@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT1 Tema 2 ECUACIONES Y SISTEMAS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT1 Tema 2 ECUACIONES Y SISTEMAS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT2 Tema 2.1bis * 1º BCT POLINOMIOS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT3 DIVISIÓN DE POLINOMIOS DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS Las reglas operativas son : 1. ‑ Reducir dividendo y divisor. 2. ‑ Ordenador dividendo y divisor de forma decreciente. 3. ‑ Si el dividendo es incompleto, dejar huecos. 4. ‑ Aplicar el algoritmo correspondiente para dividir. 5. ‑ Terminar cuando el grado del resto sea menor que el grado del divisor. 6.- Comprobar el resultado,pues siempre se cumplirá: D(x) = d(x).c(x) + r(x). El resultado de dividir monomios o polinomios entre sí no siempre va a ser un monomio o un polinomio.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT4 EJEMPLO DE DIVISIÓN DE POLINOMIOS Dividir (x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5) entre (x 2 + 5) Dividendo y divisor deben estar reducidos y ordenados decrecientemente. x 3 + 4.x 2 - 2.x + 5 x 2 + 5 - x 3 - 5.x x + 4 4.x 2 - 7.x + 5 - 4.x 2 - 20 - 7.x - 15 Como el resto ( -7.x – 15) es de grado menor que el dividor (x 2 + 5) se habrá terminado la división. C(x) = x+4 y R(x) = - 7.x – 15 Se puede comprobar que D(x) = d(x).C(x)+R(x)

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT5 Cuando se trate de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x - a), siendo a un número, la división de puede realizar de una forma más rápida y precisa: 1. ‑ Se reduce el dividendo. 2. ‑ Se ordena el dividendo forma decreciente. 3. ‑ Si el dividendo es incompleto, poner ceros. 4. ‑ Se colocan en fila los coeficientes del dividendo, incluidos los ceros. 5.-Se coloca a la izquierda el valor del número a. 6.-Se aplicar el algoritmo correspondiente de Ruffini. 7. ‑ Los números obtenidos son los coeficientes del cociente, salvo el último que es el resto de la división. 8.-Se puede comprobar el resultado, pues siempre se cumplirá: D(x) = d(x).c(x) + r(x). Regla de Ruffini

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT6 EJEMPLO 1 Realiza la siguiente división: Sea ( x 3 + 4.x 2 - 5 ) : ( x - 3 ), donde a = 3 1 4 0 - 5 + 3 3 21 63 1 7 21 58 C(x) = 1.x 2 + 7.x + 21 R(x) = 58 Podemos comprobar la división: (x 3 + 4.x 2 - 5) = (x - 3).(x 2 + 7.x + 21) + 58

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT7 EJEMPLO 2 Realiza la siguiente división: Sea ( x 3 + 4.x 2 - 5 ) : ( x + 5 ), donde a = - 5 1 4 0 - 5 + - 5 - 5 5 - 25 1 - 1 5 - 30 C(x) = 1.x 2 - 1.x + 5 R(x) = - 30 Podemos comprobar la división: (x 3 + 4.x 2 - 5) = (x + 5 ).(x 2 - x + 5) + (- 30)

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT8 EJEMPLO 3 Realiza la siguiente división: Sea ( 4.x 3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ), donde a = - 2 4 0 5 - 3 + - 2 - 8 16 - 42 4 - 8 21 - 45 C(x) = 4.x 2 - 8.x + 21 R(x) = - 45 Podemos comprobar la división: ( 4.x 3 + 5.x - 3 ) = ( x + 2 ).(4.x 2 - 8.x + 21) + (- 45)

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT9 EJEMPLO 3 Sea ( x 3 + 5.x - 3 ) : ( 2.x – 1) Como el divisor no es de la forma (x – a) se divide todo entre 2: Queda ( 0,50.x 3 + 2,50.x – 1,5 ) : ( x – 0,50) 0,50 0 2,50 - 1,50 + 0,50 0,25 0,125 1,3125 0,50 0,25 2,625 - 0,1875 C(x) = 0,50.x 2 - 0,25.x + 2,625 R(x) = - 0,1875 Podemos comprobar la división: D(x) = d(x).C(x) + R(x)

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT10 Método escalonado de Ruffini 1 3 0 - 4 + 1 1 4 4 1 4 4 0 - 2 - 2 - 4 1 2 0 - 2 - 2 1 0 Sea P(x) = x 3 + 3. x 2 - 4 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1, 2, - 2, 4, - 4}, Dividimos P(x) entre (x – 1) P(x) = (x – 1).(x 2 + 4.x + 4) Como el resto es 0, podemos seguir dividiendo entre (x+2) P(x) = (x – 1).(x + 2).(x + 2) Como el resto vuelve a ser 0, seguimos dividiendo entre (x+2) P(x) = (x – 1). (x + 2).(x + 2)

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT11 Tema 2.2 * 1º BCT FACTORIZACIÓN

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT12 TEOREMA DEL RESTO RAÍZ de un polinomio son todos los valores de x que al ser sustituidos el valor numérico del polinomio es cero. Cumplen la ecuación: P(x)=0 TEOREMA DEL RESTO El resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x ‑ a), es el valor del polinomio al sustituir la variable x por el valor de a. Si el binomio es de la forma (x + a), sustituiremos la x por ‑ a. Si el resto es cero, la división es exacta y el valor de a se dice que es una raíz del polinomio. Si un polinomio es de grado n, tendrá como máximo n raíces reales. Si un polinomio es de grado impar tendrá obligatoriamente una raíz real. Si es de grado par tendrá 0, 2, 4, … raíces reales.

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT13 EJEMPLO_1 Ya hemos visto al hacer la división: ( x 3 + 4.x 2 - 5 ) : ( x - 3 ), que el resto es 58 Veamos aplicando el Teorema del resto: P(a)=P(3)= 3 3 + 4.3 2 - 5 = 27 + 36 – 5 = 58 EJEMPLO_2 Ya hemos visto al hacer la división: ( x 3 + 4.x 2 - 5 ) : ( x + 5 ), que el resto es – 30 Veamos aplicando el Teorema del resto: P(a)=P(-5)= (-5) 3 + 4.(-5) 2 - 5 = -125 + 100 – 5 = - 30 EJEMPLO_3 Ya hemos visto al hacer la división: ( 4.x 3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ), que el resto es – 45 Veamos aplicando el Teorema del resto: P(a)=P(-2)= 4.(-2) 3 + 5.(-2) - 3 = - 32 – 10 – 3 = - 45