Cálculo de volumen

Debemos usar el Cálculo Integral para llegar a una definición exacta. INTRODUCCIÓN Al tratar de calcular el volumen de un sólido enfrentamos el mismo problema que al tratar de calcular un área. Debemos usar el Cálculo Integral para llegar a una definición exacta. Para ello, recordaremos los volúmenes de sólidos sencillos como cilindros y prismas.

A c h h r b a Cilindro circular Cilindro Recto Paralelepípedo V = r2h Rectangular V = abc r h Cilindro circular V = r2h A h Cilindro Recto V = Ah El volumen de un sólido cualquiera podrá descomponerse en la suma de volúmenes de sólidos elementales como los anteriores

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN Sólido de revolución es el que se obtiene al girar una región del plano alrededor de una recta del plano llamada eje de revolución.

Diferencial de volumen MÉTODO DEL DISCO Diferencial de volumen ∆xi f(xi) a xi b xi y=f(x) f(xi)

TEOREMA Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y f(x) ≥ 0 en [a, b]. El volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje X la región limitada por la curva y= f(x), las rectas x=a, x=b y el eje X es:

Ejemplo 1: Calcule el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región acotada por la curva y = x2 y las rectas x = 1, x = 2, y = 0.

Ejemplo 2: Calcule el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y + x2 – 2 = 0, x = 0, y = 0, y = 1. y

3. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al girar la región R, alrededor del eje y.

Del ejemplo anterior se desprende lo siguiente: El volumen obtenido al girar la región limitada por la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c, y = d (c<d), alrededor del eje Y será igual a:

Diferencial de volumen MÉTODO DE LA ARANDELA Cuando la región a girar está limitada por dos funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas x=a y x=b. Diferencial de volumen f(xi) g(xi) xi a b x y x (*)

TEOREMA Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] tales que f(x) ≥ g(x) para toda x en [a, b]. El volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje X la región limitada por f(x), g(x) y las rectas x=a y x=b será:

Ejemplo 4: Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X la región acotada por la parábola y = x2 + 1 y la recta y = x + 3.

Ejemplo 5

Ejemplo 6: Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por las curvas x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.

Cálculo de volúmenes de sólidos que no son de revolución El diferencial de volumen A(xi) xi xi x A(xi) A(a) A(b) a b xi Vi = A(xi) xi

El volumen del sólido será aproximadamente: Se define el volumen V como el límite de la suma de Riemann

Ejemplo 7: Calcular el volumen de una esfera de radio R. x y R

Ejemplo 8: Utilice la definición anterior para calcular el volumen de una pirámide de altura h y base cuadrada de lado b. h b yi

MÉTODO DE LOS CASCARONES CILINDRICOS Ejemplo 9: Halle el volumen del sólido que se obtiene al girar la región limitada por y=0, y=2x2 - x3, alrededor del eje y.

MÉTODO DE LOS CASCARONES CILINDRICOS En algunos casos se desea calcular el volumen de una región limitada por una función y = f(x) al girar alrededor del eje y, para lo cual se deben hallar los extremos locales de f(x) y despejar x en términos de y (x=g(y)). Esto muchas veces es muy complicado por lo que se usará otro método: los cascarones cilíndricos. ¿Cómo escogería el elemento diferencial de volumen?

Diferencial de volumen xi xi f(xi) xi xi f(xi) Para espesores lo suficientemente pequeños, el volumen será igual a:

TEOREMA Sea f una función continua en el intervalo [a, b]. Suponga que f(x) ≥ 0 para toda x en [a, b], si la región limitada por la curva y = f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b gira alrededor del eje Y, el volumen obtenido será:

Ejemplo 10: Determine el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje Y la región limitada por la curva y = 3x – x3, el eje Y y la recta y = 2.

Ejemplo 11: La región limitada por la curva y = x2, las rectas y = 1 y x = 2 se gira alrededor de la recta y = - 3. Calcule el volumen generado. y = -3