@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 U. D. 5 * 4º ESO E. AC. SISTEMAS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 U. D. 5 * 4º ESO E. AC. SISTEMAS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.2 U. D. 5.3 * 4º ESO E. AC. SISTEMAS CUADRÁTICOS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.3 Un sistema de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas es de segundo grado si al menos una de las ecuaciones es de segundo grado. Ejemplos x 2 – 3x = y + 5x 2 – 3y 2 – 3x = y + 5 3x + 2y = 7x 2 + 5x = 4y + 5 x – 3y = 5 x 2 + 2xy – 3y 2 = 7 3x + 2xy = 43x 2 + 7y 2 – 3x = y + 5 Véase que el monomio “2xy” presente es de segundo grado, lo que hace que la ecuación correspondiente sea también de segundo grado, y por extensión el sistema del que forma parte también sea de segundo grado. SISTEMAS DE 2º GRADO

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.4 Sea el sistema: x 2 + y 2 = 10(1) x + y = 4(2) De la ecuación (2) se despeja la incógnita “x” :x = 4 – y Y se sustituye su expresión en la ecuación (1) : (4 – y) 2 + y 2 = 10 Operando queda : 2 y 2 – 8y + 6 = 0 Resulta una ecuación de 2º grado, que resolviéndola … y 1 = 3, y 2 = 1 Llevando ese valor a la ecuación ( 2 bis), tenemos … x = 4 – 3 = 1, x = 4 – 1 = 3, o sea x 1 = 1, x 2 = 3 Resolución analítica 1

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.5 Gráfica del ejemplo anterior P1(1,3) P2(3,1)

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.6 Sea el sistema: y 2 - x = 8(1) x + y = 4(2) De ambas ecuaciones se despeja la incógnita “x” : x = y 2 - 8(1) x = 4 – y(2) Se igualan ambas expresiones: y 2 - 8 = 4 – y  y 2 + y – 12 = 0 Resulta una ecuación de 2º grado, que resolviéndola … y 1 = 3, y 2 = - 4 Llevando ese valor a la ecuación (2), tenemos … x = 4 – 3 = 1, x = 4 – (- 4) = 8, o sea x 1 = 1, x 2 = 8 Resolución analítica 2

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.7 Gráfica del ejemplo anterior P1(1,3) P2(8,-4)

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.8 Sea el sistema: x 2 + y 2 - 2 x = 8(1) x 2 + y 2 - y = 7(2) Restando a la (1) la (2), queda: x 2 + y 2 - 2 x - x 2 - y 2 + y = 8 - 7, y – 2x = 1 (1) De la nueva ecuación (1) despejo “y”: y = 1 + 2x Y sustituyo en la (2), quedando: x 2 + (1+2x) 2 – 1 - 2x = 7  x 2 + 1 + 4x + 4x 2 – 1 – 2x = 7  5x 2 + 2x – 7 = 0 Resulta una ecuación de 2º grado Resolución analítica 3

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.9 Teníamos el sistema: y – 2x = 1 (1) x 2 + y 2 - y = 7(2) ….  5x 2 + 2x – 7 = 0 Resolviendo: - 2 +/- √[2 2 – 4.5.(-7)] - 2 +/- 12 1 x = ----------------------------- = ------------ = 2.5 10 - 7/5 De la (1): y = 2x + 1 y = 2.1 + 1 = 3 ; y = 2.(-7/5) + 1 = - 9 / 5 Solución_1: x 1 = 1, y 1 = 3 Solución_2: x 2 = - 7/5, y 2 = - 9/5

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.10 Gráfica del ejemplo anterior P1(1,3) P2(-1’4, -1’8)