@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema VI Límites y continuidad

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS2 INDETERMINACIONES Tema 6.4bis * 2º BCS

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS3 Indeterminada [oo - oo] Sabemos que k + oo = oo siempre. Sabemos que k - oo = - oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con una diferencia oo - oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo - oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se multiplica y divide por el conjugado de la expresión que ha dado lugar a la indeterminación. Si el resultado es otra indeterminación, se procederá a resolverla.

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS4 Ejemplo 1 lím x – √(x 2 - x) =[oo – oo] = x  oo (x – √(x 2 - x)). (x + √(x 2 - x)) Lím = x  oo x + √(x 2 - x) x 2 - ( x 2 - x ) x Lím = Lím = x  oo x + √(x 2 - x) x  oo x + √(x 2 - x) Simplificando todo entre x, queda: 1 1 Lím = = 1 / (1+1) = 1 / 2 x  oo 1 + √(1 - 1/x) 1 + √( 1 – 0)

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS5 Ejemplo 2 lím √(x 2 - 2x + 3) – x =[oo – oo] = x  oo (√(x 2 - 2x + 3) – x ). (√(x 2 - 2x + 3) + x) Lím = x  oo √(x 2 - 2x + 3 ) + x x 2 – 2.x x 2 - 2x + 3 Lím = Lím = x  oo √(x 2 - 2x + 3) + x x  oo √(x 2 - 2x + 3) + x Simplificando todo entre x, queda: / x Lím = = - 2 / (1+1) = - 2 / 2 = -1 x  oo √(1 - 2/x + 3/ x 2 ) + 1 √( 1 – 0 + 0) + 1

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS6 Indeterminada [0.oo] Sabemos que 0.k = 0 siempre. Sabemos que oo.k = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el producto 0.oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0.oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se multiplican las expresiones, se factoriza numerador y denominador y se simplifica la expresión: Lím f(x). Lím g(x) = [0.oo] = Lím f(x).g(x) = … = L x  a x  a x  a Para ello sabemos que el límite de un producto es el producto de los límites ( Propiedad operativa de los límites ) cuando la variable x tiende al mismo valor.

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS7 Ejemplo 1 x x lím ‑‑‑‑‑‑‑ = = [oo.0] x  1 x - 1 x 0 1 Factorizamos los polinomios existentes que se puedan: x (x+1).(x-1) x lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = lím = ---- = 2 x  1 (x – 1).x x  1 1 1

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS8 Ejemplo 2 1 x lím ‑‑‑‑‑‑‑. Lím = = - [oo.0] x  -1 x +1 x  - 1 x 0 -1 Resolvemos la indeterminación: (x+1).( x 2 – x +1) ( x 2 – x +1) lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = lím = x  - 1 (x +1).x x  - 1 x (-1) 2 – (-1) = ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = ---- = Como se ve, el limite resultante no vale ni 0 ni oo.

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS9 Indeterminada [1 oo ] Sabemos que 1 k = 1 siempre. Sabemos que k oo = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con 1 oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [ 1 oo ] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello sabemos que siempre el resultado va a ser e λ, con lo cual sólo queda calcular λ λ = Lím ( base – 1 ). exponente x  a Y el límite sería, si le hay : L = e λ

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS10 Sea la sucesión n , donde n es un número natural n Si hallamos su limite en el infinito: 1 n oo λ 1 n L = lím ( ) = 1 = e, donde λ = lím ( – 1).n = --- = 1 n  oo n n  oo n n λ 1 Luego L = e = e = e El número e

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS11 El número e en las funciones

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS12 Ejemplos (Siempre x  oo y sólo si [1 oo ])

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS13 Ejemplos (Siempre x  oo y sólo si [1 oo ])

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS14 Ejemplo 7: 3 / (x-1) 3 / 0 x λ lím ‑‑ = ‑ --- = [1 oo ] = Indeterminación = e x  λ = lím (base – 1 ). Exp x (x ).3 (x-1).3 λ = lím ( ). ‑‑‑‑‑‑‑‑ = lím = = 3/2 x  1 2 x ( x - 1) (x -1).2 3/2 L = e Otra forma de cálculo

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS15 Ejemplo 8: (x 2 -1) /x [oo / oo] x + 1 oo λ lím ‑‑ = = … = [1 oo ] = Indet = e x  oo x oo λ = lím (base – 1 ). exp x + 1 (x 2 -1) x oo λ = lím ( ). ‑‑‑‑‑‑‑‑ = lím = [ ] = … = 1 x  oo x x x 2 oo 1 L = e = e H ay que resolver las indet. [oo/oo].