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Análisis Matemático I Ing. Antonio Crivillero. Menú Principal Particiones. Definición: Integral Definida. Definición: Integral Definida. Teorema (Condición.

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1 Análisis Matemático I Ing. Antonio Crivillero

2 Menú Principal Particiones. Definición: Integral Definida. Definición: Integral Definida. Teorema (Condición Necesaria y suficiente para existencia de Teorema (Condición Necesaria y suficiente para existencia de ). Teorema (Condición Suficiente para la existencia de ). Teorema (Condición Suficiente para la existencia de ). Propiedades Básicas de la Integral Definida Propiedades Básicas de la Integral Definida Definición: Media Definición: Media Teorema (Primer Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral). Teorema (Primer Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral). Teorema (Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral). Teorema (Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral). Teorema (Regla de Barrow). Teorema (Regla de Barrow). Definición: Integral Indefinida. Definición: Integral Indefinida. Aplicaciones Geométricas de la Integral

3 Particiones

4 Suma Inferior: Suma Superior:

5 Propiedades: Si Q es posterior a P

6 Definición: Integral Definida Sea acotada, diremos que f es integrable sobre [a,b] si y sólo si En este caso se denota y se dice que este número es la integral definida de f sobre [ a,b ].

7 Si f está acotada sobre [a,b], entonces f es integrable sobre ese intervalo si y sólo si para todo existe una partición P de [a,b] tal que: Teorema (Condición Necesaria y suficiente para existencia de ) Demostración : Supongamos que para cada tal que. Entonces De donde se sigue que, y f es integrable sobre [ a,b ].

8 Recíprocamente, supongamos que f es integrable sobre [ a,b ]. Entonces Por lo tanto es el supremo del conjunto y el ínfimo del conjunto. Por la definición de ínfimo y supremo, para cada existen particiones tales que y P/ ínfimos P/ supremos Teorema (Condición Necesaria y suficiente para existencia de )

9 Sumando estas desigualdades, obtenemos Sea, entonces P es un refinamiento tanto de P 1 como de P 2. Por lo tanto, Teorema (Condición Necesaria y suficiente para existencia de )

10 Teorema (Condición suficiente para existencia de ) La continuidad f continua sobre [ a,b ] implica que f es uniformemente continua sobre [ a,b ], y f acotada sobre [ a,b ], por lo tanto f tiene un máximo y mínimo sobre cada intervalo de [ a,b ]. Demostración : Si es continua, entonces f es integrable sobre [a,b]. Para cada partición P de [ a,b ] existen tales que y.

11 Tenemos entonces La continuidad uniforme de f sobre [a,b] implica que para cada tal que si y se tiene Por lo tanto implica Por el teorema (Condición necesaria y suficiente para la existencia de ) entonces, se sigue que f es integrable.- Teorema (Condición suficiente para existencia de )

12 Propiedades Básicas de la Integral Definida A continuación enunciamos una serie de propiedades básicas de la integral definida. Si f y g son integrables en [a,b], entonces f + g es integrable en [a,b] y Si f y g son integrables en [a,b], y f(x) g(x) para todo Entonces

13 Si f es integrable en [ a,b ], entonces | f | es integrable en [a,b] y Si f es integrable en el intervalo J y si con a

14 Dado un conjunto de n números, la media o promedio aritmético de ellos está dado por Definición de Media La integral definida nos permite extender este concepto a los valores de una función sobre un intervalo.

15 Si f es integrable en un intervalo [ a,b ], la media de f sobre [ a,b ] se define como Definición de Media Definición: Esta media tiene la siguiente interpretación geométrica: si Es el área bajo la gráfica de la función f, como

16 Esto quiere decir que es la altura de un rectángulo con base b-a cuya área es Definición de Media El Teorema siguiente establece un resultado relacionado con la media de una función continua.

17 Teorema (Valor Medio del Cálculo Integral) Sea continua. Entonces existe un número tal que. Demostración : Como f es continua existen tales que para todo. Integrando entre a y b tenemos que y dividiendo por (b - a)

18 Ahora por el teorema de los valores intermedios, existe un valor c entre x 1 y x 2 tal que Lo que demuestra el teorema anterior. Teorema (Valor Medio del Cálculo Integral)

19 Teorema (Teorema fundamental del Cálculo Integral) Sea continua y sea definida por. Entonces G es derivable en (a,b) y Para todo Demostración : Sea y tal que. Queremos ver que por un lado

20 Cuando tenemos Usando esto último tenemos que Y aplicando el teorema del valor medio del cálculo integral del último límite podemos escribir Donde está entre y, y como f es continua y Teorema (Teorema fundamental del Cálculo Integral)

21 Esto es, lo que completa la demostración. Teorema (Primer teorema fundamental del Cálculo Integral)

22 Teorema (Regla de Barrow) Sea f continua en un intervalo [ a,b ]. Si F es derivable en [ a,b ] y si para todo, entonces Demostración : Como F es primitiva de f, entonces F(x)=f(x) Sea G función integral Por el primer Teorema fundamental G=f sobre [a,b]. Por lo tanto G=F sobre [a,b], lo que indica que G y F difieren en una constante, esto es,

23 Teorema (Regla de Barrow), de donde, por lo tanto Como

24 Definición: Integral Indefinida Si F es una función primitiva de f, se llama integral indefinida de f a la expresión: donde, f es la función integrando, es el elemento de integración y es el símbolo integral. Como la expresión no determina un único resultado, da lugar a dos distintas interpretaciones: es una primitiva arbitraria de f. es el conjunto formado por todas las primitivas de f.

25 Aplicaciones Geométricas de la Integral Longitud de una curva Área entre dos curvas

26 Aplicaciones Geométricas de la Integral Área de sup. de revolución Volumen de sólidos de revolución Área de un círculo de radio r


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