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Ecuaciones Cuadráticas
COLEGIO PARROQUIAL MIXTO “SAN PEDRO CHANEL” SOCIEDAD DE MARIA (PADRES MARISTAS) SULLANA Ecuaciones Cuadráticas Por: Jhony Sandoval Juárez Especialidad: Matemática 4to “B”
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DEFINICION: Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma , donde a, b, y c son números reales y a es diferente de cero EJEMPLOS a = 9, b = 6, c = 10 a = 3, b = -9, c = 0 a = -6, b = 0, c = 10 La ecuación se llama completa cuando tiene los tres términos a, b y c, es decir cuando estos términos son distintos de cero. La ecuación es incompleta si faltan las constante “b” ó “c”. Pero sí b=0, la ecuación recibe el nombre de ecuación pura.
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Una ecuación cuadrática gráficamente representa una parábola.
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FORMAS DE SOLUCIONAR UNA ECUACION CUADRÁTICA
Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: 1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrados 3. Fórmula Cuadrática
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Factorización Simple: La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación a = 1 b = 2 c = - 8 (x ) (x ) = 0 ( x + ) (x - ) = 0 4 y –2 = 2 4 · -2 = -8 (x + 4 ) (x – 2) = 0 x + 4 = 0 x – 2 = 0 x + 4 = 0 x – 2 = 0 x = 0 – 4 x = x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.
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Completando Cuadrados: En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Para lograrlo hay que dividir a toda la ecuación por el valor de a así: Luego pasamos al otro miembro el valor de c/a y a la ecuación restante le sumaremos a ambos miembros el valor de: Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: Ahora, a= 1.
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Ahora la nueva ecuación será: Donde, a= 1, b= 3 y c= -2.
Luego: Le sumamos a ambos miembros el (b/2)2 Finalmente la ecuación quedará:
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METODO DE LA FORMA GENERAL O CUADRÁTICA
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: Ejemplo: X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8 x = -2 ± 6 2 X = x = 2 2 x = 4 x = -8 2 2 x = 2 x = - 4
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EL DISCRIMINANTE Se concluye lo siguiente:
Como se vio anteriormente para resolver una ecuación cuadrática disponemos de la siguiente fórmula general Si llamamos D al discriminante de esta ecuación. Se concluye lo siguiente: D>0 La ecuación tiene 2 soluciones reales diferentes D=0 La ecuación tiene 2 soluciones reales iguales D<0 La ecuación tiene 2 soluciones complejas
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Ecuaciones cuadráticas: PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
En una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a = 0 , se tiene como raíces :
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1 2 La suma de sus raíces ( x1 + x2 ) es igual a :
-b a 1 La suma de sus raíces ( x1 + x2 ) es igual a : Sumando miembro a miembro, se obtiene : El producto de sus raíces ( x1 . X2 ) es igual a : c a 2 Se desarrolla como un binomio suma por su diferencia, por tanto :
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Determinación de la ecuación
Si en la ecuación ax2 + bx + c = dividimos entre “a” la podemos transformar en : x2 –(-b/a)x + c/a = 0 y por tanto reemplazar “–b/a” por la suma y “c/a” por el producto. x2 – (x1+x2) x + (x1. x2) = 0
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1.- Determina ( halla) la ecuación cuadrática cuyas raíces son 5 y -3
EJERCICIOS : 1.- Determina ( halla) la ecuación cuadrática cuyas raíces son y -3 Recordar que la ecuación ax2 + bx + c = 0 se puede transformar en : x2 –(-b/a)x + c/a = x2 – (x1+x2) x + (x1.x2) = 0 Si consideramos a = 1 será b = ( x1+ x2 ) = [ 5 +(-3)] = 2 será c = (x1 . X2 ) = 5 ( -3 ) = - 15 Por tanto, la ecuación será : x2 – 2x – 15 = 0 Es conveniente recordar que en un trinomio como: x2 + 5x + 6 = 0, por la descomposición por método de aspa se cumple que b sale con la suma de factores y c con el producto de los mismos 2.- Determina la ecuación cuadrática cuyas raíces son 3/4 y 1/4 Será b = ( x1 +x2) = ( ¾ + ¼ ) = 4/4 = 1 Será c = (x1 . x2 ) = ( ¾ . ¼) = 3/16 Por tanto la ecuación será : x2 – (1)x + 3/16 = 0 (se reduce a denominador común : x2 – 16x + 3 = 0
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ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRÁTICAS
ECUACIONES RACIONALES FRACCIONARIAS ECUACIONES IRRACIONALES (con RADICALES) ECUACIONES POLINÓMICAS DE LA FORMA ax4 + bx2 + c = 0 (ecuaciones bicuadradas)
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(x – 8) (x + 2) = 0 por tanto x’ = 8 ; x” = -2
Ecuaciones racionales fraccionarias Son ecuaciones que al ser transformadas en otras equivalentes resultan ser cuadráticas. Ejemplo: Determinamos las restricciones Reducimos a denominador común y eliminamos denominadores Multiplicamos, reducimos y factorizamos (x – 8) (x + 2) = 0 por tanto x’ = 8 ; x” = -2 C.S. = { -2 ; 8 }
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E C U A C I O N E S I R R A C I O N A L E S
Son ecuaciones donde la variable está afectada por un radical. Método para resolverlas * Se pasa a un miembro el término en que la incógnita esté bajo radical y al otro los demás términos. * Se elevan ambos miembros al cuadrado con el fin de hacer desaparecer los radicales y luego se procede como en los demás casos. * Se debe comprobar si las raíces halladas satisfacen a la ecuación inicial. EJEMPLO: Se ordena, se factoriza y se hallan las raíces Por tanto: x’ = 25 ; x” = 9 La raíz x” = 9 no satisface la ecuación inicial; se rechaza C.S. = { 25 }
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Otro ejemplo: Ecuación con 2 radicales. Por tanto: x’ = 9 ; x” = 1
Se pasan ambos radicales a un miembro de la ecuación y el resto al otro, para proceder a elevar al cuadrado, y desarrollar. Habiendo quedado radical en el doble producto se repite el mismo proceso: se ordena, se eleva al cuadrado, se resuelve. Por tanto: x’ = 9 ; x” = 1 Al comprobar las raíces en la ecuación original,las 2 sirven.. C.S.={1;9}
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ECUACIONES BICUADRADAS
Son ecuaciones de cuarto grado : ax4 + bx2 + c = 0 ; No contienen más que las potencias pares de la incógnita. Para resolverlas se hace un cambio de variable. El número de soluciones lo determina el grado de la ecuación (4). EJEMPLO : (y - 4)(y - 9) = y resolvemos; por tanto: y = y = 9 Como habíamos hecho x2 = y lo reemplazamos y resolvemos Por tanto : C.S. = {-3; -2; 2; 3 }
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