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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior II: Optimización (1) Rafael Salas.

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1 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior II: Optimización (1) Rafael Salas

2 Esquema... Producción Optimización Mercados La empresa: Estática comparativa

3 l Tendremos que plantear y resolver un problema estándar de optimización l Hagamos una lista de sus componentes l... Y resolvámoslo El problema de la optimización

4 Objetivos Restricciones Método La optimización -Maximización de beneficios - Tecnológicas y económicas - Primal -Dual

5 La función objetivo …y sobre cantidades… zizi cantidad del input i cantidad del output Y Usamos información sobre precios.. w i precio del input i Precio del output P …para construir la función objetivo Cómo se hace

6 La función objetivo Ingresos: Restamos C de I: Coste de los inputs: w i z i m i=1 P Y w i z i m i=1 P Y – Beneficios: para los m inputs

7 Esquema... Problema primal Optimización: Problema dual

8 Optimización: el problema primal...sujeto a la restricción tecnológica... No podemos tener valores de output o inputs negativos Elegimos Y y z que maximizan: Y F(z) w i z i m i=1 := P Y –...y a restricciones obvias: Podríamos escribirlo: z Z(Y) Y 0 z 0

9 Método de optimización L (... ) L (... ) = 0 z 2 L (... ) z 2 z * = … l Planteamos el Lagrangiano l Establecemos las condiciones de primer orden (CPO) c. n e c e s a r i a l Verificamos las conditiones de segundo orden l Usamos las CPO para caracterizar la solución l Si F es diferenciable… c. s u f i c i e n t e

10 El equilibrio de la empresa Obtención de la elección óptima Y, z que resuelve el siguiente problema optimizador: Max (Y,z)=PY- w i z i s.a: Y F (z) En el caso de dos bienes m=2, obtención de Y, z 1, z 2 que solucione: Max (Y, z 1, z 2 )=PY- w 1 z 1 - w 2 z 2 s.a: Y F ( z 1, z 2 ) donde P, w 1 y w 2 son parámetros conocidos Con signo =

11 El equilibrio de la empresa: derivación análitica Solución : / z 1 = 0 P Y/ z 1 = w 1 / z 2 = 0 P Y/ z 2 = w 2 P Pmg z 1 = w 1 P Pmg z 2 = w 2

12 z 1 Y F(z)F(z) Y* y z 1 * óptimos Oferta de producto y demanda de factores Pmgz 1 = w 1 /P z1*z1* Y*Y*

13 El equilibrio de la empresa: derivación análitica (2) lSolución : Pmg z 1 w 1 Pmg z 2 w 2 RMST

14 A z1*z1* z2*z2* z 2 * / z 1 * Demanda de factores isocuanta por Y*

15 (Y*) Demanda de factores l z 1 * y z 2 * óptimos z1z1 z2z2 l A l A' Pmgz 1 /Pmgz 2 =w 1 /w 2 z 2 * / z 1 * z1*z1* z2*z2*

16 Las funciones de oferta de producto y demanda de factores l El equilibrio de la empresa nos va a servir para estudiar las respuestas óptimas de la empresa ante variaciones en los precios l Se trata de efectuar ejercicios de estática comparativa y observar las distintas situaciones de equilibrio ante condiciones cambiantes l Toda esta información se trasmite a través de las funciones de oferta de producto y demanda de factores:

17 Y* = Y s (P,w 1,...,w m ) z 1 * = z 1 d (P,w 1,...,w m ) z m * = z m d (P,w 1,...,w m ) función de los precios Las funciones de oferta de producto y demanda de factores

18 l La f. de oferta es no decreciente en el precio P l La f. de demanda de factores es no creciente en sus precios l Homogéneas de grado 0 en P y w Las funciones de oferta de producto y demanda de factores

19 Las funciones de beneficios Si introducimos Y s (P,w 1,w 2 ), z 1 d (P,w 1,w 2 ) y z 2 d (P,w 1,w 2 ) en la definición de los beneficios obtenemos la función de beneficios: (P,w 1,w 2 ) = P Y s (P,w 1,w 2 ) - w 1 z 1 d (P,w 1,w 2 ) -w 2 z 2 d (P,w 1,w 2 ) Indica el máximo beneficio obtenible con los precios del sistema (es análogo a la f. indirecta de utilidad en el problema primal del consumidor)

20 l La f. de beneficios es no decreciente en el precio del producto P l La f. de beneficios es no creciente en los precios deos factores l Homogéneas de grado 1 en P y w l Lema de Hotelling... Las funciones de beneficios

21 l Lema de Hotelling: (P,w 1,w 2 ) P Y s (P,w 1,w 2 ) (P,w 1,w 2 ) w 1 z 1 d (P,w 1,w 2 ) (P,w 1,w 2 ) w 2 z 2 d (P,w 1,w 2 ) Las funciones de beneficios

22 Práctica Calcula la demanda de factores, la oferta de producto y la función de beneficios de: Y= z 1 z 2 Y= (z 1 + z 2 Comprueba el lema de Hotelling.

23 Práctica Calcula la demanda de factores, la oferta de producto y la función de producción dada la función de beneficios: Π=p 2 (1/4z 1 +1/z 2 ).

24 l Hemos hecho uso de las CPO (de tangencia) en todo el análisis. l No obstante o…algunas veces llegamos a resultados ambiguos o…otras veces el resultados está indefinido Una advertencia l Por lo tanto es conveniente comprobar si este método es el apropiado l Probablemente debamos usar otro método para encontrar el óptimo l Veremos ejemplos en el problema dual…

25 Esquema... Problema primal Optimización: Problema dual

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