@ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 FUNCIONES U.D. 6 * 1º BCS

@ Angel Priet BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 FUNCIONES CUADRÁTICAS: OBTENCIÓN DE LA EXPRESIÓN U.D. 6.8 * 1º BCS

Si nos dan una tabla de valores con tres o más pares (x, y) correspondientes a una función cuadrática, podemos obtener la expresión: y = a.x 2 + b.x + c Con sólo resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas aplicando el Método de Gauss, que ya se ha visto y practicado En la resolución del sistema las incógnitas serán ahora los parámetros a, b y c desconocidos. y 1 = a.x b.x 1 + c y 2 = a.x b.x 2 + c y 3 = a.x b.x 3 + c Una vez obtenida la función cuadrática podremos interpolar y extrapolar valores que no están en la tabla proporcionada. Eso es lo que se llama INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA, que ya se ha visto y practicado. Para ello:TABLA DE VALORES  EXPRESIÓN ANALÍTICA TABLA  EXPRESIÓN ANALÍTICA

Si nos dan la gráfica de una función cuadrática podemos en ciertos casos obtener su expresión analítica sin recurrir al método de Gauss. y = a.x 2 + b.x + c Para ello nos deben dar, al menos, las coordenadas de tres de los cuatro puntos clave de una parábola: –E–El vértice: V(x v, y v ) –L–Los puntos de corte con OX: Pc(x 1, 0) y Pc(x 2, 0) –P–Punto de corte con OY: Pc(0, yc) GRÁFICA  EXPRESIÓN ANALÍTICA y x1 x2 V(xv, yv) (0, yc)

Sea el vértice V(x v, y v ) Cortes: Pc(x 1, 0) y Pc(x 2, 0) Sea la expresión analítica: y = a.x 2 + b.x + c Al ser x 1 y x 2 ceros de la función, podemos poner: y = k.(x-x 1 ).(x-x 2 ) Y determinar el valor de k. EJEMPLO_1 y = k.(x-2).(x-6)  y = k.(x 2 – 8.x + 12) Tomando el vértice conocido: - 3 = k.(4 2 – )  - 3 = - 4.k k = 3 / 4  f(x) = 0,75.x 2 – 6.x + 9 CASO 1: Cortes con OX y Vértice y 2 6 V(4, -3)

EJEMPLO_2 Sea y=k.(x-x1).(x-x2) y = k.(x-1).(x-7) y = k.(x 2 – 8.x + 7) Tomando el vértice conocido: 9 = k.(4 2 – ) 9 = - 9.k k = - 9 / 9 = - 1 f(x) = - 1.(x 2 – 8.x + 7) f(x) = - x x – 7 CASO 1: Cortes con OX y Vértice y 1 7 V(4, 9)

Sea el corte con OY: Pc(0, y c ) Cortes: Pc(x 1, 0) y Pc(x 2, 0) Sea la expresión analítica: y = a.x 2 + b.x + c Al ser x 1 y x 2 ceros de la función, podemos poner: y = k.(x-x 1 ).(x-x 2 ) Y determinar el valor de k. EJEMPLO_1 y = k.(x-2).(x-12)  y = k.(x 2 – 14.x + 24) Tomando el otro corte conocido: 6 = k.(0 2 – )  6 = 24.k k = 6 / 24 = 1/4  f(x) = 0,25.x 2 – 3,5.x + 6 CASO 2: Cortes con OX y con OY y 2 12 Pc(0, 6)

EJEMPLO_2 Sea y=k.(x-x1).(x-x2) y = k.(x +3).(x - 9) y = k.(x 2 – 6.x – 27) Tomando el otro corte conocido: 9 = k.(0 2 – 6.0 – 27) 9 = - 27.k k = - 9 / 27 = - 1/3 f(x) = - (1/3).(x 2 – 6.x – 27) f(x) = - (1/3).x x + 9 CASO 2: Cortes con OX y OY y Pc(0, 9)

Sea el corte con OY: Pc(0, y c ) Sea el vértice V(x v, y v ) Sea la expresión analítica: y = a.x 2 + b.x + c Tomando el punto de corte: Pc(0, y c ) yc = a b.0 + c  Luego c = y c Tomando ahora el vértice: y v = a.x v 2 + b.x v + y c Vemos que tenemos una ecuación con dos incógnitas, a y b. No podemos determinar sus valores. Hay infinitas soluciones, infinitas parábolas que cumplen la ecuación. CASO 3: Corte con OY y Vértice y V(2, -4) Pc(0, 4)

EJEMPLO_1 c = 4 para x=0 Tomando el vértice: - 4 = a b  4.a + 2.b = a + b = - 4  b = - 2.a – 4  f(x) = a.x 2 + (– 2.a – 4).x + 4 Vemos que para cada valor de a tendremos una función cuadrática. Por ahora este caso sería indeterminado. Más adelante, con el empleo de las DERIVADAS, podremos terminar de resolverlo gracias a que el vértice es un máximo o mínimo, y en dichos puntos el valor de la derivada es cero Calculamos la derivada y la igualamos a cero: 2ax – 2.a – 4 =0 Como x=2  4.a – 2.a – 4 = 0  a = 2 Luego f(x) = 2.x 2 – 8.x + 4 CASO 3: Corte con OY y Vértice y V(2, -4) Pc(0, 4)