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MÉTODOS NUMÉRICOS Raíces de ecuaciones
Rafael Guzmán Cabrera Abril-2009 Campus Irapuato-Salamanca División de Ingenierías.
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Presentación
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Programa de la materia
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Programa…..
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Programa
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Bibliografia
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Ponderación Tareas……………………… 20 %
2 exámenes parciales………40 % (20 % c/u) 1 examen final…………… %
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Políticas *Puntualidad al ingreso a clases.
*La entrega de tareas es obligatoria. Si el alumno no entrega al menos el 95% de los problemas solicitados durante el trimestre, se le descontará 1 punto de la calificación FINAL. *No hay prórroga respecto a la entrega de tareas o a la presentación de cualquier tipo de examen.
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División sintética f(x) x
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Función polinomial Definición La función:
se conoce como función polinomial de n–simo grado. También se hará referencia a P(x) como un polinomio de grado n Los números an, an-1, ..., a1, a0 se llaman coeficientes del polinomio y pueden ser reales o complejos.
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El dominio de la función puede ser el conjunto de los números reales o el conjunto de los números complejos. Las soluciones de la ecuación las llamamos raíces de la función P. Si los coeficientes de la función son reales y la raíz también, tendríamos un cruce por el eje x de la gráfica de la función.
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Raíz = cruce por el eje X f(x) x
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Importancia de los Métodos Numéricos
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Clase1Lb.ppt 14
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Análisis Numérico Una definición de análisis numérico podría ser el estudio de los errores en los cálculos; error aquí no quiere decir, equivocación u omisión, sino más bien una discrepancia entre el valor exacto y el calculado, que es consecuencia de la manera con que se manejan los números o fórmulas.
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Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:
Cálculo de derivadas Integrales Ecuaciones diferenciales Operaciones con matrices Interpolaciones Ajuste de curvas Polinomios Los métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, etc...
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Teorema del Residuo: El residuo de la división del polinomio P(x) entre el binomio x - c es P(c). Es decir el residuo se obtiene sustituyendo el valor de “c” en el polinomio.
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Ejemplo: Determine el residuo de la división de P(x) = x3 - 3x2 + x + 5 entre x De acuerdo con el teorema del residuo: R = P(2) = (2)3 – 3(2)2 +(2) +5 = 8 – = 3 Comprobando por división sintética: | | 3 Residuo
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Teorema del Factor: Si el residuo de la división del polinomio P(x) entre el binomio x - c es 0, entonces x – c es un factor de P(x). Se busca el residuo, empleando el teorema del residuo o la división sintética, si su valor es 0, entonces el binomio x – c es un factor de P(x).
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Ejemplo: Determine si x + 1 es un factor del polinomio
P(x) = 2x3 + x2 + 3x Buscamos el residuo: Por el teorema del residuo: R = P(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 +3(-1) +4 = = 0 x + 1 es factor. Por división sintética: -1| |0 Residuo x + 1 es factor
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Ejercicio: Halle una ecuación polinómica de grado 3, con coeficientes enteros, que tenga como raíces o soluciones a: -1, 3 y -2. Seleccionamos una variable que puede se la x. Se cumple que x = -1, x = 3, x = -2 son soluciones de la cuación. Planteamos entonces x + 1 = 0 , x – 3 = 0 , x + 2 = 0 y escribimos la ecuación en forma factorizada ( x + 1 ) ( x – 3 ) ( x + 2 ) = 0 resolvemos ( x2 – 2x – 3 ) ( x + 2 ) = 0 x3 + 2 x2 – 2 x2 – 4 x – 3x – 6 = 0 x3 – 7 x – 6 = 0 Ecuación pedida. Si hay coeficientes fraccionarios, se multiplica toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones. Si una raíz o solución es doble se pone el factor elevado al cuadrado.
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Ejercicio: Resuelva la ecuación x3 – 4 x2 + x + 6 = 0 sabiendo que -1 es una raíz o solución.
Efectuamos la división sintética de P(x) = x3 – 4 x2 + x entre x + 1 1 | Escribimos: x3 – 4 x2 + x + 6 = ( x + 1 ) ( x2 – 5 x + 6 ) | 0 | = 0 ( Dividendo = divisor x cociente + residuo ) entonces x2 – 5 x + 6 = 0 y resolvemos ya sea factorizando o por la fórmula cuadrática. En este caso factorizamos: ( x – 2 ) ( x - 3 ) = 0 ; x = 2 , x = 3. Conjunto solución: S = { - 1, 2, 3 }
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Ejemplo: Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir : – – 5 20 110 520 2575 4 22 104 515 2576
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Ejercicios
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