Teorema del Residuo y Teorema del Factor

Teorema del Residuo: El residuo de la división del polinomio P(x) entre el binomio x - c es P(c). Es decir el residuo se obtiene sustituyendo el valor de “c” en el polinomio.

Ejemplo: Determine el residuo de la división de P(x) = x3 - 3x2 + x + 5 entre x - 2. De acuerdo con el teorema del residuo: R = P(2) = (2)3 – 3(2)2 +(2) +5 = 8 – 12 +2 +5 = 3 Comprobando por división sintética: 2| 1 -3 1 5 2 -2 -2 ------------------ 1 -1 -1 | 3  Residuo

Teorema del Factor: Si el residuo de la división del polinomio P(x) entre el binomio x - c es 0, entonces x – c es un factor de P(x). Se busca el residuo, empleando el teorema del residuo o la división sintética, si su valor es 0, entonces el binomio x – c es un factor de P(x).

Ejemplo: Determine si x + 1 es un factor del polinomio P(x) = 2x3 + x2 + 3x + 4 Buscamos el residuo: Por el teorema del residuo: R = P(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 +3(-1) +4 = -2 + 1 - 3 + 4 = 0 x + 1 es factor. Por división sintética: -1| 2 1 3 4 -2 1 -4 -------------------- 2 -1 4 |0  Residuo x + 1 es factor

Ejercicio: Halle una ecuación polinómica de grado 3, con coeficientes enteros, que tenga como raíces o soluciones a: -1, 3 y -2. Seleccionamos una variable que puede se la x. Se cumple que x = -1, x = 3, x = -2 son soluciones de la cuación. Planteamos entonces x + 1 = 0 , x – 3 = 0 , x + 2 = 0 y escribimos la ecuación en forma factorizada ( x + 1 ) ( x – 3 ) ( x + 2 ) = 0 resolvemos ( x2 – 2x – 3 ) ( x + 2 ) = 0 x3 + 2 x2 – 2 x2 – 4 x – 3x – 6 = 0 x3 – 7 x – 6 = 0 Ecuación pedida. Si hay coeficientes fraccionarios, se multiplica toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones. Si una raíz o solución es doble se pone el factor elevado al cuadrado.

Ejercicio: Resuelva la ecuación x3 – 4 x2 + x + 6 = 0 sabiendo que -1 es una raíz o solución. Efectuamos la división sintética de P(x) = x3 – 4 x2 + x + 6 entre x + 1 1 | 1 - 4 1 6 Escribimos: - 1 5 - 6 x3 – 4 x2 + x + 6 = ( x + 1 ) ( x2 – 5 x + 6 ) 1 - 5 6 | 0 | = 0 ( Dividendo = divisor x cociente + residuo ) entonces x2 – 5 x + 6 = 0 y resolvemos ya sea factorizando o por la fórmula cuadrática. En este caso factorizamos: ( x – 2 ) ( x - 3 ) = 0 ; x = 2 , x = 3. Conjunto solución: S = { - 1, 2, 3 }