LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA

Presentación del tema: "LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA"— Transcripción de la presentación:

1 LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA
UNIDAD 13 Ejercicios Resueltos

2 OBJETIVOS OBJETIVO

3 Objetivo 2. Recordarás y aplicarás la definición de la circunferencia como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.

4 C(h, k) = punto medio de Radio = distancia de C a A
Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento , donde A(-2, 4) y B(6, -2) C(h, k) = punto medio de Radio = distancia de C a A

5 Cont…ejercicio resuelto 1
Ecuación de la circunferencia:

6 Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, 3) y B(-1, 1), y cuyo centro está situado en la recta Por la definición del lugar geométrico de una circunferencia con centro en C(h, k): C(h, k) es un punto de la recta por lo tanto satisface su ecuación:

7 Cont…..ejercicio resuelto 2.
Se resuelven las ecuaciones (1) y (2) simultáneas:

8 Cont…..ejercicio resuelto 2.
La ecuación de la circunferencia es o, en la forma general,

9 Ver la siguiente figura
3. Encuentra la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son las rectas: El término “inscrita” indica que la circunferencia está dentro del triángulo y su centro, el punto C(h, k), es el punto donde se intersectan las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo. Ver la siguiente figura

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11 Cont….ejercicio resuelto 3
Ecuación de la bisectriz (1) del ángulo que forman las rectas R1 y R2: Ecuación de la bisectriz (2) del ángulo que forman las rectas R1 y R3:

12 Cont…..ejercicio resuelto 3
Con estas dos bisectrices se encuentra el punto donde se intersectan las tres, que es el centro de la circunferencia de coordenadas (h, k): De la bisectriz (2): En la bisectriz (1): El radio es la distancia del centro a cualquiera de las rectas, por ejemplo a R3: La ecuación de la circunferencia es: = Índice

13 Objetivo 3. Recordarás las características de los coeficientes de una ecuación de segundo grado que representa a una circunferencia y la necesidad de conocer tres constantes independientes para determinar la ecuación de esta curva. Utilizarás estos conceptos para resolver problemas.

14 Obtén la forma canónica de la ecuación que se da y determina si representa una circunferencia real, un punto o ningún lugar geométrico real. 1. Como r2 < 0, la ecuación no representa un lugar geométrico real. 2. Puesto que r = 2 > 0, la ecuación representa una circunferencia con centro en C(–1, 1) y radio 2.

15 Por igualación: (1) = (2) y (1) = (3): De (4):
3. Encuentra la forma canónica de la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 3), (5, 2) y (3, 4). Por igualación: (1) = (2) y (1) = (3): De (4):

16 Cont….ejercicio resuelto 3
De (5): Sustituyendo h: El centro de la circunferencia es el punto C(3, 2) En (1): Entonces el radio es igual a 2, y la forma canónica de la ecuación es: Índice

17 Objetivo 4. Recordarás y aplicarás la definición de la parábola como un lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.

18 Encuentra el vértice, el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de la parábola El vértice está en el origen, el eje de la parábola es el eje x y abre a la derecha. Resumiendo, la parábola tiene: Vértice en (0, 0) Foco en Directriz Eje de la parábola y = 0 Lado recto

19 Encuentra la ecuación de la parábola de vértice en la recta eje horizontal y que pasa por los puntos (3, –5) y Eje horizontal → El punto (3, –5) pertenece a la parábola → El punto pertenece a la parábola → V(h, k) pertenece a la recta →

20 Cont….ejercicio resuelto 2
Se tienen 3 ecuaciones y 3 incógnitas: h, k y p. Se debe resolver el sistema de ecuaciones: en el que dos de las ecuaciones son de segundo grado. Al restar una de otra se pueden eliminar los términos en k2 y en ph, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado:

21 Cont……..ejercicio resuelto 2.
En esta ecuación se puede despejar p en función de k, y en la tercera ecuación del sistema original se puede despejar h en función de k:

22 Cont….ejercicio resuelto 2.
Al sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones de segundo grado (en este caso en la segunda) queda:

23 Cont….ejercicio resueltos 2.
Se encuentran dos conjuntos de valores para las incógnitas: k = –1, h = 1, 4p = 8; Ecuación: L Ecuación:

24 Encuentra la altura de un punto situado a una distancia de 8m del centro del arco parabólico que tiene 18m de altura y 24m de base. Colocando el arco en el plano de manera que el eje x sea la base del arco y el origen el punto medio de la base, como la base mide 24m los dos puntos en que el arco cruza al eje x son (–12, 0) y (12, 0); su vértice está en (0, 18) y el punto situado a 8m del centro del arco tiene coordenadas (8, 0)

25 Cont….ejercicio resuelto 3.
La ecuación es de la forma: La curva pasa por (12, 0), de modo que Ecuación de la parábola: Altura del arco a 8m del centro: Altura: 10m Índice

26 Objetivo 5. Recordarás y aplicarás las características de los coeficientes de una ecuación de segundo grado que representa a una parábola, y la necesidad de tres condiciones para determinar su ecuación.

27 Determina el lugar geométrico que representa la ecuación
En este caso A = 0, C ≠ 0 y D ≠ 0, por lo tanto representa a una parábola. Como el término al cuadrado es el de y, su eje es paralelo, o coincidente, con el eje x. Su forma canónica es: de modo que el vértice es: Entonces el eje de la parábola coincide con el eje y. Índice