APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

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1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
U.D. 6 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

2 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
OTRAS GRÁFICAS U.D * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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Ejemplo_1 Sea la función y = 3 –x2 CORTES CON LOS EJES Corte con el eje OY: x = 0  y = 3 –0 = 1 Pc ( 0, 1) Corte con el eje OX: f(x) = 0  0 = 3 –x2  No hay cortes. SIMETRÍAS f(x) = 3 –x2 f( - x) = 3 – (–-x)2 = 3 –x2 Vemos presenta simetría PAR. - f( - x) = – 3 –x2 Vemos que no presenta una simetría IMPAR. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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MONOTONÍA Sea la función y = 3 –x2 Hallamos la primera derivada: ln y = - x2 . ln 3  y’ / y = - 2.x ln3  y ‘ = - 2.x. ln –x2 Igualamos a cero para hallar los intervalos: - 2.x ln 3 .3 –x2 = 0  x = 0 Los intervalos son (-oo, 0) y (0, +oo) f ‘ (-1) = - 2.(-1) ln 3 .3 –(- 1)2 = 2. ln 3. 1/3 > 0 La función es CRECIENTE en (-oo, 0). f ‘ (1) = - 2.(1) ln 3 .3 –(1)2 = - 2. ln 3. 1/3 < 0 La función es DECRECIENTE en (0, +oo). MAXIMOS Y MÍNIMOS y ‘ = - 2.x ln 3 .3 –x2 = 0  x = 0 es el único punto posible máx o mín. Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = - 2.ln –x2 + 2.x ln 3. 2.x ln 3 .3 –x2 f ”(0) = , < 0, entonces f tiene en x=0 un MÁXIMO RELATIVO. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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CURVATURA Sea la función: y = 3 –x2 La primera derivada: y ‘ = - 2.x ln 3 .3 –x2 La segunda derivada: y ‘’ = - 2.ln –x2 + 2.x ln 3. 2.x ln 3 .3 –x2 Igualamos a 0 la segunda derivada: 0 = - 2.ln –x2 + 2.x ln 3. 2.x ln 3 .3 –x2 2.ln –x2 = 2.x ln 3. 2.x ln 3 .3 –x2 1 = x .2.x ln 3  x2 = 1 / 2.ln3  x = ± 0,4551 Los intervalos de curvatura son: (-oo, - 0,4551), (- 0,4551, + 0,4551) y ( 0,4551, +oo) f “ (-1) = - 2.ln –(-1)2 + 2.(-1) ln 3. 2.(-1) ln 3 .3 –(-1)2 = = - 0,66. 0, ,33. 0,4771.0,4771 > 0  Cóncava en (- oo, - 0,4551) f “ (0) = - 2.ln – ln ln 3 .3 – 02 = - 2.ln 3 < 0  Convexa en (- oo, - 0,4551) f “ (1) = - 2.ln –(1)2 + 2.(1) ln 3. 2.(1) ln 3 .3 –(1)2 =  Cóncava en (- oo, - 0,4551) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

6 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
PUNTOS DE INFLEXIÓN Sea la función: y = 3 –x2 La primera derivada: y ‘ = - 2.x ln 3 .3 –x2 La segunda derivada: y ‘’ = - 2.ln –x2 + 2.x ln 3. 2.x ln 3 .3 –x2 Igualamos a 0 la segunda derivada: 0 = - 2.ln –x2 + 2.x ln 3. 2.x ln 3 .3 –x2 2.ln –x2 = 2.x ln 3. 2.x ln 3 .3 –x2 1 = x .2.x ln 3  x2 = 1 / 2.ln3  x = ± 0,4551 Hallamos las ordenadas de dichos puntos: y = 3 – (0,4551)2 = 0,3671 Los puntos de Inflexión son: PI(-0,4551, 0,3671) y PI(0,4551, 0,3671) ASÍNTOTAS La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f si: Lím –x2 = 3 –oo = 0 x ± oo Luego y = 0 es la asíntota horizontal. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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1 Máx PI 0,37 PI -45 0,45 Gráfica Ejemplo_1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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Ejemplo_2 Sea la función y = log (x2 – 1) CORTES CON LOS EJES Corte con el eje OY: x = 0  y = log (0 – 1) = No existe corte con OY Corte con el eje OX: f (x) = 0  0 = log (x2 – 1)  = (x2 – 1)  1 = x2 – 1 2 = x2  x = ± √2  Pc (- √2, 0) y Pc (√2, 0) SIMETRÍAS f(x) = log (x2 – 1) f( - x) = log ((- x)2 – 1) Vemos presenta simetría PAR. - f( - x) = – log ((- x)2 – 1) Vemos que no presenta una simetría IMPAR. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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DOMINIO DE DEFINICIÓN Sea la función y = log (x2 – 1) Dom f(x) = {Vx / (x2 – 1) > 0} = R – [– 1, +1] MONOTONÍA Hallamos la primera derivada: 10y = (x2 – 1)  y.ln 10 = ln (x2 – 1)  y ‘ = 2.x / (x2 – 1) ln 10 Igualamos a cero para hallar los intervalos: 2.x = 0  x = 0 Los intervalos son (-oo, -1) y (1, +oo) f ‘ (- 2) = = 2.(-2) / ((-2)2 – 1) ln 10 = - 4 / 3. ln 10 < 0 La función es DECRECIENTE en (-oo, -1). f ‘ (2) = = 2.2 / (22 – 1) ln 10 = 4 / 3. ln 10 > 0 La función es CRECIENTE en (0, +oo). @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

10 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
MAXIMOS Y MÍNIMOS Sea la función y = log (x2 – 1) Hallamos la primera derivada: y ‘ = 2.x / (x2 – 1) ln 10 Igualamos a cero: 2.x = 0  x = 0 es el posible máximo o mín. Pero como x=0 no pertenece al dominio, no hay máximos ni mínimos. CURVATURA Sea la función y = log (x2 – 1) La primera derivada: y ‘ = 2.x / (x2 – 1) ln 10 La segunda derivada: y ‘‘ = [(2.(x2 – 1) – 2.x.2.x ] / (x2 – 1)2 ln 10 Operando: y ‘‘ = [2x2 – 2 – 4.x2 ] / (x2 – 1)2 ln 10 y ‘‘ = [– 2 – 2.x2 ] / (x2 – 1)2 ln 10 Igualamos a 0 la segunda derivada: 0 = – 2 – 2.x2  x2 = – 1  No existen Puntos Inflexión. El intervalo de curvatura es R – [-1, 1] , el dominio. y ‘‘ (3) = [– 2 – 2.32 ] / (32 – 1)2 ln 10 = - 20 / 64.ln 10 < 0 La curva es convexa en todo su dominio. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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Gráfica Ejemplo_2 1 √ √ x x y -3 log 8 -2 log 3 oo x y 3 log 8 2 log 3 1 -oo @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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Ejemplo_3 Sea la función y = | x2 / (x – 1) | CORTES CON LOS EJES Corte con el eje OY: x = 0  y = 0  Pc(0,0) Corte con el eje OX: f (x) = 0  0 = x2 / (x– 1)  x2 = 0  x = 0 y = 0 /(-1) = 0  Pc (0, 0) SIMETRÍAS f(x) = |x2 / (x– 1) | f( - x) = |x2 / (– x – 1) | Vemos que NO presenta simetría PAR. – f( - x) = – |x2 / (x + 1) | Vemos que NO presenta una simetría IMPAR. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

13 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
DOMINIO DE DEFINICIÓN Sea la función: f(x) = |x2 / (x – 1) | Dom f(x) = R – [0] x2 / (x – 1) > 0 x2 >0  x = R x – 1>0  x > 1 x2 <0  Nunca x – 1<0  x < 0 x2 / (x – 1) < 0 x – 1<0  x < 1 x2 < 0  Nunca La función es: x2 / (x – 1) , si x > 1 f(x) = x2 / (1 – x) , si x < 1 La función es continua en todo su dominio. Su derivada es: (x2 – 2x)/(x – 1)2 , si x > 1 f ’(x) = (2x – x2)/(1 – x)2 , si x < 1 La función es derivable en todo su dominio @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

14 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
MONOTONÍA x2 / (x – 1) , si x > 1 f(x) = x2 / (1 – x) , si x < 1 Su derivada es: (x2 – 2x)/(x – 1)2 , si x > 1 f ’(x) = (2x – x2)/(1 – x)2 , si x < 1 Igualamos a cero para hallar los intervalos: x2 – 2x = 0  x = 0 y x = 2 , si x > 1 2x – x2 = 0  x = 0 y x = 2 , si x < 1 Los intervalos son (-oo, 0), (0, 1) , (1, 2) y (2, +oo) f ‘ (- 2) = (2.(-2) - (-2)2 ) / (1– (-2))2 = - 8 / 9 < 0 La función es DECRECIENTE en (-oo, 0). f ‘ (0,5) = (2.0’5 – 0’52 ) / (1– 0’5)2 = 0’75 / 0,25 > 0 La función es CRECIENTE en (0, 1). f ‘ (1,5) = (1, ,5 ) / (1,5 – 1)2 = - 0’75 / 0,25 < 0 La función es DECRECIENTE en (1, 2). f ‘ (3) = ( ) / (3 – 1)2 = 3 / 4 > 0 La función es CRECIENTE en (2 , +oo). @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

15 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
MAXIMOS Y MÍNIMOS Igualamos a cero la primera derivada: x2 – 2x = 0  x = 0 y x = 2 , si x > 1 2x – x2 = 0  x = 0 y x = 2 , si x < 1 En x=0 habrá un mínimo relativo, pues a su izquierda es decreciente y a su derecha creciente. Min(0,0) En x=2 habrá un mínimo relativo, pues a su izquierda es decreciente y a su derecha creciente. x=2  y = 22 / (2 – 1) = 4  Min(2, 4) ASÍNTOTAS Lím |x2 / (x – 1) | = 1 / 0 = oo x1 Lím x2 / (x – 1) = 1 / 0+ = +oo x1+ Lím x2 / (1 – x) | = 1 / 0+ = +oo x1- En x = 1 hay una A. vertical. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

16 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
ASÍNTOTAS Lím x2 / (x – 1)= [oo/oo] = … = oo xoo Lím x2 / (1 – x)= [oo/-oo] = … = -oo x-oo No hay A. Horizontal. Para x > 1 x = x  y = x + 1 es A. Oblicua x – x – 1 Para x < 1 x = – x –  y = -x -1 es A. Oblicua 1 – x – x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

17 Apuntes 2º Bachillerato C.T.
Gráfica Ejemplo_3 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

18 Ejercicios propuestos
Ejemplo 4 (x – 2)2 y = x2 + 2 Ejemplo 5 x.| x | y = | x + 1| @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.