Ing. Antonio Crivillero Análisis Matemático - Integral Definida - Ing. Antonio Crivillero

Arquímedes de Siracusa (c. 287 a. C. – c. 212 a. C Arquímedes de Siracusa (c. 287 a. C. – c. 212 a. C.) matemático griego, físico, ingeniero, inventor y astrónomo.

Sir Isaac Newton, (4 de enero, 1643 NS – 31 de marzo, 1727 NS) científico, físico, filósofo, inventor, alquimista y matemático inglés. Gottfried Wilhelm von Leibniz (1 de julio de 1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716) filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (17 de septiembre de 1826 - 20 de junio de 1866) matemático alemán que realizó contribuciones muy importantes en análisis y geometría diferencial.

Problema de Cinemática Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante t es v(t) = t2 - 2t metros por segundo. Halle: a) El desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos. b) La distancia recorrida durante ese tiempo. Modelo Matemático v(t) = t2 - 2t

Recinto de Ordenadas a b x y R

x y x y

Propiedades del área 1 Si R es un punto o una curva, entonces a(R) = 0 2 Si R1 y R2 son recintos planos congruentes, entonces a(R1) = a(R2). 3 Si R1 y R2 son recintos planos cuya intersección tiene área nula, entonces 4

5 6 Si R1 y R2 son recintos planos cualesquiera entonces: Si , entonces 6

La función área, que cumple las condiciones pedidas, se obtiene mediante la integral definida de funciones integrables en intervalos cerrados. a b x y R M m Vamos a considerar una función f(x) ACOTADA NO NEGATIVA en [a,b]. Llamaremos a R a la región dada por:

y y x x Sumas Inferiores y Sumas Superiores x y x y El intervalo [a,b] queda dividido en n subintervalos , Con i=1,2,3,…,n. Donde es la longitud del intervalo i-ésimo. (Nº Real Positivo)

x y x y M M m m M m

Llamaremos SUMA INFERIOR correspondiente a la partición P. Llamaremos SUMA SUPERIOR correspondiente a la partición P.

x y x y x y x y Propiedades de las sumas Superiores e Inferiores. Lema 1: x y x y Lema 2: Sean P y Q particiones del intervalo [a,b] y si x y x y

y y x x Lema 3: Sean P y Q dos subdivisiones cualquiera: x y Si denotamos por P al conjunto de particiones de [a,b]:

y y x x y y x x Propiedades de las sumas Superiores e Inferiores. Lema 1: y y x x Lema 2: Sean P y Q particiones del intervalo [a,b] y si y y x x

y y x x Lema 3: Sean P y Q dos subdivisiones cualquiera: x x Si denotamos por P al conjunto de particiones de [a,b]:

y y x x y y x x Propiedades de las sumas Superiores e Inferiores. Lema 1: y y x x Lema 2: Sean P y Q particiones del intervalo [a,b] y si y y x x

y y x x Lema 3: Sean P y Q dos subdivisiones cualquiera: x x Si denotamos por P al conjunto de particiones de [a,b]:

Entonces: El área de la región a(R)= = Integral Inferior de f en [a,b] Integral Superior de f en [a,b] Si: = Entonces: El área de la región a(R)= =

Definición: Sea f:[a,b]→R ACOTADA, diremos que f es INTEGRABLE sobre [a,b] si y sólo si En este caso se denota: Se dice que este NUMERO es la INTEGRAL DEFINIDA de f sobre [a,b] según Riemann.

Teorema: Condición Necesaria y Suficiente para la existencia de: Si la función f esta ACOTADA y DEFINIDA sobre [a,b], → f es INTEGRABLE sobre ese intervalo si y sólo y si P de [a,b] tal que: Teorema: Condición Suficiente para la existencia de: Si f :[a,b]→ R es continua, entonces f es INTEGRABLE sobre [a,b]

Propiedades Básicas de la Integral Definida 1 Si y f es integrable en [a,b] entonces f es integrable en [a,c] y en [c,b] y 2 Si f es integrable en [a,b] y c es una constante, entonces cf es integrable en [a,b] y 3 Si f y g son integrables en [a,b] entonces f+g es integrable en [a,b] y 4 Si f y g son integrables en [a,b] y para todo , entonces 5 Si f es integrable en [a,b], entonces | f | es integrable en [a,b] y 6

y f(c) a c b x Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral (Para funciones continuas) Si es CONTINUA en [a,b] c donde: f(c)= Valor Medio de f(x) en (a,b). y f(c) a c b x

y M K=f(c) K m a c b x Demostración Por el segundo teorema de Weiestrass: Si f (x) es una función CONTINUA en un intervalo [a,b] →alcanza en dicho intervalo un Máximo (M) y un mínimo (m) absolutos. K=f(c) K m Como f (x) es CONTINUA es INTEGRABLE (propiedad) a c b x Como (b-a) > 0 Si: en [a,b] Interpretación geométrica: → Por el Teorema del Valor Intermedio. a(R) Area

y A A 1 F(x) x a x b 1 b Función Integral Función Integral a x b 1 b Función Integral Propiedades:

y x a x x b Teorema Fundamental del Cálculo Integral Si continua en [a,b], La función integral es DERIVABLE. y x a x x b

y f(c) x a c b Demostración: Reemplazando en (1) a b x y f(c) Reemplazando en (1) c Por el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral:

a b x y c f(c) La función F(x) es PRIMITIVA de f(x) a b x y c f(c) La función F(x) es PRIMITIVA de f(x) Si G(x) es otra primitiva de f(x) → F(x) = G(x) + c En Particular: F(a) = 0 = G(a)+c ; c = -G(a) F(x) = G(x) – G(a)

Regla de Barrow G(x) una PRIMITIVA de f(x) Demostración: Sea f(x) CONTINUA en [a,b], G(x) una PRIMITIVA de f(x) Demostración:

Problema de Cinemática Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante t es v(t) = t2 - 2t metros por segundo. Halle: a) El desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos. b) La distancia recorrida durante ese tiempo. Modelo Matemático v(t) = t2 - 2t

a) El desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos. = = = 0 Esto significa que el objeto se encuentra en la misma posición en el instante t = 3 que en el instante t = 0.

b) La distancia recorrida durante ese tiempo. La velocidad puede escribirse como v(t) = t ( t - 2) de modo que si y la velocidad es negativa si . La distancia recorrida es: = = = Distancia recorrida= = 8/3 Podemos asegurar que la distancia recorrida es de 8/3  metros.

Bibliografía: RABUFFETTI, H. – Introducción al Análisis Matemático (Cálculo 1) – 10º Edición – Editorial “El Ateneo” – Buenos Aires – Argentina – 1987. STEWART, J. – Cálculo – Trascendentes Tempranas – 4º Edición – Editorial “Thomson” – Mexico – 2002. PURCELL, E., VARBERG, D. – Cálculo con Geometría Analítica – 6º Edición – Editorial “Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.” – Mexico – 1992. VERA DE PAYER, E. y Otros – Matemática I para Ciencias Naturales – 3º Edición – Editorial “Universitas” – Córdoba – Argentina – 2005.

y K x a c b Teorema del Valor Intermedio f(a) < K < f(b) c Sea f(x) continua en [a,b] con Si K es un número estrictamente comprendido entre f(a) y f(b) f(a) < K < f(b) c y K x a c b

M m x a b Teorema de Weierstrass (2do Teorema) Si f(x) es una función CONTINUA en [a,b] alcanza en dicho intervalo su valor MÁXIMO (M) MÍNIMO (m) absolutos M m x1 x2 x a b