@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 FUNCIONES CUADRÁTICAS Bloque III * Tema 103.

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2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 FUNCIONES CUADRÁTICAS Bloque III * Tema 103

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 FUNCIONES CUADRÁTICAS Todas las funciones que se pueden expresar de la forma f(x) = a.x 2 + b.x + c Reciben el nombre de FUNCIONES CUADRÁTICAS. Su gráfica es una parábola. Para dibujar una parábola necesitamos conocer: 1.-Coordenadas del vértice. 2.-Corte con el eje de abscisas y el eje de ordenadas. 3.-El eje de simetría. 4.-Una tabla de valores. -3 -2 -1 0 1 2 3 x y 5 -3 -5 f(x) = x 2 – 2x – 3

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 GRÁFICA DE LA PARÁBOLA VÉRTICE DE LA PARÁBOLA Como todo punto tendrá dos coordenadas: V(x v, y v ) Siempre se cumple: x v = - b / 2.a  y v =a.x v 2 +b.x v + c EJE DE SIMETRÍA Es vertical y pasa por el vértice, luego su ecuación es x = x v = -b/2.a PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Si hacemos x=0  y = f (0) será el corte con el eje de ordenadas. Si hacemos f(x)=0  La solución de la ecuación a.x 2 +b.x + c = 0 nos dará los puntos de corte con el eje de abscisas, si los hay. TABLA DE VALORES Además de los ya calculados, vértice y cortes, hay que dar dos o cuatro más de valor de x simétrico respecto al valor del vértice. Importante comprobación: Los cortes con el eje de abscisas, si los hay, son simétricos respecto al valor de x v. Muy importante: Si a>0  CÓNCAVA y si a<0  CONVEXA

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 PROPIEDADES DOMINIO El dominio de f(x), como cualquier función polinómica será R. Dom f(x) = R RECORRIDO La imagen de una función cuadrática sólo existe del vértice a +oo o del –oo al vértice, según sea cóncava o convexa. Img f(x) = (y v, + oo) en las funciones cuadráticas CÓNCAVAS. Img f(x) = (- oo, y v ) en las funciones cuadráticas CONVEXAS. SIMETRÍA Como su gráfica es una parábola, sólo puede tener simetría PAR: f(x) = f(-x) cuando el eje de la parábola sea el eje de ordenadas.

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 Ejemplo 1 Sea f (x) = x 2 - 3 a=1>0  Cóncava Dom f(x) = R Vértice: x v = - b / 2.a = -0/2.1 = 0 y v = 0 2 - 3 = - 3 V(0, - 3) Img f(x) = [ - 3, +oo) Sea f (x) = - x 2 + x a=-1<0  Convexa Dom f(x) = R Vértice: x v = - b / 2.a = - 1 / 2.(-1) = 1 / 2 y v = - (1/2) 2 + 1 / 2 = - 0,25 + 0,5 = 0,25 V(0’5, 0´25) Img f(x) = (- oo, 0,25] V V -3 0,25 Ejemplo 2

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS6 LA FUNCIÓN CUADRÁTICA O FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO Si tenemos una ecuación de la forma y = a.x 2, y = a.x 2 + b, y = a.x 2 + b.x, y = a.x 2 + b.x + c Podemos decir que es una función cuadrática. En ella x es la variable independiente e y es la variable dependiente. Las letras a, b y c son los llamados parámetros. La señalaremos así: f(x) = a.x 2, f(x) = a.x 2 + c, f(x) = a.x 2 + b.x, f(x) = a.x 2 + b.x + c Al ir dando valores a x, obtenemos diferentes valores de y, que llevados a un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva llamada PARÁBOLA.

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS7 La función f(x)= a.x 2, a > 0 Sea y = x 2 Tabla de valores x y -39 -24 -11 00 11 24 39 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y 9 1 4

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS8 La función f(x)= a.x 2, a < 0 Sea y = - 2.x 2 Tabla de valores x y -3- 18 -2- 8 -1- 2 00 1- 2 2- 8 3- 18 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y - 8 - 2 - 18

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS9 La función f(x)= a.x 2 + c, a > 0, c > 0 Sea y = x 2 - 2 Tabla de valores x y -37 -22 -1- 1 0- 2 1- 1 22 37 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y 7 - 1 2 - 2

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS10 La función f(x)= a.x 2 + c, a 0 Sea y = - 3.x 2 + 5 Tabla de valores x y -3- 22 -2- 7 -12 05 12 2- 7 3- 22 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y - 7 5 - 22 2

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS11 La función f(x)= a.x 2 + b.x, a > 0, b < 0 Sea y = x 2 - 2.x Tabla de valores x y -315 -28 -13 00 1- 1 20 33 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y 15 3 8 - 1

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS12 La función f(x)= a.x 2 + b.x, a 0 Sea y = - x 2 + 5.x Tabla de valores x y -3- 24 -2- 14 -1- 6 00 14 26 36 -2 -1 0 1 2 3 x y - 6 6 - 14 4

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS13 La función f(x)= a.x 2 + b.x + c, a > 0, b 0 Sea y = x 2 - 2.x + 3 Tabla de valores x y -318 -211 -16 03 12 23 36 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y 18 3 11 6 2

15 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS14 y f(x) = - 0’5.x 2 f(x) = - 2.x 2 f(x) = x 2 Ejemplos de dilatación - 3 - 2 - 1 0 1 2 3

16 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS15 y f(x) = 0’5.x 2 f(x) = 2.x 2 f(x) = x 2 Ejemplos de dilatación Sea f(x) = x 2 Si debemos representar: f(x) = r.x 2 El efecto es que la parábola se deforma. Si r > 0  Conserva la concavidadSi r < 0  Se invierte. Si |r| > 1  Se estrecha.Si |r| < 1  Se ensancha. - 3 - 2 - 1 0 1 2 3

17 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS16 Problema El consumo de gasolina en un coche, para velocidades comprendidas entre 30 y 190 km/h, viene dado por la función: Siendo x la velocidad en km/h y C(x) el consumo en litros/100 km a)¿A qué velocidad se debe conducir para que el consumo sea de 10 litros/100 km? b)¿A qué velocidad consume menos y cuál será dicho consumo?. a)10 = 8 – 0,045.x + 0,00025.x 2 0,00025.x 2 – 0,045.x – 2 = 0  25.x 2 – 4500.x – 200000 = 0 5.x 2 – 900.x – 40000 = 0  x 2 – 180.x – 8000 = 0 x = [180 ±√(180x180 – 4x(-8000))]/ 2 = (180+254)/2 = 217 km/h b) El mínimo consumo estará en el vértice de la parábola: Xv= -b / 2.a = -(-0,045)/2.0,00025 = 45 / 0,5 = 90 km /h El consumo será: Yv = 8 – 0,045.90 + 0,00025.90 2 = 8 – 4,05 + 2,025 = 5,975 litros/100 km