Apuntes 1º Bachillerato CT

Presentación del tema: "Apuntes 1º Bachillerato CT"— Transcripción de la presentación:

1 Apuntes 1º Bachillerato CT
DERIVADAS Y GRÁFICAS Tema 11 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

2 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Tema * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

3 LÍMITES EN TRIGONOMETRÍA
Observar la figura. El radio de la circunferencia trigonométrica es la unidad. Tenemos el ángulo x, el sen x, el arco de longitud x y la tg x Podemos poner: sen x < x < tg x Dividiendo todo entre sen x queda: sen x x tg x < < sen x sen x sen x x 1 < < cos x sen x Cuando x  0  1 < 0 / sen 0 < cos Es decir 1 < 0 / sen 0 < 1  Lo que obliga a que = 1 sen 0 tg x sen x x x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

4 DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
Sea f(x) = sen x Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + h) - f(x) sen (x+h) – sen x f ‘ (x) = lím = lim = h  h h h Aplicando la conversión de sumas en productos de trigonometría: 2.cos [(x+h+x)/2] . sen [(x+h – x)/2] f ‘ (x) = lím = h  h sen (h/2) sen h/2 = lím cos [x+(h/2)] = cos x . Lim = cos x . 1 = cos x h  h/ h h/2 Puesto que hemos visto antes que el último límite vale 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

5 DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
Sea f(x) = cos x Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + h) - f(x) cos (x+h) – cos x f ‘ (x) = lím = lim = h  h h h Aplicando la conversión de sumas en productos de trigonometría: - 2.sen [(x+h+x)/2] . sen [(x+h – x)/2] f ‘ (x) = lím = h  h sen (h/2) sen h/2 = lím - sen [x+(h/2)] = - sen x . Lim = - sen x h  h/ h h/2 Puesto que se puede comprobar que el último límite vale 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

6 DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
Sea f(x) = tg x Aplicando la definición de tangente: tg x = sen x / cos x Derivando como una división de funciones que es: cos x. cos x – sen x. (- sen x) (cos x)2 + (sen x) f ‘ (x) = = = (cos x) (cos x) (cos x)2 Como 1/ cos x = sec x Queda: f ‘ (x) = 1 / cos2 x O también f ‘ (x) = sec2 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

7 OTRAS DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
Sea f(x) = sec x Aplicando la definición de secante: sec x = 1 / cos x Y se derivaría como una división – (- sen x) sen x tg x f ‘ (x) = = = (cos x) (cos x) cos x Sea f(x) = cosec x Aplicando la definición de cosecante: cosec x = 1 / sen x – cos x cos x f ‘ (x) = = = (sen x) (sen x) tg x . sen x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

8 OTRAS DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
Sea f(x) = cotg x Aplicando la definición de secante: cotg x = cos x / sen x Y se derivaría como una división (– sen x).sen x – cos x. cos x – (sen x)2 – (cos x) – 1 f ‘ (x) = = = (sen x) (sen x) (sen x)2 Sea f(x) = sen g(x) Sea f(x) = cos g(x) Sea f(x) = tg g(x) Etc … Se aplicaría la Regla de la Cadena para funciones compuestas. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

9 Apuntes 1º Bachillerato CT
Ejemplos y = sen x2  y ‘ = cos x2 . 2x y = cos x3  y ‘ = - sen x3 . 3x2 y = ln sen x  y ‘ = cos x / sen x = cotg x y = log cos x  y ‘ = (- sen x / cos x) / ln 10 y = sen ln x  y ‘ = cos ln x . (1 / x) y = sen3 x  y ‘ = 3. sen2 x . cos x y = cos5 x3  y ‘ = 5. cos4 x3 . (– sen x3). 3x2 y = √sen x  y ‘ = (1/2) (sen x)-1/2 . cos x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

10 DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Tema * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

11 DERIVADAS DEL ARCO SENO
Sea f(x) = arcsen x Es la función inversa de f(x) = sen x Su dominio está limitado a [-π/2, π/2], pues sino no sería función. Como y = sen x e y = arcsen x son funciones inversas: sen(arcsen x) = x Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos: (cos(arcsen x)).(arcsen x)’ = 1 Como sabemos que: (sen(arcsen x))2 + (cos(arcsen x))2 = 1 También sabemos que sen(arcsen x) = x Luego x2 + (cos(arcsen x))2 = 1  (cos(arcsen x)) = √(1 - x2) Despejando: (arcsen x)’ = 1 / (cos(arcsen x)) Resultando que f ’(x) = 1 / √(1 - x2) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

12 DERIVADAS DEL ARCO COSENO
Sea f(x) = arccos x Es la función inversa de f(x) = cos x Su dominio está limitado a [-π/2, π/2], pues sino no sería función. Como y = cos x e y = arccos x son funciones inversas: cos(arccos x) = x Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos: (- sen(arccos x)).(arccos x)’ = 1 Como sabemos que: (sen(arccos x))2 + (cos(arccos x))2 = 1 También sabemos que cos(arccos x) = x Luego (sen(arccos x))2 + x2 = 1  (sen(arccos x)) = √(1 - x2) Despejando: (arccos x)’ = 1 / (- sen(arccos x)) Resultando que f ’(x) = – 1 / √(1 - x2) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

13 DERIVADAS DEL ARCO TANGENTE
Sea f(x) = arctg x Es la función inversa de f(x) = tg x Su dominio es todo R. Como y = tg x e y = arctg x son funciones inversas: tg(arctg x) = x Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos: (1 / (cos(arccos x))2).(arctg x)’ = 1 Como sabemos que: 1 / (cos(arccos x))2 = (sec(arctg x))2 También sabemos que (sec(arctg x))2 = (tg(arctg x))2 + 1 Y por último como tg(arctg x) = x  (sec(arctg x))2 = x2 + 1 Despejando: (arctg x)’ = 1 / (x2 + 1) Resultando que f ’(x) = 1 / (x2 + 1) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

14 Ejercicios propuestos
Aplicando la Regla de la Cadena hallar las derivadas de: y = arcsen x2  y ‘ = y = arccos x3  y ‘ = y = ln arcsen x  y ‘ = y = log arctg x  y ‘ = y = arctg ex  y ‘ = y = arcsen3 x  y ‘ = y = arccos5 x3  y ‘ = y = √arcsen ex  y ‘ = @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT