Introducción Matemática Nivelatoria “La simplicidad de las cosas no depende de ellas, sino de la complicación de las personas” Ing. Medardo Galindo

Números Naturales N={0,1,2,3,4,5….} Algunos autores definen el Conjunto de Números naturales como el conjunto que sirve para contar. Se identifica con el símbolo N y comprende la siguiente colección: N={0,1,2,3,4,5….}

Expresión General de un Numero Natural Proceso de sustituir el valor de las variables por su valor numérico. Si n = 1, entonces n+1=1+1= 2 Si n = 5, entonces n+5= 5+1= 6

Evaluar Evaluar la siguiente expresión: 3n2-2m, si n=2 y m=1

Sucesor y Antecesor La expresión n+1 en los naturales se llama sucesor de n y se representa por: n+ = n +1 La expresión n-1 en los naturales se llama antecesor de n y se representa por: n- = n -1

Por lo tanto El sucesor del numero 4 es : 4+ = 4 +1=5 El antecesor del numero 4 es: 4- = 4 -1= 3

Operaciones Básicas con los Números Naturales La adición es una operación binaria por que se opera con dos elementos (números) . Los dos elementos se llaman sumandos y el resultado suma o total. 12,820 + 4320 = 17,140 Sumandos Suma o Total

Multiplicación en los Naturales Es también una operación binaria , es decir se opera siempre sobre dos números. Los dos números se separan por medio del signo x, un ., o (). Así a x b = c , siendo a el multiplicando a·b = c, siendo b el multiplicador (a)(b)= c, siendo c el producto

Propiedades Multiplicación de Números Naturales Asociativa Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a · b) · c = a · (b · c) Por ejemplo: (3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30

Propiedades Multiplicación de Números Naturales Conmutativa Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a · b = b · a Por ejemplo: 5 · 8 = 8 · 5 = 40

Propiedades Multiplicación de Números Naturales Distributiva del producto Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: a · (b + c) = a · b + a · c Por ejemplo: 5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55 5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55

Sustracción en los Números Naturales No siempre la diferencia entre dos números naturales es otro numero natural. Los dos números se llaman Minuendo el primero y Sustraendo el segundo y el resultado se llama diferencia. Sustraendo S 2,508 – 1,349 = 1,159 , Luego; M-S=D Minuendo M Diferencia D

División en los Números Naturales La división N es una operación Binaria. No siempre el resultado de la división entre dos naturales es otro numero natural. El primer numero se llama dividendo, el segundo divisor, el tercero cociente y lo que sobra residuo.

Importante Todo numero dividido por 1 es igual al mismo numero. Cuando el divisor es 0, la división no esta definida. (a/0, 0/0; no es posible realizar) Cuando el residuo es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta

Propiedades Adición de Números Naturales Asociativa: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a + b) + c = a + (b + c) Por ejemplo: (7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16 7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

Propiedades Adición de Números Naturales Conmutativa Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a + b = b + a En particular, para los números 7 y 4, se verifica que: 7 + 4 = 4 + 7

Propiedades Adición de Números Naturales Elemento neutro El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a + 0 = a

Potencias en Números Naturales Cuando dos o mas numeros se multiplican, cada uno de ellos se llama factor. Tanto el multiplicando como el multiplicador son factores. Según lo anterior: 5 x 4 = 20, 5 y 4 son factores de 20 16 x 5 = 80, 16 y 5 son factores de 80

Potencias en Números Naturales A veces un mismo numero aparece mas de una vez como factor de un producto: 3 x 3 = 9, 9 tiene dos factores iguales a 3 Cuando existen productos de factores iguales se leen así: 3 x 3 = 32 , Se lee ´´Tres a la dos´´

Definicion Si a y n son números naturales, tal que n≥0, a≠0, llamaremos potencia enésima de a y la representaremos an al producto a.a.a…n veces. El numero a se llama Base y n se llama Exponente.

Leyes Exponentes, Base y Exponente Natural Multiplicación potencias de misma base am.an = am+n Para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base y se suman los exponentes de los factores. 23x 25x 20x 21= 23+5+0+1=29

Leyes Exponentes, Base y Exponente Natural Potencia de Potencia (am)n=amn Para desarrollar una potencia de potencia, se escribe la base y se multiplican los exponentes. ((72)3)4=72x3x4=724

Leyes Exponentes, Base y Exponente Natural Cociente de potencia de la misma base am÷an=am-n Para dividir potencias de la misma base, se escribe la base y se restan los exponentes. 34÷32=34-2=32

Resolver Simplificar la expresión: 35 x 38 x 30 x 34 32 x 39

Jerarquía de las Operaciones Efectuar primero las potencias. Efectuar después de las multiplicaciones y divisiones (la primera que se encuentre) en el orden de izquierda a derecha. Por ultimo, efectuar las adiciones y sustracciones (la primera que se encuentre) en el orden de izquierda a derecha

Esto Implica 36 ÷ 4 -1 = Significa (36÷4)-1= 9-1 = 8 7 x 4 +3 = Significa (7x4)+3 = 28+3 = 31 6x8 - 7x2= Significa (6x8)-(7x2)=48-14=34 30 ÷ 10 x 3= Significa (30÷10)x3 =3x3= 9

Operaciones Combinadas Resolver los siguientes ejercicios 23 + 3 x 22 – 5 x 8 + 60 82 ÷ 16 + 32 x 18 - 45 ÷ 32 -17

Operaciones con Paréntesis y con Números Naturales Todo los que esta encerrado dentro de un paréntesis se considera como una sola cantidad. En muchos casos el paréntesis puede estar encerrado, encajado y anidado dentro de otro. Los signos mas usados son Paréntesis Común (), Corchetes [], Llaves {}

Ejercicios Realizar los siguientes ejercicios: 5 +{2 +4 + 3 (5-1) – [18÷3]} 3{172 +[32 – (14-6) +8]} - 256

Raíz Cuadrada Exacta de un Numero Natural Un cuadrado perfecto es un numero positivo que tiene raíz cuadrada entera exacta. Todo cuadrado perfecto se puede expresar como el producto de dos factores iguales, es decir como una potencia de exponente 2.

Importante √0 = 0 √n2 = n siendo n un cuadro perfecto Positivo √n = b entonces b2 = n, siendo n≥0 √n2 = (√n2 ) 2 es igual a n

Propiedad Multiplicativa de las raíces Si m y n no son cuadros perfectos entonces: √n*m = √n * √m Resolver

Valor Absoluto de un Entero El valor absoluto de un numero esta definido por el numero natural que le corresponde, es decir, por 0 o por un positivo. Si x es un numero entero, entonces el valor absoluto de x, es x si x > 0 0 si x = 0 -x si x < 0

Propiedades Valor Absoluto El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores. El valor absoluto de un cociente es igual al cociente de los valores absolutos de los términos del cociente

Propiedades Valor Absoluto El valor absoluto de una suma es, menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos. El valor absoluto de un numero negativo, es igual al valor absoluto del mismo numero positivo.

División en el conjunto de los Números Enteros (+) ÷ (+) = +, mas entres mas, da mas (+) ÷ (-) = -, mas entre menos, da menos (-) ÷ (-) = +, menos entre menos da mas (-) ÷ (+) = -, menos entre mas, da menos

Mínimo Común Múltiplo Dados números naturales a,b, llamaremos Mínimo Común Múltiplo de a y b y lo representaremos por m.c.m(a,b) al menor de los múltiplos distinto de cero, comunes a ambos Encontrar el m.c.m de: 1) (32, 48, 108) 3) (18, 24, 30) 2) (80, 120, 350)

Máximo Común Divisor Dados los números naturales a,b, llamaremos Máximo Común Divisor de a y b y lo representaremos por M.C.D(a,b), al mayor de los divisores comunes a ambos numeros Encontrar el M.C.D de: (12, 20, 36) (170, 204, 102)

Lineamientos para Resolver Problemas Entender el problema Traducir problema al lenguaje matemático Realizar los cálculos matemáticos necesarios para resolver el problema Comprobar la respuesta obtenida en el paso 3 Asegurarse de haber respondido la pregunta

2.3 Fracciones Conocer símbolos de la multiplicación e identificar los factores Reducir fracciones Multiplicar fracciones Dividir fracciones Sumar y restar fracciones Convertir números mixtos a fracciones y viceversa.

Símbolos de Multiplicación Definición Los números o variables multiplicados en un problema de multiplicación se llaman factores. Si a x b = c, entonces a y b son factores de c Por ejemplo , en 3 x 5 = 15 los números 3 y 5 son factores del producto 15

Reducir Fracciones El numero que esta en la parte superior de una fraccion se llama numerador y el que esta en la parte inferior se llama denominador. Por lo tanto en la fraccion 3/5, 3 es el numerador y 5 el denominador.

Para simplificar una fraccion Determine el numero mayor que divida (sin residuo) tanto al numerador como al denominador. Este numero se llama MCD Después divida tanto el numerador como el denominador entre el máximo común divisor

Ejemplo Simplifique: 10/25 6/18

Multiplicar Fracciones Para multiplicar dos o mas fracciones, multiplique sus numeradores y después sus denominadores. Multiplique: 3/13 por 5/11 8/17 por 5/16

Importante Para evitar tener que simplificar respuestas, es necesario que antes de multiplicar fracciones divida tanto el numerador como el denominador entre el MCD

Dividir Fracciones Para dividir una fracción entre otra, invierta el divisor (la segunda fracción, si es necesario que esta escrita con el signo ÷) y proceda como en la multiplicación Evaluar 3/5 ÷ 5/6 3/8 ÷ 12

Suma y resta de fracciones Solo se pueden sumar o restar las fracciones que tienen el mismo denominador. Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, sume o reste los numeradores y conserve el denominador

Evaluar

Denominadores Diferentes Primero debemos reescribir con el mismo, o común denominador. El numero mas pequeño que es divisible entre dos o mas denominadores se llama mcd

Evaluar

Convertir números mixtos a fracciones, y viceversa. Considere el numero . Este es un ejemplo de numero mixto. Un numero mixto consta de un entero no negativo seguido de una fracción. El numero mixto puede cambiarse a una fracción de la siguiente manera:

Cambiar una fracción a mixto Cambiar a un numero mixto