@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES U.D. 7 * 1º BCT.

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2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES U.D. 7 * 1º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 FUNCIONES TROCEADAS U.D. 7.1 * 1º BCT

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS O TROCEADAS Son aquellas que presentan, a lo largo de su dominio, diferentes expresiones analíticas o gráficas, cada una de las cuales está expresada o representada en un intervalo. FUNCIONES TROCEADAS a b c d e X f(x) Función constante Función lineal Función cuadrática Función radical k p

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT4 FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS O TROCEADAS Son aquellas que presentan, a lo largo de su dominio, diferentes expresiones analíticas o gráficas, cada una de las cuales está expresada o representada en un intervalo. k, si a ≤ x < b x – b, si b ≤ x ≤ c f(x) = (x – c) 2 – p, si c < x < d √(x – e), si e ≤ x Entre x=d y x=e no hay ninguna expresión porque dicho intervalo está gráficamente vacío, no forma parte del dominio, incluidos d y e. FUNCIONES TROCEADAS

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 - 2 0 2 3 5 5 Ejemplo 1 Tenemos troceada la función en dos partes, cada una de las cuales es, en este caso, una función cuadrática y una función lineal. La función se expresaría así: x 2 – 4 si x < 3 f(x) = - x + 8 si x ≥ 3 Nota El signo = para x=3 sólo aparece en una expresión, no en las dos. Donde proceda. En este caso es indiferente.

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 - 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 – 2 Ejemplo 2 Sea la función: 1/ x si x < 4 f(x) = x – 6 si x ≥ 4 Dibujarla Nota El signo = para x=4 gráficamente estaría sobre la función lineal y=x – 6, y no sobre la función de proporcionalidad inversa y = 1/x

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT7 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 y Ejemplo 3 Representa gráficamente la función: f(x) = |x – 3| La función valor absoluto se expresaría así: – x + 3, si x < 3 f(x) = x – 3, si x ≥ 3 Nota El signo = para x=3 sólo aparece en una expresión, no en las dos.

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 - 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 6 Ejemplo 4 Sea la función: – x + 3 si x < 0 f(x) = 6 – x 2 si x ≥ 0 Dibujarla Nota El signo = para x=0 gráficamente estaría sobre la función cuadrática, no sobre la lineal. 3

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT9 Ejemplo 5 Tenemos troceada la función en cuatro partes, cada una de las cuales es, en este caso, una función lineal. Se expresaría así: 0 si 0 ≤ x < 5 x – 5 si 5 ≤ x < 15 f(x) = 5 si 15 ≤ x < 20 -2x+25 si 20 ≤ x < 25 0 5 15 20 25 5 Ejemplo Práctico correspondiente: Una atracción de feria, una noria, donde el eje de abscisas son los tiempos y el eje de ordenadas es la velocidad que alcanza.

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT10 0 10 15 25 100 50 Ejemplo 6 Tenemos troceada la función en tres partes, cada una de las cuales es, en este caso, una función lineal. Ejemplo Práctico correspondiente: Una máquina está funcionando de manera que su temperatura aumenta linealmente con el tiempo. Al alcanzar los 100ºC se para, permaneciendo en reposo 5 mn. Tras ese periodo de descanso vuelve a funcionar. La función se expresaría así: 10.xsi 0 ≤ x ≤ 10 f(x) = 0si 10 < x ≤ 15 10.x - 150si 15 ≤ x ≤ 25

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT11 - 5 0 5 10 20 321321 Ejemplo 7 Tenemos troceada la función en tres partes, cada una de las cuales es, en este caso, una función cuadrática, una f. constante y una f. lineal. Ejemplo Práctico correspondiente: Al variar la temperatura ambiente entre -5ºC y 20ºC observamos la variación que sufre el índice de crecimiento de un determinado compuesto biológico. Crecimiento actual i = ------------------------------ Crecimiento anterior A iguales periodos de tiempo La función se expresaría así: (3/25).x 2 si -5 ≤ x < 5 f(x) = 3 si 0 ≤ x ≤ 10 - 0,3.x + 6 si 10 < x ≤ 20

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT12 Ejemplo 8 de función definida a trozos Lo que cobra Correos por el envío postal de un paquete depende, fundamentalmente del peso en gramos. Si, por ejemplo, por un paquete de 399,99 g nos cobran 4 €, por otro de 400 g nos llevarían 6 €. Por muy pequeño que sea el incremento de peso, el incremento de precio puede ser muy notable si nos movemos cerca de puntos que presentan una discontinuidad. 0 100 200 400 700 peso en g 10 6 4 2 1 p P = f (p) en €

14 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT13 EJEMPLO 1 Representa gráficamente la función: x + 2, si x < – 1 Sea f(x) = – 2.x 2 + 4, si x > – 1 A la izquierda de x = - 1 es una función lineal Tabla: x = – 2  y = 0,, x = – 1  y = 1 Se dibujaría en el intervalo de definición (– oo, – 1). A la derecha de x = - 1 es una función cuadrática: Parábola convexa. Vértice: Vx = – b/2.a = – 0 /2.(-2) = 0  Vy = - 2.0 + 4 = 4 Tabla: x = – 1  y = - 2.1 + 4 = 2,, x = 1  y = 2 Se dibujaría en el intervalo de definición (– 1, +oo). FUNCIONES TROCEADAS

15 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT14 -2 -1 1 2 3 4 … EJEMPLO 1 x – 2, si x < – 1 f(x) = – 2.x 2 + 4, si x > – 1 -2 -1 0 1

16 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT15 EJEMPLO 2 Representa gráficamente la función: Sea f(x) = x 2 – 4 x + 3, si x ≤ 3 2 –x + 1, si x > 3 A la izquierda de x=3 es una función cuadrática. Parábola cóncava. Vértice: Vx = – b/2.a = – (-4) /2.1 = 2  Vy = (2) 2 – 4.(2) + 3 = – 1 Tabla: x = 1  y = 0,, x = 3  y = 0 A la derecha de x =3 la función es exponencial. Con exponente negativo (luego decreciente). Traslación vertical hacia arriba. La asíntota horizontal es: lim [x  oo] f(x)= (1/oo)+1 = 0 + 1= 1 Tabla: x = 3  y = 1,125,, x = 4  y = 1,0625,, x = 8  y = 1,03125

17 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT16 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 1 2 3 4 … EJEMPLO 2 x 2 – 4 x + 3, si x ≤ 3 Sea f(x) = 2 –x + 1, si x > 3

18 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT17 EJEMPLO 3 Representa gráficamente la función: 2.x – 2, si x < 1 Sea f(x) = x 2 – x, si 1 ≤ x < 2 2 --- + 1, si x > 2 x A la izquierda de x=1 es una función lineal Tabla: x = 0  y = – 2,, x = 1  y = 0 En el intervalo (1, 2) es una función cuadrática: Parábola cóncava. Vértice: Vx = – b/2.a = – (-1) /2.1 = 1/2  Vy = (1/2) 2 – ½ = – 0,25 Tabla: x = 1  y = 0,, x = 2  y = 4 – 2 = 2 A la derecha de x = 2 la función es una hipérbola. La asíntota vertical es x=0, que queda fuera del intervalo. Traslación vertical hacia arriba. La asíntota horizontal es: lim [x  oo] f(x)= (2/oo)+1 = 0 + 1= 1 Tabla: x = 2  y = 2,, x = 4  y = 1,5,, x = 8  y = 1,25

19 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT18 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 1 2 3 4 … EJEMPLO 3 2.x – 2, si x < 1 Sea f(x) = x 2 – x, si 1 ≤ x < 2 2 --- + 1, si x > 2 x