V)-Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. El primer enunciado de la geometría Euclidiana es que una línea recta se puede dibujar a partir de dos puntos. Aunque este concepto parece bastante básico en el mundo de hoy, en 300 a.C. se trataba de un concepto radical. El segundo enunciado dice que una vez que una línea recta se ha establecido entre dos puntos, se puede extender indefinidamente dentro de ese plano en una o en ambas direcciones. El tercer enunciado dice que el círculo se puede dibujar con cualquier centro y cualquier radio -nuevo concepto bastante sencillo gracias a la educación moderna-. Si bien esto puede ser tácito hoy, hay que tener en cuenta que Euclides define estas formas geométricas de un punto de vista matemático, por primera vez. El cuarto enunciado de Euclides es que todos los ángulos rectos son iguales. A los niños se les enseña en la escuela que un ángulo recto mide 90 grados por definición. Se puede deducir entonces que si todos los ángulos rectos miden 90 grados, todos los ángulos rectos son iguales. El enunciado cinco es un poco más complejo y dice que por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela

La geometría hiperbólica es un modelo de geometría que satisface sólo los cuatro primeros postulados de la geometría euclidiana. La geometría hiperbólica tiene curvatura negativa. El quinto postulado no se cumple pues sea r una recta cualquiera y A un punto fuera de esa recta existirán al menos dos rectas que no cruzan a r y pasan por A.

La geometría elíptica es el segundo tipo de geometría no-euclídea de curvatura constante. Un ejemplo de geometría elíptica es la n-esfera. La geometría Elíptica tiene curvatura positiva, es decir, si trazamos un triángulo en una superficie elíptica la suma de sus tres ángulos será mayor a 180º, esto difiere con el enunciado de Euclides que dice que la suma de los tres ángulos de un triángulo será siempre 180º. La geometría elíptica además tampoco cumple con el quinto enunciado de Euclides, dada una recta r y un punto P exterior a esa recta no se puede hallar ninguna recta que pase por P y no corte a r (ninguna paralela). FONDOHD Una esfera y un elipse no son lo mismo, un elipse es un “círculo achatado”. La Tierra tiene forma elíptica.