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LECCION 11. LA MINIMIZACIÓN DEL GASTO. José L. Calvo.

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2 LECCION 11. LA MINIMIZACIÓN DEL GASTO. José L. Calvo

3 LA FUNCIÓN DE DEMANDA COMPENSADA. Cantidades que, dados unos precios de los bienes y un determinado nivel de utilidad que se desea alcanzar, minimizan el gasto. Min. p1X1 p1X1 + p2X2p2X2 s.a. U = U(X 1,X 2 ) X 1 = X 1 (p 1,p 2,U) X 2 = X 2 (p 1,p 2,U) X 1 = X 1 (p 1,p 2,U) X 2 = X 2 (p 1,p 2,U)

4 LA FUNCIÓN DE DEMANDA COMPENSADA. Propiedades (I). ADITIVIDAD.- La suma de las funciones de demanda compensadas multiplicadas por su precio es la función de gasto, que es igual a la capacidad de compra del individuo (renta monetaria). p 1 h 1 (U, p 1,p 2 ) + p 2 h 2 (U, p 1,p 2 ) = m ADITIVIDAD.- La suma de las funciones de demanda compensadas multiplicadas por su precio es la función de gasto, que es igual a la capacidad de compra del individuo (renta monetaria). p1 p1 h 1 (U, p 1,p 2 ) + p2 p2 h 2 (U, p 1,p 2 ) = m HOMOGENEIDAD.- Las funciones de demanda compensadas son homogéneas de grado 0 en los precios. h i (U, p 1, p 2 ) = h i (U,p 1,p 2 ) HOMOGENEIDAD.- Las funciones de demanda compensadas son homogéneas de grado 0 en los precios. h i (U, p 1, p 2 ) = h i (U,p 1,p 2 )

5 LA FUNCIÓN DE DEMANDA COMPENSADA Propiedades (II). TEOREMA DE YOUNG.- Las derivadas cruzadas de las funciones de demanda compensadas son simétricas. h 1 (U,p 1,p 2 )/ p 2 = h 2 (U,p 1,p 2 )/ p 1 TEOREMA DE YOUNG.- Las derivadas cruzadas de las funciones de demanda compensadas son simétricas. h 1 (U,p 1,p 2 )/ p2 p2 = h 2 (U,p 1,p 2 )/ p1p1 NEGATIVIDAD.- La matriz nxn formada por los elementos h i (U,p 1,p 2 )/ p j i,j = 1,2 es semidefinida negativa, lo que obliga a que su determinante sea no positivo. Esta matriz es conocida como la matriz de sustitución o matriz de Slutsky de respuestas compensadas a los precios. NEGATIVIDAD.- La matriz nxn formada por los elementos h i (U,p 1,p 2 )/ p j i,j = 1,2 es semidefinida negativa, lo que obliga a que su determinante sea no positivo. Esta matriz es conocida como la matriz de sustitución o matriz de Slutsky de respuestas compensadas a los precios.

6 ECUACIÓN DE SLUTSKY. (Una reinterpretación) La variación en la cantidad demandada de un bien ante una variación de su propio precio puede descomponerse en dos efectos: 1. Un efecto sustitución, que varía la cantidad demandada del bien manteniendo constante el nivel de utilidad, aproximado a través del cambio en la función de demanda hicksiana. Este efecto sustitución es no positivo Un efecto renta, igual al producto de la cantidad inicialmente demandada por la variación en la cantidad asociada a un cambio en la renta del individuo. Este efecto será positivo si es un bien inferior y negativo si es un bien normal. La variación en la cantidad demandada de un bien ante una variación de su propio precio puede descomponerse en dos efectos: 1. Un efecto sustitución, que varía la cantidad demandada del bien manteniendo constante el nivel de utilidad, aproximado a través del cambio en la función de demanda hicksiana. Este efecto sustitución es no positivo Un efecto renta, igual al producto de la cantidad inicialmente demandada por la variación en la cantidad asociada a un cambio en la renta del individuo. Este efecto será positivo si es un bien inferior y negativo si es un bien normal. g 1 (m,p 1,p 2 )/ p 1 = h 1 (U,p 1,p 2 )/ p 1 - X 1 ( g 1 / m)

7 ECUACIÓN DE SLUTSKY (II). E0E0 E1E1 A m/p 1 1 m/p 1 0 m/p 2 X11X11 X 1 ES X10X10 X1X1 X2X2 p 1 > p 0 ES = E 0 A ER = AE 1 ET = E 0 E 1

8 LA FUNCIÓN DE GASTO. El mínimo gasto de alcanzar un determinado nivel de utilidad dados los precios de los bienes. Se obtiene sustituyendo las funciones de demanda compensadas en el elemento minimizador. G(p 1,p 2,U) = p 1 h 1 (p 1,p 2,U) + p 2 h 2 (p 1,p 2,U)

9 LA FUNCIÓN DE GASTO. Propiedades (I). HOMOGENEIDAD.- La función de gasto es homogénea de grado 1 en los precios. G(U, p 1, p 2 ) = G(U, p 1, p 2 ) HOMOGENEIDAD.- La función de gasto es homogénea de grado 1 en los precios. G(U, p 1, p 2 ) = G(U, p 1, p2 p2 ) CRECIMIENTO.- La función de gasto es creciente con la Utilidad, no decreciente con los precios, y creciente al menos con un precio. CRECIMIENTO.- La función de gasto es creciente con la Utilidad, no decreciente con los precios, y creciente al menos con un precio. CONCAVIDAD.- La función de gasto es cóncava en los precios, de forma que cuando éstos crecen, el gasto crece no menos que linealmente. CONCAVIDAD.- La función de gasto es cóncava en los precios, de forma que cuando éstos crecen, el gasto crece no menos que linealmente.

10 LA FUNCIÓN DE GASTO. Propiedades (II). CONTINUIDAD.- La función de gasto es continua en los precios, y existen tanto la primera como la segunda derivada de éstos, salvo para precios iguales a cero. CONTINUIDAD.- La función de gasto es continua en los precios, y existen tanto la primera como la segunda derivada de éstos, salvo para precios iguales a cero. LEMMA DE SHEPHARD.- Cuando existen, las derivadas parciales de la función de gasto con respecto a los precios son las funciones de demanda compensadas. X 1 1 = h 1 (U, p 1 1,p 2 1 ) = G(U, p 1 1,p 2 1 )/ p 1 X 2 1 = h 2 (U, p 1 1,p 2 1 ) = G(U, p 1 1,p 2 1 )/ p 2 LEMMA DE SHEPHARD.- Cuando existen, las derivadas parciales de la función de gasto con respecto a los precios son las funciones de demanda compensadas. X 1 1 = h 1 (U, p 1 1,p 2 1 ) = G(U, p 1 1,p 2 1 )/ p1p1 X 2 1 = h 2 (U, p 1 1,p 2 1 ) = G(U, p 1 1,p 2 1 )/ p2p2

11 LA FUNCIÓN INDIRECTA DE UTILIDAD. Máximo nivel de utilidad que se puede alcanzar dada una forma específica de la función de utilidad, una renta monetaria, y los precios de los bienes. Se obtiene sustituyendo las funciones de demanda marshallianas en la función directa de utilidad. U(X 1,X 2 ) = U{g 1 (p 1,p 2,m), g 2 (p 1,p 2,m)} = (p 1,p 2,m)

12 RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES DE GASTO Y UTILIDAD. Función de Gasto: G(p 1,p 2,U) = m Función de Gasto: G(p 1,p 2,U) = m Función Indirecta de Utilidad: (p 1,p 2,m) = U Función Indirecta de Utilidad: (p 1,p 2,m) = U F.demanda Hicksianas: X i = h i (p 1,p 2,U) F.demanda Hicksianas: X i = h i (p 1,p 2,U) F.demanda Marshallianas: X i = g i (p 1,p 2,m) F.demanda Marshallianas: X i = g i (p 1,p 2,m) INVERSION SUSTITUCION

13 DUALIDAD. Máx. U = U(X 1, X 2 ) s. a p 1 X 1 + p 2 X 2 = m Máx. U = U(X 1, X 2 ) s. a p 1 X 1 + p 2 X 2 = m F.Indirecta de Utilidad: (p 1,p 2,m) = U F.Indirecta de Utilidad: (p 1,p 2,m) = U F. demanda Hicksianas: X i = h i (p 1,p 2,U) F. demanda Hicksianas: X i = h i (p 1,p 2,U) F. demanda Marshallianas: X i = g i (p 1,p 2,m) F. demanda Marshallianas: X i = g i (p 1,p 2,m) DUALIDAD SUSTITUCION Min p 1 X 1 + p 2 X 2 s.a. U = U(X 1, X 2 ) Min p 1 X 1 + p 2 X 2 s.a. U = U(X 1, X 2 ) Función de Gasto: G(p 1,p 2,U) = m Función de Gasto: G(p 1,p 2,U) = m

14 FUNCIÓN COBB-DOUGLAS. F. de demanda Hicksianas y F. De Gasto. Min. p 1 X 1 + p 2 X 2 sujeto a X 1 X 2 = U Min. p1X1 p1X1 + p2X2p2X2 sujeto a X 1 X 2 = U FUNCIONES DE DEMANDA HICKSIANAS: X 1 = (U) 1/( + ) ( p 2 / p 1 ) /( + ) X 2 = (U) 1/( + ) ( p 1 / p 2 ) /( + ) FUNCIONES DE DEMANDA HICKSIANAS: X1 X1 = (U) 1/( + ) ( p 2 / p 1 ) /( + ) X2 X2 = (U) 1/( + ) ( p 1 / p 2 ) /( + ) FUNCIÓN DE GASTO: G= (U) 1/( + ) {p 1 ( p 2 / p 1 ) /( + ) + p 2 ( p 1 / p 2 ) /( + ) } FUNCIÓN DE GASTO: G= (U) 1/( + ) {p 1 ( p 2 / p 1 ) /( + ) + p2 p2 ( p 1 / p 2 ) /( + ) }

15 BIENES COMPLEMENTARIOS PERFECTOS. F. de demanda Hicksianas y F. De Gasto. Min. p 1 X 1 + p 2 X 2 sujeto a min{aX 1,bX 2 } = U Min. p1X1 p1X1 + p2X2p2X2 sujeto a min{aX 1,bX 2 } = U FUNCIONES DE DEMANDA HICKSIANAS: X 1 = U/a X 2 = U/B FUNCIONES DE DEMANDA HICKSIANAS: X1 X1 = U/a X2 X2 = U/B FUNCIÓN DE GASTO: G = U(p 1 /a +p 2 /b) FUNCIÓN DE GASTO: G = U(p 1 /a +p 2 /b)

16 BIENES SUSTITUTOS PERFECTOS. F. de demanda Hicksianas y F. De Gasto. Min. p 1 X 1 + p 2 X 2 sujeto a: aX 1 +bX 2 = U Min. p1X1 p1X1 + p2X2p2X2 sujeto a: aX 1 +bX 2 = U FUNCIONES DE DEMANDA HICKSIANAS: p 1 >(a/b)p 2 X 1 =0; X 2 = U/b p 1 =(a/b)p 2 X 1 (0,U/a); X 2 (0,U/b) p 1 <(a/b)p 2 X 1 =U/a; X 2 =0 FUNCIONES DE DEMANDA HICKSIANAS: p1 p1 >(a/b)p 2 X 1 =0; X2 X2 = U/b p 1 =(a/b)p 2 X 1 (0,U/a); X 2 (0,U/b) p1 p1 <(a/b)p 2 X 1 =U/a; X 2 =0 FUNCIÓN DE GASTO: p 1 >(a/b)p 2 G = p 2 U/b p 1 =(a/b)p 2 G (p 1 U/a, p 2 U/b) p 1 <(a/b)p 2 G= p 1 U/a FUNCIÓN DE GASTO: p1 p1 >(a/b)p 2 G = p 2 U/b p1 p1 =(a/b)p 2 G (p 1 U/a, p 2 U/b) p 1 <(a/b)p 2 G= p 1 U/a

17 PREFERENCIAS CUASILINEALES. F. de demanda Hicksianas y F. De Gasto. Min. p 1 X 1 + p 2 X 2 sujeto a: lnX 1 +X 2 = U Min. p1X1 p1X1 + p2X2p2X2 sujeto a: lnX 1 +X 2 = U FUNCIONES DE DEMANDA HICKSIANAS: X 1 = p 2 /p 1 X 2 = U – ln( p 2 /p 1 ) FUNCIONES DE DEMANDA HICKSIANAS: X1 X1 = p 2 /p 1 X2 X2 = U – ln( p 2 /p 1 ) FUNCIÓN DE GASTO: G = p 2 ( 1+ U - ln p 2 /p 1 ) FUNCIÓN DE GASTO: G = p2 p2 ( 1+ U - ln p 2 /p 1 )

18 SISTEMA LINEAL DE GASTO. F. de demanda Hicksianas y F. De Gasto. Min. i p i X i sujeto a: U= i (X i - i ) i i = 1..n, i = 1 Min. i piXipiXi sujeto a: U= i (X i - i ) i i = 1..n, i = 1 FUNCIONES DE DEMANDA HICKSIANAS: p i X i = p i i + i 0 U i p i i FUNCIONES DE DEMANDA HICKSIANAS: piXi piXi = p i i + i 0 U i p i i FUNCIÓN DE GASTO: G = i p i i + 0 U i p i i FUNCIÓN DE GASTO: G = i p i i + 0 U i p i i


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