@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.1 DETERMINANTES U.D. 2 * 2º BCT.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.1 DETERMINANTES U.D. 2 * 2º BCT

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.2 DETERMINANTES U.D. 2.1 * 2º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.3 DETERMINANTE Determinante de una matriz cuadrada de orden n es el conjunto de nxn números ordenados de igual manera que en la matriz. En cuanto a su notación, sirve cambiar los paréntesis de la matriz por dos rayas verticales que comprendan dicho conjunto de números, ordenados en n filas y en n columnas. E jemplo: |A| = Un determinante de orden 4 (4x4) será |A| = [Cuatro filas x cuatro columnas]

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.4 REGLA DE SARRUS REGLA DE SARRUS El valor de un determinante es la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal principal (de izquierda a derecha), menos la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal secundaria (de derecha a izquierda). Cada elemento aij del determinante formará parte de un producto positivo y de un producto negativo. Para determinantes [2x2]: |A| = a 11.a 22 - a 12.a 21 Para determinantes [3x3]: |A| = a 11.a 22.a 33 + a 12.a 23.a 31 + a 21.a 32.a 13 - - a 13.a 22.a 31 - a 12.a 21.a 33 - a 11.a 23.a 32 Para determinantes [nxn] en general: Se procede a desarrollar, como veremos más adelante, el determinante dado en función de una sola fila o columna, resultando al final del proceso determinantes 2x2 o/y 3x3 únicamente.

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.5 MENOR NO NULO MENOR DE UN DETERMINANTE Se llama menor de un determinante nxn (n filas y n columnas) a cualquier otro determinante (n – k)x(n – k) que se pueda formar con parte de los elementos del primero, de forma que coincidan el índice i (de las filas) o el índice j (de las columnas). Ejemplo Sea el determinante 3x3: a 11 a 12 a 13 |A| = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Menores de dicho determinante serán, entre otros: a 11 a 12 a 11 a 13 a 22 a 23 a 21 a 22, a 31 a 33, a 32 a 33, a 21, a 23, etc. Se llamará MENOR NO NULO si su valor es distinto de cero.

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.6 Sea el determinante de orden 2 Habrá únicamente 2 productos posibles: a 11.a 22 y a 12.a 21 El primer producto es positivo y el segundo negativo. El valor del determinante será: |A| = a 11.a 22 - a 12.a 21 Ejemplo 2 - 4 |A| = 3 5 |A| = 2.5 – (- 4).3 = 10 – (- 12) = 10+12 = 22 Determinante de orden 2

7 Ejemplos de orden 2 Hallar el valor de los siguientes determinantes: @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.7 + -

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.8 A = a 11 a 12 a 21 a 13 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Guía gráfica de Sarrus A = a 11 a 12 a 21 a 13 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 PRODUCTOS POSITIVOS PRODUCTOS NEGATIVOS

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.9 Sea el determinante de orden 3 123 |A| = 456 789 Por la Regla de Sarrus |A| = a 11.a 22.a 33 + a 12.a 23.a 31 + a 21.a 32.a 13 - - a 13.a 22.a 31 - a 12.a 21.a 33 - a 11.a 23.a 32 |A| = 1.5.9 + 2.6.7 + 4.8.3 – 3.5.7 – 2.4.9 – 1.6.8 = = 45 + 84 + 96 – 105 – 72 – 48 = 225 – 225 = 0 Determinante de orden 3

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.10 Es el orden del determinante de mayor menor no nulo de dicha matriz. El mayor determinante que podemos formar en de orden 3 (3x3). Como mucho su Rango vale 3 ; Rang (A) = 3 Ya vimos que |A| = 0, por lo que su rango no puede ser 3. Tomamos un determinante cualquiera de orden 2 1 2 |A| =  |A|= 5 – 8 = – 3 <> 0, luego Rang A = 2 4 5 Sea la matriz 123 A =456 789 RANGO DE UNA MATRIZ