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Operaciones con Polinomios
LIC. MAT. HELGA KELLY QUIROZ CHAVIL
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Operaciones con Polinomios
Suma: Reducción de Términos semejantes División: Algoritmo de la división Leyes de los exponentes Leyes de los signos Operaciones con Polinomios Multiplicación Propiedad distributiva Leyes de los exponentes Leyes de los signos Resta: Signo “–” precediendo un signo de agrupación Reducción de términos semejantes
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Suma y resta de Polinomios
La suma o la resta de dos monomios con grados distintos es un binomio. La suma o la resta de tres monomios con grados distintos es un trinomio. Para sumar polinomios tenemos que asociar términos semejantes y sumar o restar sus coeficientes.
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Ejemplos: Sean los siguientes polinomios P(x) = 7x2 – 5x4 +3x – 15 y Q(x) = 5x3 – 7 + 9x2 – 6x Hallar P(x)+Q(x) 2P(x)+3Q(x) P(x)-5Q(x)
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Ejemplos: Calcular: (8x2 – 2x + 1) – (3x2 + 5x – 8) =
(2x3 – 3x2 + 5x – 1) – (x2 + 1 – 3x) = (7x4 – 5x5 + 4x2 –7) + (x3 – 3x2 – 5 + x) – (–3x4 + 5 – 8x + 2x3) =
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Multiplicación de Polinomios
Multiplicación de expresiones algebraicas Se cumple la ley conmutativa que dice que el orden de los factores no altera el producto: a x b = b x a También se cumple la ley distributiva: a x b x c = a (b x c) = c (a x b)
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Ley de los signos El producto de términos con signos iguales da como resultado otro término con signo positivo, y el producto de términos con signos diferentes da como resultado otro término con signo negativo.
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Multiplicación de monomios por polinomios
Para multiplicar monomios por polinomios se aplica la ley distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o la resta Ejemplo: Multiplicar: 6 𝑥 3 (4 𝑥 3 + 6𝑥 2 − 𝑥 5 +1/2 𝑥 4 )= 3x4 ( 5x3 - 2x + 2x2 – x + 3)=
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Multiplicación entre polinomios
Para multiplicar dos polinomios se ordena el polinomio multiplicando y se efectúan los productos entre todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, se tiene en cuenta la ley de los signos y se reducen los términos semejantes. Ejemplos : Multiplicar (6x-4y)(5x+3y) (6 𝑥 3 +4 𝑥 2 + 𝑥)(6𝑥 2 − 𝑥 5 +2 𝑥 4 )=
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Casos particulares: a) Cuadrado de un binomio: Cubo de un binomio:
c) Suma por diferencia de binomio
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División de polinomios por monomios
Ejemplos: Dividir: (6 𝑥 6 −4 𝑥 5 +6𝑥 4 −8 𝑥 3 +2 𝑥 2 )≑2 𝑥 2 (12 𝑥 7 − 24𝑥 6 −6𝑥 4 +4 𝑥 3 +16𝑥)≑4 𝑥 2 (3/2 𝑥 6 −1/3 𝑥 𝑥 4 −18 𝑥 6 −9 𝑥 3 )≑3 𝑥 3
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División entre polinomios
Ejemplos: Resolver la división de polinomios: P(x) = 4x3 −8x - 4 Q(x) = 4 x + 4
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Ejemplos: Resolver la división de polinomios:
(6x5 + 2x4 – 23x3 + 11x2 + 12x – 3) : (3x3 – 5x2 + 3) (4x3 – 2x2 + 8x – 4) : (2x2 – 4x + 1) (x3 – x2 – x – 2) : (x2 + x + 1) (6x3 – 5x2 + x) : (2x – 1)
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TEOREMA DEL RESTO Si C(x) es el cociente y R(x) el resto de la división de un polinomio cualquiera P(x) entre el binomio (x – a), aplicando el algoritmo de la división: P(x) = C(x) · (x – a) + R(x) Luego, el valor numérico de P(x), para x = a, es igual al resto de su división entre x – a, es decir: P(a) = C(a) · (a – a) + R(a) = R(a)
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Ejemplos: Calcular el resto de x5 + 3x4 – 2x3 + 4x2 -2x +2 entre x+3
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Ejemplos: Hallar el resto utilizando el teorema:
(x4 – 16) : (x – 2) = (–x2 + x + 1) : ( (x + 3) = (x5 + x – 2x3) : (x – 1) = 2. Hallar el valor de m y n para que el polinomio P(x) = 𝑥 3 +𝑚 𝑥 2 +𝑛𝑥+6 sea divisible por (x + 3) y por (x – 2).
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Métodos de Factorización
Factor común de dos o más términos El factor común de dos o más términos es el término formado por el mcd de los coeficientes numéricos de los términos y las potencias de menor exponente de las literales comunes a todos ellos. Ejemplo: Factorizar el polinomio:
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Ejemplos: Factorizar: (x5 y+ 2x3 y – 8)
(6x5 y4 – 24x3 y2 + 12x 𝑦 3 – 3 𝑥 5 𝑦 6 ) (16x8 y5 – 24x4 y3 + 44x 𝑦 6 – 40 𝑥 4 𝑦 8 ) (25x5 y5– 20x3 y8 + 35x 𝑦 5 – 45 𝑥 8 𝑦 7 )
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ASPA SIMPLE Es un método que permite factorizar trinomios de la forma ax2 +bxy +cy2 Cuya solución es:
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Ejemplos: Resolver: x2 + 5x + 6 x2 -7x -8 x2 +9x + 10
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Se utiliza para factorizar polinomio de la forma Ejemplo: Factorizar:
MÉTODO DEL ASPA DOBLE Se utiliza para factorizar polinomio de la forma Ejemplo: Factorizar:
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Método de Paolo Ruffini
Ejemplo: Factorizar Solución: Divisores del término independiente Posibles “ceros”: , + 2, + 4 Se anula para x=1 entonces x-1 es el factor
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Teorema fundamental del álgebra
Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces reales e imaginarias Cálculo de raíces de un polinomio Recordamos que un número a es raíz de un polinomio, si el polinomio se anula para ese valor, o sea, P(a)=0
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Cálculo de la raíz de un polinomio de grado 1
Se calcula de la siguiente manera: Ejemplo: Hallar la raíz del polinomio
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Cálculo de las raíces de un polinomio de grado 2
Sus raíces x1 y x2 se obtienen igualando a cero el polinomio de forma aplicando la fórmula tenemos :
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Ejemplos: Dado el polinomio hallar sus raíces Solución: .
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Ejemplos Resolver:
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Ecuaciones e Inecuaciones
Ecuaciones de primer grado Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas. Ejemplo: 7 (x + 1) – 4 (x + 3) = x – 9
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Ejemplo: Resuelve las siguientes ecuaciones:
9x – x – 16 = 4 3 · (x – 2) + 9 = 0 8x + 7 – 2x + 5 = 4x + 12 – (x – 30)
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Ecuaciones Fraccionarias
Ejemplos: Resolver: a) c) d)
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Ecuaciones de Segundo Grado:
Es aquella ecuación polinomial que se reduce a la forma general: ax2 + bx + c = 0 ; a0 La ecuación de 2do Grado posee dos “raíces” que cumplen con la ecuación.
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Ejemplos: Hallar sus raíces 𝑥 2 – 25 = 0 𝑥 2 + 3x = 0 𝑥 2 – 6x + 5 = 0
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Intervalos Intervalo abierto
Intervalos abierto (a,b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b (a,b)={x ∊R/a‹x‹b} a b
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Intervalo Cerrado Intervalo cerrado [a,b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores iguales que b. [a,b]={x ∊R/a≤x≤b} a b
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Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a,b], es el conjunto formado de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b (a,b] = {x ∊R/a ‹ x ≤ b} a b
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Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a,b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b [a,b) = ]={x ∊R/a ≤ x ‹ b} a b
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Semirectas •Intervalo infinito abierto por la derecha •Intervalo infinito cerrado por la derecha •Intervalo infinito abierto por la izquierda •Intervalo infinito cerrado por la izquierda
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INECUACIONES LINEALES
Ejemplos: Resolver 3 x – 2 < 1 5 + 3 x 4 - x
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Resolver las siguientes desigualdades
3x – 1 ≤ x+7 13x + 2 ≥ 10x + 35 4x + 24 ≻ 2x + 54 8x + 25 ≥ x – 33 2x + 14 ≤ 3x + 26
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INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Determina la solución de las siguientes inecuaciones cuadráticas: x2 – 1 0 8x2 + 5x 0 x(x – 3) – 2x(x – 2) + 3x < 0
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