© GELV AULA 360 Polinomios 1. Adición de polinomios 2. Sustracción de polinomios 3. Multiplicación de polinomios 4. División de polinomios. Regla de Ruffini.

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1 © GELV AULA 360 Polinomios 1. Adición de polinomios 2. Sustracción de polinomios 3. Multiplicación de polinomios 4. División de polinomios. Regla de Ruffini 5. Valor numérico de un polinomio. Teorema del resto 6. Raíces de un polinomio. Teorema del factor 7. Factorización de polinomios 8. Fracciones algebraicas 9. Operaciones con fracciones algebraicas UNIDAD 02 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS

2 © GELV AULA 360 1. Adición de polinomios POLINOMIOS 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de dos o más monomios.

3 © GELV AULA 360 1. Adición de polinomios POLINOMIOS 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS Para sumar polinomios se agrupan los monomios semejantes y se efectúa la operación correspondiente. A (x) = –x 4 + 7x 3 + x 2 – 3 B (x) = – 2x 3 – 2x 2 – 5x + 6 A (x) + B (x) = (–x 4 + 7x 3 + x 2 – 3) + (–2x 3 – 2x 2 – 5x + 6) = = –x 4 + 5x 3 – x 2 – 5x + 3

4 © GELV AULA 360 1. Adición de polinomios POLINOMIOS 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS Un método sencillo para sumar dos o más polinomios es colocarlos uno debajo de otro A (x) = –x 4 + 7x 3 + x 2 – 3 + B (x) = –2x 3 – 2x 2 – 5x + 6 A (x) + B (x) = –x 4 + 5x 3 – x 2 – 5x + 3

5 © GELV AULA 360 2. Sustracción de polinomios POLINOMIOS 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS Para restar dos polinomios se suma el primero con el opuesto del segundo. A (x) – B (x) equivale a A (x) + [– B (x)] A (x) – B (x) = (–x 4 + 7x 3 + x 2 – 3) + [– (–2x 3 – 2x 2 – 5x + 6)] = = –x 4 + 7x 3 + x 2 – 3 + 2x 3 + 2x 2 + 5x – 6 = = –x 4 + 9x 3 + 3x 2 + 5x – 9

6 © GELV AULA 360 3. Multiplicación de polinomios POLINOMIOS 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS El producto de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene al multiplicar cada uno de los términos del primero por cada uno de los términos del segundo, agrupando y operando términos semejantes. –x 3 + 3x 2 – 4 × x 2 – x + 3 –3x 3 + 9x 2 – 12 ⇐ 3 · (–x 3 + 3x 2 – 4) + x 4 – 3x 3 + 4x ⇐ –x · (–x 3 + 3x 2 – 4) –x 5 + 3x 4 – 4x 2 ⇐ x 2 · (–x 3 + 3x 2 – 4) –x 5 + 4x 4 – 6x 3 + 5x 2 + 4x – 12

7 © GELV AULA 360 4. División de polinomios POLINOMIOS En la división de dos polinomios A (x) y B (x) se verifica que: Dividendo = Divisor · Cociente + Resto  A (x) = B (x) · C (x) + R (x) 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS C (x) B (x) A (x) R (x)

8 © GELV AULA 360 4. División de polinomios. Regla de Ruffini POLINOMIOS La regla de Ruffini es un algoritmo que permite conocer de forma fácil y rápida los coeficientes del polinomio cociente y el resto. Solo puede aplicarse cuando el divisor es un polinomio de la forma x  a. 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS

9 © GELV AULA 360 4. División de polinomios. Regla de Ruffini POLINOMIOS 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS

10 © GELV AULA 360 5. Valor numérico de un polinomio. Teorema del resto POLINOMIOS El valor numérico de un polinomio es el resultado que se obtiene al sustituir la variable por un número y operar. El valor numérico del polinomio A (x) = 13x 5 + 8x 2 – 3 para x = 2 es: A (2) = 13 · 2 5 + 8 · 2 2 – 3 = 13 · 32 + 8 · 4 – 3 = = 416 + 32 – 3 = 445 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS

11 © GELV AULA 360 Las raíces de un polinomio P (x) son aquellos valores de x para los cuales el valor numérico del polinomio es 0, es decir, P (x) = 0. x = –3 es una raíz del polinomio P (x) = x 2 – x – 12, porque P (–3) = 0. El teorema del factor establece que un polinomio tiene como actor x – a si el valor numérico de ese polinomio para x = a es 0. Un factor del polinomio P (x) = x 2  x – 12 es x + 3 porque P (3) = 0. 6. Raíces de un polinomio. Teorema del factor POLINOMIOS 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS

12 © GELV AULA 360 7. Factorización de polinomios POLINOMIOS La descomposición factorial o factorización de un polinomio es la expresión de ese polinomio como producto de monomios o de polinomios de grado menor e irreducibles. Un polinomio de grado n con coeficiente principal a y con raíces x 1, x 2, x 3, x 4,... x n, tiene la siguiente factorización: P (x) = a (x – x 1 ) · (x – x 2 ) · (x – x 3 ) · … · (x – x n ) 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS

13 © GELV AULA 360 7. Factorización de polinomios. Identidades notables POLINOMIOS 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS  Cubo de la suma de dos monomios: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3  Cubo de la diferencia de dos monomios: (a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3  Suma por diferencia: (a + b) · (a – b) = a 2 – b 2

14 © GELV AULA 360 8. Fracciones algebraicas POLINOMIOS Se llama fracción algebraica al cociente indicado de dos expresiones algebraicas. Dos fracciones algebraicas son equivalentes si toman el mismo valor numérico para todos aquellos valores que no anulan el denominador. 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS

15 © GELV AULA 360 8. Fracciones algebraicas. Simplificación POLINOMIOS Para simplificar fracciones algebraicas se procede del siguiente modo: Se hace la descomposición factorial de los polinomios (utilizando las igualdades notables, sacando factor común, buscando las raíces del polinomio). Se simplifican todos los factores comunes. = = 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS

16 © GELV AULA 360 9. Operaciones con fracciones algebraicas POLINOMIOS 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS Para sumar o restar fracciones algebraicas hay que reducirlas a común denominador y sumar o restar las fracciones resultantes denominadores.

17 © GELV AULA 360 9. Operaciones con fracciones algebraicas POLINOMIOS 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS Para multiplicar fracciones algebraicas se multiplican los numeradores y los denominadores. (x – 2) · (x + 2) (x – 3) · (x – 3)

18 © GELV AULA 360 9. Operaciones con fracciones algebraicas POLINOMIOS 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS Para dividir dos fracciones algebraicas multiplicamos la primera fracción por la inversa de la segunda. : (x – 2) · (x + 2) (x – 3) · (x – 3)

19 © GELV AULA 360 9. Operaciones con fracciones algebraicas POLINOMIOS 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 02 | MATEMÁTICAS Para elevar una fracción a una potencia se elevan el numerador y el denominador a esa potencia.