Polinomios.

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1 Polinomios

2 Trabajo Práctico Nº 6 Polinomios
1) Efectuar P  Q ; P + Q ; P2 – Q e indicar su grado cuando esto sea posible a) P = x2 - 2 Q = - 3 x2 + 6 b) P = x + 2 Q = x2 + 4 x +4 Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 ; ¿qué puede decirse del grado de los siguientes polinomios ? a) P Q b) P3 c) P + Q d) P3 + Q3 Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 3) Determinar a  R para : a) P = a  x3 - a  x + 2 es tal que P(2) = - 1 b) P = x2 + 2  x + a es tal que 0 es una de sus raíces c) P = a  x2 - a  x + 6 satisface que P(-1) = 6 y gr(P) = 2 Glosario Ejercicio Resuelto Ejercicios para Practicar

3 Ejercicios para Practicar
4) Hallar el cociente y el resto de la división de P por Q en cada uno de los siguientes casos : a) b) Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 5) Determinar el valor de k tal que P = 2 x3 + k x2 + 5 x + 3 sea divisible por Q = x2 - x + 3 Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 6) ¿ Para qué valores de a y b el polinomio es divisible por (x + 4) ; y tiene resto al dividirlo por (x - 2) ? Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 7) Determinar a, b, c  R  para que : a) P = a x2 + b x + c tenga a 1 y a 0 como raíces b) P = x2 - b x + a y Q = a x3 – b tengan a 2 como raíz común Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar

4 10) Determinar en cada caso la multiplicidad de  como raíz de P :
8) Hallar todas las raíces de los siguientes polinomios : a) d) b) e) si i es raíz de P c) Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 9) Factorear el polinomio x4 - 4 x3 + 6 x2 - 8 x + 8 sabiendo que x = 2 es una raíz doble. Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 10) Determinar en cada caso la multiplicidad de  como raíz de P : a) P = (x - 1)2  (x2 - 1)  (x3 - 1)  = 1 b) P = x8 - x6 + 6 x3  = 0 Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar

5 Ejercicios para Practicar
11) a) Sea P = 2 x x x - 6 ; hallar todas sus raíces sabiendo que el producto de dos de ellas es 1. b) Dado P(x) = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m  0, determinar m en los siguientes casos i) las raíces son opuestas iii) las raíces son reales e iguales. ii) las raíces son recíprocas c) Hallar las raíces de los siguientes polinomios reales  i) P(x) = 2 x3 - x x + 9 si 1 + 2 = 0 ii) P(x) = x3 + 2 x2 + 3 x + 2 si 1 = 2 + 3 Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar

6 Un polinomio es una expresión de la forma
una sucesión de sumas de términos conformados por un coeficiente ai multiplicado por un factor xi 1 2 3 Podemos escribir donde el coeficiente an se llama coeficiente principal el mayor exponente de x (n), le da el grado al polinomio Si an  0 y aunque alguno(s) –o todos- los coeficientes ai an sean nulos Decimos entonces que el polinomio Faltan los términos de grado 1 y n-1 es de grado n el polinomio es de grado n, pero incompleto P = x3 – 3 x2 + 6 x -1 polinomio completo de grado 3 P = x4 – 3 x2 + 6 x -1 polinomio incompleto de grado 4

7 P = x4 + x3 – 5 x2 + 4 x + 2 R · S = x7 - 5x5 + 9x4 + 6x3 - 21x2 + 18x
La suma de polinomios, se efectúa operando solamente entre términos de igual grado P = x4 – 3 x2 + 6 x –1 Q = x3 – 5 x2 - 2 x + 3 P + Q = ( x4 – 3 x2 + 6 x –1 ) + ( x3 – 5 x2 - 2 x + 3 ) 1 2 3 agrupamos los términos de igual grado de cada polinomio; P + Q = x4 + x3 + ( - 3 x2 – 2 x2 ) + ( 6 x – 2 x ) + ( ) Y luego operamos los términos obtenidos P = x4 + x3 – 5 x2 + 4 x + 2 Para multiplicar dos polinomios, se usa la propiedad distributiva (aplicando la regla de los signos) y luego se resuelven cada uno de los términos que resulten Luego sumamos los términos de igual grado R · S = ( x4 – 3 x2 + 6 x ) · ( x3 - 2 x + 3 ) = = x4 · x3 + x4 · (-2 x) + x4 · 3 + (-3x2) · x3 + (-3x2) · (-2x) + ( -3 x2) · 3 + 6x · x3 + 6x · (-2x) + 6x · 3 = R · S = x7 - 2x5 + 3x4 - 3x5 + 6x3 - 9x2 + 6x4 - 12x2 + 18x = R · S = x7 - 5x5 + 9x4 + 6x3 - 21x2 + 18x

8 1 ) Si a) P = x2 – y Q = - 3 x2 + 6 P  Q = ( x2 – 2 )  ( - 3 x2 + 6 ) = x2  (- 3 x2) + x2  6 + (– 2 )  (-3x2)+ (-2)  6 = grado 4 P  Q = -3 x4 + 6 x2 + 6 x = -3 x x2 - 12 3P  Q = 3  ( x2 – 2 ) + ( - 3 x2 + 6 ) = 3 x2 – x2 + 6 = P2  Q = ( x2 – 2 )2  ( - 3 x2 + 6 ) = ( x4 - 4x2 + 4 )  ( - 3 x2 + 6 ) = = -3x6 + 6x4 + 12x4 - 24x2 - 12x = -3x6 + 18x4 - 36x2 + 24 grado 6 b) P = x Q = x2 + 4 x +4 grado 3 P  Q = ( x + 2 )  ( x2 + 4 x + 4 ) = x3 + 4 x2 + 4 x + 2 x2 + 8 x + 8 = x3 + 6 x x + 8 3P + Q = 3( x + 2 ) + ( x2 + 4 x + 4 ) = (3 x + 6) + (x2 + 4 x + 4) = x2 + 7 x + 10 grado 2 P2  Q = ( x + 2 )2  ( x2 + 4 x + 4 ) = ( x2 + 4 x + 4 )  ( x2 + 4 x + 4 ) = = x4 + 4x3 + 4x2 + 4x3 + 16x2 + 16x + 4x2 + 16x + 16 = P2  Q = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16 grado 4

9 2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 ; ¿qué puede decirse del grado de los siguientes polinomios ? El grado de un producto de polinomios siempre va a estar dado por la suma de los grados de los polinomios a) P · Q Si P es gr(4) y Q es gr(3) P · Q es gr (7) La potencia de un polinomio será otro polinomio cuyo grado es el grado del polinomio base multiplicado por el exponente b) P3 Si P es gr(4) P3 es gr (4 · 3) = 12 c) P + Q El grado de la suma de dos polinomios será igual al grado del polinomio de mayor grado ó eventualmente menos (si los términos de mayor grado se anulan entre sí) Si P es gr(4) y Q es gr(3) P + Q es gr (4) ó menor d) P3 + Q4 Si P es gr(4) P3 es gr(12) y si Q es gr(3) Q4 es gr(12) P3 + Q4 es gr (12) ó menor

10 3 a) si P = a  x3 - a  x + 2 para hallar a tal que P(2) = - 1
debemos especializar el polinomio por x = 2 Esto es colocar el valor 2 en cada uno de los lugares que ocupa x en el polinomio e igualamos a - 1 P = a  x3 - a  x + 2 = a  23 - a  2 + 2 = - 1 resolvemos despejando a a  8 - a  2 + 2 = 8 a – 2 a + 2 = 6 a + 2 = - 1 Las raíces de un polinomio son los valores de x que hacen el polinomio igual a 0 6 a = 6 a = - 3 a = - 1/2 b) P = x2 + 2  x + a es tal que 0 es una de sus raíces P = x2 + 2  x + a =  0 + a = 0 Entonces cuando x = 0 ; P = 0 a = 0 3 c

11 c) Si P = a  x2 - a  x + 6 satisface que P(-1) = 6 y gr(P) = 2
Para x = - 1 P = a  x2 - a  x + 6 = a  (-1)2 - a  (-1) + 6 = a  12 + a  = 2 a + 6 = 6 pero . . . 2 a = 6 - 6 entonces a = 0 y resulta que P no es de grado 2; en consecuencia no existe el valor de a buscado Si a = 0 P = 0  x2 - 0  x + 6 = 6

12 Algoritmo del cociente de polinomios
Para dividir un polinomio planteamos el esquema de la división entre números enteros por un polinomio 4 5 buscamos un valor que multiplicado por el coeficiente principal de P2 + - + - + - + + + 2 x2 resulte igual en valor absoluto al an de P1 y ése es el coeficiente principal del polinomio cociente 2  1 = 2 Multiplicamos el monomio así formado por cada término de P2 y los resultados encolumnamos debajo de P1 con los términos de igual grado y le agregamos como factor x elevado a un valor tal, que multiplicado por el grado de P2 resulte del mismo grado que P1 +  + = + para restar coloco - +  - = - para restar coloco + +  + = + para restar coloco - Luego viene la colocación del signo, operamos en cada caso respetando la regla de los signos, y luego para restar cambiamos el signo que resulta buscando que al operar el primer término se anule

13 Y empezamos de nuevo el procedimiento
Ahora sumamos Bajamos el término de mayor grado de P1 que todavía no se operó, con su signo Y empezamos de nuevo el procedimiento 2 x2 + 7 x + 11 - + - Resultado : - + - resto De manera que: C  P2 + R = P1

14 Y empezamos a operar nuevamente
4) Para dividir por Examinamos P y Q, y hallamos que ambos son polinomios incompletos entonces los completamos con términos de coeficientes nulos Hacemos el esquema del cociente entre polinomios y operamos colocamos los signos de manera que al cambiar para restar, el primer término del resultado se anule - - - + + sumamos . . . - - - bajamos a con su signo Y empezamos a operar nuevamente

15 Y empezamos a operar nuevamente
4) Para dividir por Examinamos P y Q, y hallamos que P es un polinomio incompleto entonces lo completamos con términos de coeficientes nulos Hacemos el esquema del cociente entre polinomios y operamos colocamos los signos de manera que al cambiar para restar, el primer término del resultado se anule + + - - + - 2 sumamos . . . bajamos 0x2 con su signo - - Y empezamos a operar nuevamente otra vez . . . + - + - - 3

16 Y empezamos a operar nuevamente
5) para determinar k tal que sea divisible por por buscaremos el cociente P / Q, y al resto lo igualamoa a cero. Entonces podremos decir que P es divisible por Q Hacemos el esquema del cociente entre polinomios y operamos - + - bajamos 3 + + Y empezamos a operar nuevamente - + - Para que P sea divisible por Q, el resto debe ser 0 Ambos términos deben ser 0; y esto se logra con

17 6) es divisible por (x + 4) ; entonces Si P es divisible por (x+4); -4 es raíz del polinomio; luego si especializo el polinomio por –4, tendrá resultado 0 entonces Si al dividir por (x-2) se obtiene resto -18 entonces Con los resultados obtenidos componemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Se puede escribir Se puede escribir El sistema será:

18 En el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,
Verificamos que las ecuaciones estén ordenadas, de manera que las incógnitas queden encolumnadas y los términos independientes en el 2º miembro Y resolvemos por cualquiera de los métodos conocidos (determinantes, sustitución, etc.) El polinomio es:

19 7) P = a x2 + b x + c tiene a 1 y a 0 como raíces
Si 1 y 0 son raíces del polinomio; si especializo el polinomio por 1 y 0 respectivamente, tendrán resultado 0 entonces entonces Se verifica la condición siempre que c= 0 y a=b pero tienen signos diferentes b) Si P = x2 - b x + a y Q = a x3 – b para hallar valores de a y b que tengan a 2 como raíz común Conformamos el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

20 Y resolvemos el sistema aplicando sustitución
Sustituimos este resultado en la primera ecuación y tenemos entonces Ahora que conocemos el valor de a, podemos buscar el valor de b, haciendo: Los polinomios buscados resultan ser:

21 El resultado será un polinomio C de grado n – 1
Regla de Ruffini 8b Al dividir un polinomio 8c 8e por un polinomio Q de grado 1 de la forma x -  9 10 El resultado será un polinomio C de grado n – 1 Aplicamos la siguiente regla : Se trazan dos rectas se escriben los coeficientes del polinomio P en orden de grado decreciente Se ubica convenientemente el valor  y se procede con el siguiente algoritmo Bajamos el coeficiente principal an como cn-1 multiplicamos cn-1 x  y colocamos debajo de an-1 Sumamos an-1+ cn-1 y multiplicamos ese resultado cn-2 x  y colocamos debajo de an-2 Y repetimos sucesivamente el procedimiento hasta terminar de operar los coeficientes an an-1 an-2 a2 a1 a0  cn-1 cn-2 c2 c1 c0 cn-2 cn-3 c1 c0 r cn-1

22 En el esquema an an-1 an-2 a2 a1 a0 cn-1 cn-2 c2 c1 c0 cn-1 cn-2
a2 a1 a0  cn-1 cn-2 c2 c1 c0 cn-1 cn-2 cn-3 c1 c0 r 8a 8b 8c 8e 9 10 Los ci son los coeficientes del polinomio cociente P Q Y r es el resto que resulta de dividir P / Q r C Observe que si P es divisible por Q, r = 0 y también que si r = 0 ;  es raíz del polinomio

23 No todos los p/q tienen que ser necesariamente raíces del polinomio P
Teorema de Gauss Sea 8a 8b Si P admite raíces racionales, éstas raíces serán de la forma 8c 9 donde p es divisor de a0 y q es divisor de an Si P = x3 - 2x2 – x + 2 a0 = y an = 1 p: divisores de 2 son  2 ;  1 q: divisores de 1 son  1 posibles raíces son:  2 ;  1 Es claro que los valores p/q hallados no son necesariamente las raíces, sino que pueden ser raíces, porque, si el polinomio admite raíces racionales, entonces esas raíces son de la forma p/q pero . . . No todos los p/q tienen que ser necesariamente raíces del polinomio P Si las raíces no son racionales; son irracionales o complejas, en ese caso no estarán entre los valores hallados de la forma p/q

24 y las posibles raíces son:  2 ;  1
Para comprobar cuales son raíces y cuales no, una alternativa es especializar en el Polinomio cada uno de los valores de p /q que son posibles raíces. 8a Si P = x3 - 2x2 – x + 2 y las posibles raíces son:  2 ;  1 8b Para x = 2 P = 23 – 2  22 – 2 + 2 = 8 – 8 – = x = 2 es raíz 8c 9 Para x = -2 P = (-2)3 – 2  (-2)2 – (-2) + 2 = - 8 – = -12 x = - 2 no es raíz Para x = -1 P = (-1)3 – 2  (-1)2 – (-1) + 2 = - 1 – = x = -1 es raíz Para x = 1 P = 13 – 2  12 – 1 + 2 = 1 – 2 – = x = 1 es raíz P es polinomio es de grado 3 y tiene entonces tres raíces; por ser las tres raíces racionales, pudieron ser encontradas mediante el Teorema de Gauss Observe también que la aplicación del Teorema de Gauss nos proporcionó una “posible raíz” de la forma p/q; x = -2 que resultó no ser raíz de P Porque el teorema de Gauss proporciona todas las raíces racionales, pero no todas las expresiones p/q tienen necesariamente que ser raíces del polinomio

25 Descomposición de un polinomio en un producto de factores binomiales
Sea 8c 8d 8e 9 Cuyas raíces son 1; 2; 3; n-1; n El polinomio P puede escribirse Observe que si x toma el valor de cualquiera de las raíces i Habrá al menos un factor que será (x - i) = (i - i ) = 0 Haciendo P = 0 Puede suceder que un valor i sea r veces raíz de un polinomio entonces tenemos una raíz múltiple; y suponiendo que 1 es dos veces raíz del polinomio y 2 es tres veces raíz del polinomio y las restantes raíces son simples, el polinomio factoreado será . . .

26 8 a) Para hallar las raíces de
Aplicamos el Teorema de Gauss e identificamos an = y a0 = -1 Los divisores de a0 son p =  1 Los divisores de an son p =  1;  2 Ruffini Gauss Las posibles raíces son de la forma Podríamos especializar el polinomio con cada uno de estos valores, pero estaríamos solamente comprobando si esos valores son o no raíces del polinomio; en cambio si aplicamos la Regla de Ruffini, al verificar una raíz, hallamos también un polinomio de grado inferior que es submúltiplo de P y en consecuencia sus raíces son raíces de P; de manera que si las raíces no fueran todas racionales, vamos situándonos en mejores condiciones para resolver el polinomio, aplicamos entonces Ruffini. El “sentido” de aplicar Ruffini es que si  es raíz del polinomio P, entonces P es divisible por (x - ). Detectamos si  es raíz del polinomio P y al mismo tiempo obtenemos los coeficientes de un polinomio de grado inferior, cuyas raíces son los mismos valores de raíces que nos restan encontrar aún 8 b 8 c 8 d 8 e

27 1 No es raíz del polinomio 2 -1 2 -1
3 Ruffini Gauss 2 1 3 2  0 1 No es raíz del polinomio 2 -1 2 -1 -1 -2 3 -5 2 -3 5 -6  0 -1 No es raíz del polinomio 2 -1 2 -1 1 1 2 2  1/2 ES raíz del polinomio 8 b 8 c 8 d 8 e

28 No es raíz del polinomio 2 -1  0
Hemos encontrado que 1/2 es raíz del polinomio, entonces es posible escribir como Ruffini Gauss 2 2 Buscamos ahora raíces para el polinomio múltiplo de menor grado Factoreo -1 No es raíz del polinomio 2 -1  0 De (2x2 + 2) = 0 despejamos x Entonces: Observe que se cumple que: si P tiene raíces racionales, éstas son de la forma p/q; en este caso existe una raíz racional y dos raíces complejas Las raíces son 1 = 1/2 ; 2 = i ; 3 = -i Como ejercicio te propongo que verifiques los resultados obtenidos asimismo se verifica que: si un número complejo es raíz de un polinomio, su conjugado también es raíz del mismo polinomio. 8 b 8 c 8 d 8 e

29 8 b) Para encontrar las raíces de
Multiplicamos previamente todo el polinomio por 2, para eliminar los coeficientes con forma de fracción y hallamos un polinomio equivalente Ruffini Gauss Factoreo Que este polinomio es equivalente al polinomio dado, significa que sus raíces son las mismas Para aplicar el Teorema de Gauss an = y a0 = -6 p =  1;  2;  3;  6 y q =  1 Aplicando la Regla de Ruffini 1 -6 11 -6 entonces 1 1 -5 6 1 -5 6 Buscamos ahora las raíces de 8 c 8 d 8 e

30 Aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado encontramos las raíces de
Gauss Factoreo x2 = 3 Las raíces de x3 = 2 Son x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3 Comprobamos que las raíces obtenidas son racionales (enteros) y están incluidas entre las posibles raíces de la forma p/q Pero recordemos que este es un polinomio equivalente del que realmente nos interesa, y que hemos comenzado multiplicando por 2 para trabajar “con mas comodidad”; de manera que lo recomponemos dividiendo todo el polinomio factoreado por 2 8 c 8 d 8 e

31 8 c) Al polinomio Le falta el término independiente Podemos comenzar sacando factor común x Ruffini Gauss Encontramos que la primera raíz x1 = 0 (si x = 0 al ser x un factor, se anula toda la expresión) Factoreo Buscamos entonces las restantes raíces en donde an = y a0 = -4 p son divisores de a0 q son divisores de an p =  1;  2;  4 y q =  1 1 1 -4 -4 1 1 -4 -4 1 1 2 -2 -1 -1 4 1 2 1 -2 -6 0 -4 -1 ES es raíz; x2 = -1 No es raíz 8 d 8 e

32 Buscamos ahora las raíces de
entonces Buscamos ahora las raíces de Factoreo despejamos x3 = 2 y x4 = -2 Con x1 = 0 y x2 = -1 hallados el polinomio P se puede factorear (transformarlo en un producto de factores binomiales) 8 d 8 e

33 Polinomio de grado cuatro con los términos de grado 3 y 1 nulos
8 d) Si Polinomio de grado cuatro con los términos de grado 3 y 1 nulos Es posible aplicar la fórmula para la ecuación bicuadrática, que no es otra cosa que: a la fórmula de la ecuación de segundo grado Factoreo Aplicarle nuevamente raíz cuadrada, y así a = 1; b = 3; c= -7/4 Puede factorearse como 8 e

34 Sabiendo por la consigna que i es raíz del polinomio
8 e) Si Entonces –i también es raíz del polinomio; aplicaremos Ruffini para esas dos raíces conocidas y el polinomio de grado 4 quedará reducido a un polinomio de grado 2 Ruffini Factoreo 1 -5 7 -5 6 i i -1 - 5i 5 + 6i -6 1 -5 + i 6 - 5i 6i -i -i 5i -6i 1 -5 6 Finalmente

35 Factorear un polinomio es transformar la expresión
Raíces múltiples Factorear un polinomio es transformar la expresión 9 10 En otra de tipo Donde los i son las raíces del polinomio con 1  i  n Puede suceder que 1 = 2 = 3 entonces diremos que ese valor de 1 es tres veces raíz del polinomio ó lo que es lo mismo 1 es raíz triple de P En un polinomio de grado 8 (que tiene n raíces) pueden haber, por ejemplo 2 raíces dobles, una triple y una simple, en ese caso será 1 es raíz doble 3 es raíz triple 2 es raíz doble 4 es raíz simple

36 9) Para factorear el polinomio x4 - 4 x3 + 6 x2 - 8 x + 8 sabiendo que
9) Para factorear el polinomio x4 - 4 x3 + 6 x2 - 8 x + 8 sabiendo que x = 2 es una raíz doble. Buscamos las restantes raíces aplicando Ruffini Ruffini Factoreo 1 -4 6 -8 8 2 -4 4 -8 Por ser x = 2 raíz doble, volvemos a aplicar Ruffini para x = 2 2 1 -2 2 -4 2 2 4 Ahora despejamos x de la expresión resultante 1 2 Conocidas todas las raíces, factoreamos el polinomio Que también se puede escribir

37 10 a) determinar la multiplicidad de  = 1 en P = (x - 1)2  (x2 - 1)  (x3 - 1)
P es un polinomio de grado 7 porque (x - 1)2 y (x2 - 1) son de grado 2 ; y (x3 - 1) es de grado 3; entonces P es de grado 7 Ruffini Factoreo Significa que P tiene 7 raíces, que pueden repetirse varias veces; o ser todas iguales ó ser todas diferentes, etc. Acá x = 1 es dos veces raíz del polinomio Analizamos por separado cada factor (x - 1)2 = (x - 1) (x - 1) acá x = 1 es una vez más raíz del polinomio (x2 - 1) = (x – 1 ) (x + 1) también x = -1 es raíz del polinomio 1 es nuevamente una vez mas raíz del polinomio En x3 – 1 1 -1 1 1 1 1 Resolviendo x2 + x + 1 = 0 se obtienen las restantes raíces 1 1 1 10 b

38  = 1 es cuatro veces raíz de P; el orden de multiplicidad de =1 es 4
Resolviendo P = x2 + x + 1 = 0 con la fórmula de la ecuación de segundo grado Resolvemos con a = 1; b= 1; c=1 Para a x2 + b x + c = 0 Factoreo Diferencia de cuadrados P = (x - 1)2  (x2 - 1)  (x3 - 1) es  = 1 es cuatro veces raíz de P; el orden de multiplicidad de =1 es 4 10 b

39 10 b) Para determinar la multiplicidad de  = 0 en
Factoreamos P y obtenemos Factoreo Con seguridad el factor No tiene raíz Podemos afirmar entonces que el orden de multiplicidad de la raíz  = 0 en Es k = 3

40 Relaciones entre Raíces y Coeficientes
Dado un polinomio Es posible establecer relaciones entre las raíces i y los coeficientes ai de P 11a 11b 11c Con raíces 1; 2; 3; n-1; n 1 + 2 + 3 + n-1 + n = La suma de las raíces es igual al segundo coeficiente cambiado de signo, dividido por el coeficiente principal 1  2 + 1   n-1  n = 1  2   n-2  n-1  n = La suma de los productos binarios de las raíces es igual al tercer coeficiente, dividido por el coeficiente principal 1  2  3      n-2  n-1  n = Análogas reglas valen para las sumas de los productos ternarios, cuaternarios, etc, con signos – ó + alternativamente El producto de las n raíces es igual al término independiente dividido por el coeficiente principal, con signo + ó -, según que n sea par o impar, respectivamente

41 11) a) Sea P = 2 x x x - 6 ; hallar todas sus raíces sabiendo que el producto de dos de ellas es 1. Por ser P de grado 3, sabemos que P tiene 3 raíces Por relaciones entre raíces y coeficientes 1  2  3      n-2  n-1  n = 3 1  2  3 = 1  2  3 = 3 pero 1  2 = 1 entonces 1  3 = 3 3 = 3 Aplicamos Ruffini con la raíz conocida 2 -11 17 -6 ahora resolvemos la ecuación 3 6 -15 6 x1 = 2 2 -5 2 Factoreando x2 = 1/2 Te propongo la verificación de los resultados, que consiste en efectuar el producto de los factores binomiales y obtener el polinomio P 11 b 11 c

42 Si las raíces de P deben ser opuestas 1 = - 2
11 b i) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x con m  0, determinar m para que las raíces de P sean opuestas Si las raíces de P deben ser opuestas 1 = - 2 Aplicando relaciones entre raíces y coeficientes 1 + 2 = en nuestro caso 1 + 2 = pero por otro lado, sabemos que 1 + 2 = - 2 + 2 = 0 Entonces podemos escribir 1 + 2 = entonces m  0 y Verificamos para m = 1 Igualando el polinomio a 0 y despejando x tengo las raíces 11 c

43 Si las raíces de P deben recíprocas
11 b ii) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x con m  0, determinar m para que las raíces de P sean recíprocas Si las raíces de P deben recíprocas Aplicando relaciones entre raíces y coeficientes 1  2 = en nuestro caso pero por otro lado, sabemos que 1  2 = 1  2 = Entonces podemos escribir 1  2 = 1 con m  0 y Verificamos para Igualando el polinomio P a 0 y aplicando la fórmula que resuelve la ecuación de 2º grado 11 c

44 P tiene dos raíces (grado 2) y si las raíces son iguales 1 = 2
11 b iii) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x con m  0, determinar m para que las raíces de P sean reales e iguales P tiene dos raíces (grado 2) y si las raíces son iguales 1 = 2 En la fórmula que resuelve la ecuación de 2º grado hacemos Para que al quedar como soluciones solamente sean 1 = 2 Resuelvo ahora la ecuación de 2º grado 11 c

45 11 c i) Para hallar las raíces de P = 2 x3 - x2 - 18 x + 9 sabiendo que 1 + 2 = 0
Planteamos Pero si 1 + 2 = 0 Aplicamos Ruffini entonces Podemos escribir 2 -1 -18 9 1 -9 Buscamos las restantes raíces 2 -18 Factoreando Entonces 1 = y 2 = - 3 Recuerde que se trata de un polinomio no mónico (an  0 ) El polinomio factoreado tiene como factor el coeficiente principal

46 11 c) ii) Para hallar las raíces de P = x3 + 2 x2 + 3 x + 2 sabiendo que 1 = 2 + 3
Planteamos Pero si 1 = 2 + 3 Aplicamos Ruffini entonces luego Buscamos las restantes raíces 1 2 3 2 -1 -1 -2 -1 1 1 2 La raíz cuadrada de un número negativo es un número imaginario, que lo resolvemos calculando la raíz cuadrada del valor absoluto y agregamos el imaginario i Factoreando

47 Lo esencial es invisible a los ojos
Vamos ! ! ! Que falta menos ! ! ! Lo esencial es invisible a los ojos A. De Saint Exupery Así como el hierro se oxida por falta de uso, así también la inactividad destruye el intelecto. Leonardo Da Vinci.