muestra en la Figura 1.18, encuentre cada una de las variables del circuito. Técnicas de análisis Técnicas de análisis Ejemplo: Ejemplo: Solución: Solución: Tenemos dos alternativas para resolverlo, primero, encontrar la impedancia equivalente, vista por la fuente V s y luego aplicar la ley de Ohm, para encontrar la corriente I 1. Tenemos dos alternativas para resolverlo, primero, encontrar la impedancia equivalente, vista por la fuente V s y luego aplicar la ley de Ohm, para encontrar la corriente I 1. Segundo, encontrar la impedancia vista por V 1 y luego hacer un divisor de voltaje, para encontrar V 1. Procederemos haciendo lo primero. Segundo, encontrar la impedancia vista por V 1 y luego hacer un divisor de voltaje, para encontrar V 1. Procederemos haciendo lo primero.

21 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión21 Para encontrar la impedancia vista por la fuente V s, tenemos la impedancia de 8 en serie con la impedancia de –j4, esa impedancia equivalente queda en paralelo con la impedancia de j6 y ese equivalente obtenido queda en serie con la impedancia de 4, así: Para encontrar la impedancia vista por la fuente V s, tenemos la impedancia de 8 en serie con la impedancia de –j4, esa impedancia equivalente queda en paralelo con la impedancia de j6 y ese equivalente obtenido queda en serie con la impedancia de 4, así: Ahora aplicamos la ley de Ohm, para obtener la corriente I 1 : Ahora aplicamos la ley de Ohm, para obtener la corriente I 1 : El voltaje V 1 puede ser encontrado haciendo la LKV a la malla de la izquierda, así: El voltaje V 1 puede ser encontrado haciendo la LKV a la malla de la izquierda, así:

22 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión22 V 1 = V s - 4 I 1 = 24|60 o - 10|29.08 o = 12 + j – j4.86 = j15.92 = 16.25|78.43 o V V 1 = V s - 4 I 1 = 24|60 o - 10|29.08 o = 12 + j – j4.86 = j15.92 = 16.25|78.43 o V Teniendo el voltaje V 1 podemos aplicar la ley de Ohm para encontrar la corriente I 2, así: Teniendo el voltaje V 1 podemos aplicar la ley de Ohm para encontrar la corriente I 2, así: También podemos encontrar I 3, a partir de V 1, aplicando también la ley de Omh, así: También podemos encontrar I 3, a partir de V 1, aplicando también la ley de Omh, así: Ahora V 2, puede ser encontrado, aplicando nuevamente la ley de Ohm, así: Ahora V 2, puede ser encontrado, aplicando nuevamente la ley de Ohm, así: V 2 = (-j4)I 3 = (4|90 o )(1.82|105 o ) = 7.28|15 o V V 2 = (-j4)I 3 = (4|90 o )(1.82|105 o ) = 7.28|15 o V

23 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión23 Usando el método de análisis nodal, encuentre la corriente I o en el circuito mostrado en la Figura 1.19 Usando el método de análisis nodal, encuentre la corriente I o en el circuito mostrado en la Figura 1.19 Técnicas de análisis Técnicas de análisis Ejemplo: Ejemplo: Solución: Solución: Primero ubicamos nuestra respuesta, es decir I o, para encontrarlo necesitamos el voltaje del nodo 2, entonces aplicando la ley de Ohm, la corriente I o, será: Primero ubicamos nuestra respuesta, es decir I o, para encontrarlo necesitamos el voltaje del nodo 2, entonces aplicando la ley de Ohm, la corriente I o, será: Entre los nodos 1 y 2, existe un supernodo, cuya ecuación será:. Entre los nodos 1 y 2, existe un supernodo, cuya ecuación será:. V 2 – V 1 = 6|0 o, (1) es la primera ecuación. V 2 – V 1 = 6|0 o, (1) es la primera ecuación.

24 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión24 La segunda ecuación la obtenemos de aplicar LKC al supernodo, así: La segunda ecuación la obtenemos de aplicar LKC al supernodo, así: Como necesitamos encontrar V 2, de la ecuación (1) despejamos V 1 en función de V 2, Como necesitamos encontrar V 2, de la ecuación (1) despejamos V 1 en función de V 2, reacomodando tenemos: reacomodando tenemos: (2) (2) V 1 = V 2 - 6|0 o, y la insertamos en la ecuación (2), para tener: V 1 = V 2 - 6|0 o, y la insertamos en la ecuación (2), para tener:

25 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión25 efectuando operaciones tenemos: efectuando operaciones tenemos: despejando el voltaje V 2, será: = 2.5 – j1.5 A = 2.92| o A por lo tanto la corriente I o será: por lo tanto la corriente I o será: tenemos: Simplificando tenemos:

26 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión26 Ahora resolvamos el ejemplo anterior, pero usando el método de análisis de malla, encontremos la corriente I o en el circuito mostrado en la Figura 1.20 Ahora resolvamos el ejemplo anterior, pero usando el método de análisis de malla, encontremos la corriente I o en el circuito mostrado en la Figura 1.20 Técnicas de análisis Técnicas de análisis Ejemplo: Ejemplo: Solución: Solución: Primero tenemos que asignar las corrientes de llama, las elegimos como se muestra en la Figura 1.21 Primero tenemos que asignar las corrientes de llama, las elegimos como se muestra en la Figura 1.21

27 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión27 Luego ubicamos nuestra respuesta, es decir I o, para encontrarlo necesitamos la corriente malla I 2 entonces aplicando la LKV a la malla 2, así: Luego ubicamos nuestra respuesta, es decir I o, para encontrarlo necesitamos la corriente malla I 2 entonces aplicando la LKV a la malla 2, así: necesitaremos aplicar la LKV a la supermalla 3, así, necesitaremos aplicar la LKV a la supermalla 3, así, (2 – j)I 2 + (1 – j)I 3 = 0, (1), pero como nos interesa I 2, despejamos I 3 en función de I 2 (2 – j)I 2 + (1 – j)I 3 = 0, (1), pero como nos interesa I 2, despejamos I 3 en función de I 2 (1 + j +1 – j)I 3 + (1 + j)I 1 + (1 - j)I 2 = -6, pero I 1 es una ecuación de restricción, I 1 = 2|0 o A, sustituyendo, I 1 e I 3 en esta ecuación, tenemos: (1 + j +1 – j)I 3 + (1 + j)I 1 + (1 - j)I 2 = -6, pero I 1 es una ecuación de restricción, I 1 = 2|0 o A, sustituyendo, I 1 e I 3 en esta ecuación, tenemos:

28 Análisis de CA en estado estable C. R. Lindo Carrión28 resolviendo esto, obtenemos: resolviendo esto, obtenemos: que es la respuesta encontrada en el ejercicio anterior. que es la respuesta encontrada en el ejercicio anterior. (4 – j2)I j2I 2 = 6 –j6, por lo tanto la corriente I 2 será: (4 – j2)I j2I 2 = 6 –j6, por lo tanto la corriente I 2 será:


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