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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS Microeconomía Tema 1 (Parte 2): Las preferencias y la utilidad Prof. Juan.

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1 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS Microeconomía Tema 1 (Parte 2): Las preferencias y la utilidad Prof. Juan Gabriel Rodríguez

2 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Sin haber conocido la miseria es imposible valorar el lujo Charles Chaplin

3 Índice 1.Enfoque ordinal y cardinal. 2.Axiomas de la elección racional: supuestos sobre las preferencias. 3.Las curvas de indiferencia. Propiedades. 4.La función de utilidad. 5.La Relación Marginal de Substitución.

4 Dos enfoques de la utilidad 1. Enfoque cardinal: marginalistas. La utilidad es medible y comparable cardinalmente: la utilidad transmite información cuantitativa Si U(x) = 2U(x ' ), x es preferido el doble que x ' 2. Enfoque ordinal moderno: Hicks La utilidad es medible pero comparable ordinalmente: la utilidad sólo transmite información cualitativa. Si U(x) > U(x ' ) sólo quiere decir que x es preferido a x ', pero no dice nada sobre cuánto más preferido Es un enfoque más general (no tan restrictivo)

5 Ejemplos zLa distancia zEl peso zLa temperatura cardinal Cardinal ordinal o F o C 10 37,8 Es importante en nuestro caso, pues queremos un modelo donde la utilidad optimizada sea ordinal y el resultado de la elección no dependa de la escala de medida Km 1,692 3,384 M 1 2

6 Enfoque ordinal Establecemos un orden de preferencias que nos clasifique de mejor a peor las cestas de consumo (que no dependa de la escala de medida). Enfoques: (1) Enfoque axiomático: Partimos de unos axiomas y el orden de preferencias se establece mediante un mapa de curvas de indiferencia (Hicks, 1939). (2) Enfoque de la preferencia revelada: Sólo podemos tener en cuenta situaciones observadas para establecer el orden de preferencias (Samuelson, 1947 ).

7 La relación (débil) de preferencias La relación de preferencia débil básica: x x' La cesta x es al menos tan preferida como la cesta x'... …y la relación de preferencia estricta… x x' x x' x x' y no x x Podemos derivar a partir de la anterior la relación de indiferencia: x ~ x'x ~ x' x x' y x x Nótese que no es x x'

8 l Completitud l Transitividad l Continuidad l Monotonicidad l (Estricta) Cuasi-concavidad l Diferenciabilidad Axiomas (enfoque axiomático) Para todo x, x' R n +, bien x x', ó x x, ó los dos son verdad (en cuyo caso son indiferentes).

9 ...ó ambos (para todas las cestas) bien... ó... Completitud

10 l La idea que transmite es que no se admite lano comparabilidad. Ej. películas l Gráficamente, no hay huecos en el orden de preferencias Completitud

11 l Completitud l Transitividad l Continuidad l Monotonicidad l (Estricta) Cuasi-concavidad l Diferenciabilidad Axiomas Para todo x, x', x' ' R n +, si x x y x' ' x', entonces x' ' x

12 Transitividad si y... entonces

13 l La idea que transmite es una cierta consistencia en las preferencias y evitar circularidades perversas l Junto con la completitud, son la base de la racionalidad del consumidor Transitividad

14 l Completitud l Transitividad l Continuidad l Monotonicidad l (Estricta) Cuasi-concavidad l Diferenciabilidad Axiomas La conducta de los consumidores no experimenta saltos

15 Las curvas de indiferencia El conjunto I(x) ={x' X, si x ~ x' } se denomina conjunto o curva de indiferencia. l De los axiomas (1) a (3) se puede crear un mapa de curvas de indiferencias tal que: Por todo punto pasa una curva de indiferencia que de ser una función es contínua

16 Continuidad Dada una cesta de consumo A. La curva de indiferencia es contínua. x1x1 x2x2 l Al A

17 La función de utilidad l completitud l transitividad l continuidad axiomas 1 a 3 son cruciales...

18 U(x) U(x') x x' La función de utilidad representa el orden de preferencias

19 Una función de utilidad u 0 U(x 1,x 2 ) x2x2 x1x1 Curva de indiferencia

20 Otra función de utilidad que representa las mismas preferencias u 0 U*(x 1,x 2 ) x2x2 x1x1 La misma curva de indiferencia

21 x1x1 x2x2 A B C Las curvas de indiferencia U(x)

22 l Son contínuas l Representan órdenes de preferencias l Por lo tanto, la escala no importa l Asi, si transformamos la función de utilidad utilizando cualquier forma monotóna...el orden de preferencias no varía Claves de las funciones de utilidad

23 Irrelevancia de la cardinalización Dada cualquier función de utilidad... y, en general, éstas... ( es cualquier función creciente y a es cualquier número real) …y éstas también a+ ( U(x 1, x 2,..., x n ) ) l U(x 1, x 2,..., x n ) ( U(x 1, x 2,..., x n ) ) exp ( U(x 1, x 2,..., x n ) ) Esta transformación representa las mismas preferencias... 5+log ( U(x 1, x 2,..., x n ) )

24 l Completitud l Transitividad l Continuidad l Monotonicidad (fuerte) l Convexidad l Diferenciabilidad Axiomas Para todo x x' X, si i, x i x i entonces x x

25 x1x1 x2x2 Estas cestas son preferidas estrictamente a A Da una clara dirección Incremento de las preferencias Dada una cesta de consumo en X... Monotonicidad... A l

26 Impone que x i i sea un bien… Si imponemos no saciabilidad local: Dados x y >0 cualesquiera, x tal que ||x-x|| y x x l Ahora puede haber males aunque no todos pueden serlo. l Las curvas de indiferencia no pueden ser gordas

27 l Completitud l Transitividad l Continuidad l Monotonicidad l Convexidad débil l Diferenciabilidad Axiomas Para todo x X, el conjunto preferido débilmente a x, PD(x) ={x' X, si x x} es convexo

28 Convexidad débil... Dada una cesta de consumo x. El conjunto débilmente preferido a x es convexo: Dados y, z PD(x) y t [0,1], entonces t y + (1-t) z PD(x) Admite tramos lineales en las curvas de indiferencia x1x1 x2x2 l xl x l z l y t y + (1-t) z preferidas débilmente a x... t y + (1-t) z preferidas débilmente a x...

29 l Completitud l Transitividad l Continuidad l Monotonicidad l Convexidad estricta l Diferenciabilidad Axiomas Para todo x X, el conjunto preferido débilmente a x, PD(x) ={x' X, si x' x} es estrictamente convexo

30 Convexidad estricta... Dada una cesta de consumo x. El conjunto débilmente preferido a x es estrictamente convexo: Dados y z I(x) y t (0,1), entonces t y + (1-t) z x No admite tramos lineales en las curvas de indiferencia x1x1 x2x2 l xl x l z l y t y + (1-t) z preferidas estrictamente a x... t y + (1-t) z preferidas estrictamente a x...

31 Dados dos puntos indiferentes entre sí… cualquier combinación lineal entre ellos (excluidos ellos)… x1x1 x2x2 A B l C Alcanza un mayor nivel de utilidad Preferencia por la diversificación Convexidad estricta

32 Se excluyen casos como: x1x1 x2x2 B A

33 Relación Marginal de Sustitución zUna medida del grado de sustitubilidad entre bienes nos la da la Relación Marginal de Sustitución: La Relación Marginal de Sustitución RMS entre x 2 y x 1 se define como el número de unidades que el consumidor está dispuesto a renunciar de x 2 si aumenta el consumo de x 1 en una unidad y permanecer indiferente.

34 x1x1 x2x2 (-) la pendiente de la C.I. es la Relación Marginal de Sustitución entre x 2 y x 1 Umg (x 1 ) Umg(x 2 ). (-) la pendiente de la C.I. es la Relación Marginal de Sustitución entre x 2 y x 1 Umg (x 1 ) Umg(x 2 ). La Relación Marginal de Sustitución

35 x1x1 x2x2 La Relación Marginal de Sustitución entre x 2 y x 1 es estrictamente decreciente al aumentar x 1. La Relación Marginal de Sustitución entre x 2 y x 1 es estrictamente decreciente al aumentar x 1. Convexidad estricta…

36 Función de utilidad De los axiomas (1) a (5) se puede crear un mapa de curvas de indiferencia con las siguientes propiedades: Por todo punto pasa una curva de indiferencia La curva de indiferencia es contínua La curva de indiferencia no es creciente No se cortan entre si Mientras más alejadas del origen, más satisfacción Son convexas (estrictas, si covexidad estricta)

37 La convexidad estricta no evita... preferencias crecientes x1x1 x2x2 RMS no definida aquí

38 l Completitud l Transitividad l Continuidad l Monotonicidad l Convexidad estricta l Diferenciabilidad Axiomas La función de utilidad es diferenciable en todo punto

39 Preferencias y Utilidad EJERCICIOS: (1) Dadas la completitud y la transitividad, demostrad que dos curvas de indiferencia (con distintos niveles de satisfacción) no se pueden cortar. (2) Represéntese el orden de preferencias lexicográfico (a modo de diccionario) que se define: Dados x,y x y ¿Podemos representarlo por una función de utilidad?.

40 Preferencias y Utilidad EJERCICIOS: (3) a)Dada una función de utilidad U(x), cuáles son transformaciones monótonas V=2U-13, V=1/U 2, V=e U, V=U 2 si U>0, y V=U 2 si U<0? b)Dada una función de utilidad U(x), la transformación V=a+bU(x), a 0 representa las mismas preferencias? c)¿Son iguales los órdenes de preferencias dados por U= x 1 x 2 y V= Ln x 1 + Ln x 2 ? ¿Y los dados por U= 14x x 2 y V= (x 1 + x 2 ).

41 Preferencias y Utilidad (4)Considere los cuatro tipos de preferencias: U= log(x 1 ) + (1- log(x 2 ) U= x 1 + x 2 U=min(x 1, x 2 ) U=lnX 1 + x 2 donde es un parámetro positivo. Represente sus curvas de indiferencias. ¿Cumplen los axiomas (1) a (6)?.

42 Preferencias y Utilidad (5) El orden de preferencias representado por curvas de indiferencias concéntricas ¿cumple los axiomas vistos?.

43 Una función de utilidad general: CES. Considere las preferencias: donde es la elasticidad de sustitución, engloba tres casos: =1: bienes sustitutivos 0: preferencias Cobb-Douglas - : bienes complementarios

44 Ejemplos de funciones de utilidad diferentes K es el factor capital utilizado por la empresa l 1 and l 2 son el número de trabajadores en el grupo 1 y grupo 2, respectivamente son los beneficios v es la función de aversión al colectivo 2. U A =U(X 1,U B ) A) B) [Andreoni y Miller (2002)] [Becker (1957)]

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