@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 U.D. 9 * 1º BCT DERIVADAS Y GRÁFICAS

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 U.D. 9.1 * 1º BCT DERIVADA DE LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 Sea f -1 (x) la función inversa o recíproca de f(x). Sabemos que se cumple siempre (f o f -1 )(x) = f(f -1 (x)) = x Si dos expresiones son iguales, sus derivadas también serán iguales, por lo que podemos conservar dicha igualdad al derivar. Por la Regla de la cadena, derivando ambos lados de la igualdad: f ‘(f -1 )(x)).(f -1 )’(x) = 1 Despejando la derivada de la función inversa: (f -1 )’(x) = 1 / f ‘ (f -1 (x)) Si una función es la inversa de otra, la derivada de una de ellas es la unidad partido por la derivada de la función compuesta. DERIVADAS DE FUNCIÓN INVERSA

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT4 Gráficas de funciones inversas y= e x y= - √x y= x 2 y= -0,5x+1 y= -2x+2 y= ln x

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 Ejemplo 3 Sea f(x) = - √x  y = - √x  x = y 2  (f -1 )(x) = x 2 Vemos f(f -1 )(x) = x, pues ( -√ x ) 2 = x Derivamos ambos lados de la igualdad: 1 2.(- √ x ). ( - √ x )’ = 1  ( - √ x )’ = √ x Ejemplo 4 Sea f(x) = ln x  y = ln x  x = e y  (f -1 )(x) = e x Vemos f(f -1 )(x) = x, pues ln e x = x.ln e = x. 1 = x Derivamos ambos lados de la igualdad: x. ( ln x )’ = 1  ( ln x )’ = 1 / x EJEMPLOS

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 Ejemplo 3 Sea f(x) = x + 2  y = x + 2  x = y – 2  (f -1 )(x) = x – 2 Hallamos f(f -1 (x)) = (x + 2) – 2 = x La derivada de (f -1 )(x) será: (f -1 )’(x) = 1 / f ‘(f -1 )(x)  (f -1 )’(x) = 1 / (x)’  (f -1 )’(x) = 1 / 1 = 1 Ejemplo Sea f(x) = √x  y = √x  x = y 4  (f -1 )(x) = x 4 4 Vemos f(f -1 )(x) = x, pues ( √ x ) 4 = x Derivamos ambos lados de la igualdad: ( √ x ) 3. ( √ x )’ = 1  ( √ x )’ = ( √ x ) 3

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT7 DERIVADAS DE FUNCIONES POTENCIALES Sea f(x) = x (p/q), donde p y q son números enteros. Se expresa como: (x p/q ) q = x p Aplicando la regla de la cadena a ambos lados de la igualdad: q.(x p/q ) q – 1. (x p/q )’ = p.x p – 1 Despejando la derivada a calcular: (x p/q )’ = p.x p – 1 / q.(x p/q ) q – 1 Y operando queda: (x p/q )’ = (p/q).x (p – 1) – p.(q – 1)/q = (p/q).x (p/q – 1) Lo que demuestra que si el exponente es un número racional en lugar de entero, la forma de calcular la derivada de una función potencial es la misma. Si el exponente es cualquier número real, t, no necesariamente entero ni racional, la forma de calcular la derivada de una función potencial es la misma. f(x) = x t  f ’(x) = t. x t – 1

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 f (x) = x n  f ‘ (x) = n. x n – 1 Sea y = x 7  y’=7. x 6 Sea y = 4x 27  y’=4.27. x 26 = 108.x 26 Sea y = 1 / x  y=x -1  y’=-1.x -2 = -1 / x 2 Sea y = 2 / x 5  y=2.x -5  y’=-10.x -6 = -10 / x 6 Sea y = - 3 / x 11  y=- 3.x -11  y’= 33.x -12 = 33 / x 12 3 Sea y = √x 7  y=x 7/3  y’=7/3. x 7/3 – 1 = 7/3.x 4/3 5 Sea y = 3 √4x 3  y=3.4 1/5.x 3/5  y’=3.4 1/5.3/5. x 3/5 – 1 EJEMPLOS