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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior I: Tema 4 Rafael Salas noviembre de 2005.

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1 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior I: Tema 4 Rafael Salas noviembre de 2005

2 Esquema... F. de demanda ordinaria F. indirecta de utilidad F. de gasto Ecuación de Slutsky Propiedades: Los axiomas imponen una serie de propiedades o restricciones: F. de demanda compensada

3 l (1) Existen, contínuas y diferenciables (ya visto) l (2) Homogéneas de grado 0 en p e Y x i d (p,Y) = x i d (tp,tY) para todo t >0, p, Y l (3) Restricción presupuestaria px i d (p,Y) = Y l (4) Las derivadas de x i d con respecto a p e Y pueden tener cualquier signo, aunque existen unas restricciones: Propiedades f. de demanda ordinaria

4 x2x2 x1x1 l x* Consumo óptimo dado p, y dado Y l x* Consumo óptimo dado tp y dados tY x d (tp, tY) = x d (p, Y) Homogeneidad de grado 0 en p e Y

5 Restricciones: Diferenciando la propiedad (3) con respecto a p j se deduce la: (4.1) Condición de agregación de Cournot o lo que es lo mismo: Donde es la elasticidad-precio cruzada ordinaria entre i y j, y S i es la proporción del gasto en el bien i sobre el gasto total.

6 Restricciones: Diferenciando la propiedad (3) con respecto a Y se deduce la: (4.2) Condición de agregación de Engel o lo que es lo mismo: Donde es la elasticidad-renta del bien i

7 Restricciones: De la propiedad (2) se deduce por el teorema de Euler: (4.3) Condición de homogeneidad: o lo que es lo mismo:

8 Restricciones: De la ecuación de Slutsky deduciremos más adelante otra serie de restricciones sobre los signos. Antes veamos algunas propiedades de la función indirecta de utilidad

9 La función indirecta de utilidad Si introducimos todas las x i d (p, Y ) en la función de utilidad obtenemos la función indirecta de utilidad: V (p, Y) = U(x d (p, Y) ) Indica la máxima utiidad obtenible, dados los precios de los bienes y un nivel de renta del individuo

10 (1) Homogéneas de grado 0 en p e Y V (p,Y) = V (tp,tY) para todo t >0, p, Y l (2) Creciente en Y y no creciente en p l (3) Identidad de Roy… Propiedades f. indirecta de utilidad

11 x2x2 x1x1 l x* Máxima utilidad dado p, y dado Y l x* Máxima utilidad, dado tp y dados tY V(tp, tY) = V(p, Y) Homogeneidad de grado 0 en p e Y

12 Identidad de Roy: Differentiate w.r.t. p i. Use Shephard s Lemma V (p, y) / p i x i d = – V (p, y) / y V (p, y) / p i x i d = – V (p, y) / y Desutilidad marginal del precio de i Utilidad marginal de la renta Nos permite rescatar la función de demanda ordinaria a partir de la función indirecta de utilidad Nos permite observar que =utilidad marginal de la renta (positiva) Demostración: se basa en el teorema de la envolvente DETALLES DETALLES

13 La función de gasto Si introducimoslos x i c (p, U ) en la definición de gasto obtenemos la función de gasto: e (p, U) = p i x i c (p, U) Indica el mínimo gasto obtenible, dados los precios de los bienes y un nivel de utilidad

14 (1) Homogéneas de grado 1 en p e (p,U) = t e (tp,U) para todo t >0, p, U l (2) Creciente en U y no decreciente en p l (3) Lema de Shepard… Propiedades f. de gasto

15 x2x2 x1x1 l x* Mínimo gasto dados p y l x* Mínimo gasto dados tp, y e(tp, ) = t i p i x i c = t e(p, ) Homogeneidad de grado 1 en p

16 Lema de Shepard: x i c (p, ) = e (p, )/ p i Determina el signo de ciertas respuestas: función de gasto cóncava en p y simetría de efectos sustitución cruzados (más adelante) Nos permite rescatar la función de demanda compensada partir de la función de gasto Demostración: se basa en el teorema de la envolvente DETALLES DETALLES

17 e(p, ) p i = x i c _______ pipi e Lema de Shephard Pendiente = x 1 c

18 p1p1 D A B Gasto en D > 1/2 [Gasto en A + Gasto en B] e La f. de gasto es cóncava en precios

19 x2x2 x1x1 l xl x l xl x l x* e(p*, ) t e(p, ) + (1-t) e(p, )

20 Demostración Dados p, p y p* = tp + (1-t)p tenemos inicialmente que : px * px y px * px Si multiplicamos por t y 1-t las dos expresiones, donde 0 t 1, y las sumamos : tpx * + (1-t)px* tpx+ (1-t)px Pero como p* = tp + (1-t)p tenemos: p*x * tpx+ (1-t)px Con lo cual: e(p*, ) t e(p, ) + (1-t) e(p, )

21 l (1) Homogéneas de grado 0 en p x i c (p,U)= x i c ( p,U) l (2) Los efectos con respecto a p son no positivos (negativos, si convexidad estricta)… l (3) Los efectos cruzados son simétricos… l (4) La matriz de efectos sustitución es semidefina negativa Propiedades f. de demanda compensada

22 Restricciones: De la propiedad (1) se deduce aplicando el teorema de Euler: (1bis) Condición de agregación: o lo que es lo mismo:

23 Restricciones: (2) Negatividad del efecto sustitución propio Donde es las elasticidades cruzadas compensadas Por la concavidad de la función de gasto, o lo que es lo mismo:

24 Restricciones: (3) Simetría del efecto sutitución cruzado Implicación: los bienes son inequívocamente sustitutos o complementarios netos. Se rompe la ambigüedad existente en el concepto bruto

25 Relaciones... La ecuación de Slutsky va a relacionar las funciones de demanda ordinaria y compensada. Antes formulemos unas identidades propias de la dualidad : x i c (p, ) = x i d (p, e(p, )) x i d (p, Y) = x i c (p, V(p, Y ))

26 Ecuación de Slutsky... La ecuación de Slutsky relaciona las funciones de demanda ordinaria y compensada :

27 Ecuación de Slutsky... La ecuación de Slutsky introduce restricciones en ciertos signos: ET= ES + ER -(vo), si bien normal +(vo), si bien inferior ET, -(vo) ET, ambiguo -(vo)

28 Ecuación de Slutsky... La ecuación de Slutsky más general : En términos de elasticidades : Donde y son las elasticidades cruzadas ordinarias y compensadas es la elasticida renta de i y s j es la proporción de gasto de j

29 Restricciones: (2) Negatividad del efecto sustitución propio (de nuevo) Donde y son las elasticidades precio ordinarias y compensadas es la elasticida renta de i y s i es la proporción de gasto de i sobre el total

30 Otras relaciones... Por último, vemos como se relacionan la función de gasto y la función indirecta de utilidad: e(p, U * ) = Y * e(p, V(p, Y)) = Y V (p, Y * ) =U * V (p, e(p, U)) =U La función de gasto es la inversa de la función indirecta de utilidad y viceversa

31 Esquema resumen L. SHEPARD F. de demanda ordinaria F. indirecta de utilidad F. de gasto P. Primal: F. de demanda compensada P. Dual: I. ROY E. SLUTSKY INVERSA C.P.O.+ P.R. F.D.U. C.P.O.+ F.D.U. R.P.

32 Otras restricciones Existen otro tipo de restricciones que se imponen a menudo en los modelos para introducir otras propiedades: Aditividad y separabilidad Condiciones de agregación de bienes Condiciones de agregación de consumidores

33 Práctica: (1) Deriva las funciones de demanda que se generan de: V= i / i (p i /y) i donde son parámetros positivos. Houthakker: indirect addilog model, Econometrica (1960) SOL.

34 Práctica: (2) Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta. Razone brevemente las respuestas. (a) El efecto de sustitución con respecto al propio precio será negativo si y solo si las curvas de indiferencia son convexas al origen (b) El efecto sobre la demanda del bien j de un cambio infinitesimal del precio del bien i es idéntico al efecto sobre la demanda del bien i de un cambio infinitesimal del precio del bien j (c) La demanda ordinaria del bien i es decreciente en el precio del bien i (d) La demanda ordinaria del bien i es proporcional al efecto marginal sobre la utilidad de un incremento del precio del bien i (e) La demanda compensada del bien i es decreciente en el precio del bien i.

35 Práctica: (3) Un consumidor dispone de una función de utilidad indirecta: donde (p 1,...,p n ) es el vector de precios y Y la renta monetaria y i, i son parámetros no negativos tales que Deduce la función de gasto del consumidor SOL SOL.

36 Práctica: (4) ¿Qué restricciones hay que imponer al siguiente sistema de demanda para ser coherente con la teoría? (5) ¿Qué restricciones hay que imponer al siguiente sistema para ser coherente con la teoría?.

37 Práctica: (6) Demuestra que la homogeneidad de grado 0 de las funciones de demanda imponen que: o lo que es lo mismo (7) Demuestra que si se dan las condiciones de agregación y de simetría se cumple la condición de homogeneidad..

38 Práctica: (8) Cómo dice la teoría que son los bienes: sustitutos o complementarios netos? Es decir, cómo es el signo de (9) Cómo dice la teoría que son los bienes: sustitutos o complementarios brutos? Es decir, cómo es el signo de.

39 Práctica: (10) Dada la siguiente matriz de efectos de sustitución de un consumidor sobre 3 bienes para los precio p 1 =1, p 2 =2 y p 3 =6: Completa los valores que faltan. Verifica que la matriz resultante cumple las propiedades de una matriz de efectos sustitución..

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