PROF: JAIME QUISPE CASAS I.E.P.Nº 2874 Ex 451 2013 ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA PROBLEMAS RESUELTOS PROF: JAIME QUISPE CASAS I.E.P.Nº 2874 Ex 451 2013

Problema Nº 01 A 70° X P B Resolución Calcule la medida del ángulo “X”. 70° B A X P Resolución

Medida del ángulo inscrito: RESOLUCIÓN 70° B A X P C 140º Medida del ángulo inscrito: mAB=140º También se resuelve : Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: X = 40º 140º + x = 180º Resolviendo:

Problema Nº 02 Calcular la medida del ángulo “x” B A X P 130º Resolución

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: B A X P 130º C RESOLUCIÓN 260º Medida del ángulo inscrito: mAB = 260º En la circunferencia: 260º + mACB = 360º mACB = 100º Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: mACB + x = 180º X = 80º

Problema Nº 03 2 B A C 5 Resolución Calcule el perímetro del triángulo ABC. 2 5 A B C Resolución

a b 2 (1) (2) RESOLUCIÓN B A C 5 p = 24 Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) (1) a + b = 14 (2) Luego el perímetro: p = a + b + 10 = 14 + 10 p = 24 Reemplazando (1) en (2) p = 14 + 10

Problema Nº 04 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular mQPR . PLANTEAMIENTO Q a P 80º X R S Resolución

RESOLUCIÓN X Q R S 80º P a En la circunferencia: 2a + 80º = 360º a = 140º Medida del ángulo exterior: X = 30º

Resolviendo la ecuación: Problema Nº 05 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ. RESOLUCIÓN Por ángulo semi-inscrito PQS SPQ = x Se traza la cuerda SQ Q P Reemplazando: R S 70º+x 50° 2X En el triángulo PQS: X + (X+70) + 50° = 180° X Resolviendo la ecuación: 140° X = 30°

Problema Nº 06 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR. RESOLUCIÓN En el triángulo rectángulo RHS PSQ = x m  S = 70º R Q Por ángulo inscrito mQR = 140° H S 70° 140° Es propiedad, que: X P 20° 140° + X = 180° Resolviendo: X = 40°

Medida del ángulo interior Medida del ángulo exterior Problema Nº 07 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º. RESOLUCIÓN Medida del ángulo interior APD = x A C B D mBC = 50° Medida del ángulo exterior 130° 50° x P Resolviendo: X = 40°

Problema Nº 08 En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la mAPN. RESOLUCIÓN Se traza el radio OM: APN = x M N Dato: OM(radio) = PM Luego triángulo PMO es isósceles 54° Ángulo central igual al arco o x x A B x P Medida del ángulo exterior Resolviendo: X = 18°

Problema Nº 09 En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la mPRQ. RESOLUCIÓN Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: A B C PRQ = x 70° 70° + mPQ = 180° mPQ = 110° 110° P Q R Medida del ángulo inscrito: x Resolviendo: X = 55°

Problema Nº 10 En un cuadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR P Q R S PLANTEAMIENTO 3 2 Resolución

RESOLUCIÓN Dato: a a + b + c + d = 22cm b c d Teorema de Poncelet: Q R S 2 3 RESOLUCIÓN Dato: a + b + c + d = 22cm a b c d Teorema de Poncelet: PQR  a + b = PR+2(3) + PSR  c + d = PR+2(2) a +b + c + d = 2PR + 10 22 = 2PR + 10 PR = 6cm