RADICALES DÍA 04 * 1º BAD CS

Raíz de un número EXPRESIÓN RADICAL índice n √ a = r raíz radicando √ a = r si se verifica que r = a, siendo n > 1 un número natural.

RADICALES EQUIVALENTES Si se multiplica o divide el índice y el exponente del radicando por un mismo número distinto de 0, la raíz no varía. Ejemplos: 4 3.4 12 √ 2 8 = [ Multiplicamos por 3 ] = √ 2 3.8 = √ 2 24 4 4/2 2 √ 2 8 = [ Dividimos entre 2 ] = √ 2 8 / 2 = √ 2 4 = √ 2 4 6 6/3 2 √ 2 3 = [ Dividimos entre 3 ] = √ 2 3/3 = √ 2 1 = √ 2 Nota: Cuando el índice, n, es 2 se omite su escritura.

FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES EXPRESIÓN EN POTENCIA DE UN RADICAL n m m / n √ a = a Una expresión radical siempre se puede expresar como una potencia, donde el exponente va a ser una fracción tal que el denominador, n, es el índice del radical. Ejemplos: 3 5 5 / 3 5 1 / 5 √ 2 = 2 ; √ 7 = 7

PROPIEDADES DE LOS RADICALES n.p n 4 2.2 √ap = √a  Ejemplo: √ 9 = √ 32 = √ 3 PROPIEDAD 2: n n 4 4 √ap = ( √a )p  Ejemplo: ( √ 5 ) 2 = √ 52  Contraejemplo: ( √ (- 3) ) 2 <> √ (- 3)2 PROPIEDAD 3: m n m.n 3 6 √ ( √ a ) = √ a  Ejemplo: √ (√ 3 ) = √ 3

PROPIEDAD 4: n n n 4 4 4 4 √a. b = √a √b  Ejemplo: √ 6 = √ 2.3 = √ 2. √ 3 PROPIEDAD 5: n n n 3 3 3 3 √a / b = √a / √b  Ejemplo: √ 2 = √ 6 / 3 = √ 6 / √ 3

Ejemplo 1 3 3 3 1/3 3 √ 2 . √ 4 = √ 2.4 = √ 8 = 2 Ejemplo 2 7 7 7 7 7 7 7/7 1 √ 512 : √ 4 = √ (512 : 4) = √ 128 = √ 2 = 2 = 2 = 2 Ejemplo 3 3 3 3 3 3 3 3/3 1 √ 81 : √ 3 = √ (81 : 3) = √ 27 = √ 3 = 3 = 3 = 3

Ejemplo 4 3 5 √ 2 . √ 4 Como no tienen el mismo índice no se pueden multiplicar. Hacemos radicales equivalente de forma que tengan el mismo índice ( el mínimo común múltiplo de los índices, el 15): 3 15 5 √ 2 = √ 2 5 15 3 √ 4 = √ 4 Ahora y se pueden multiplicar 15 5 15 3 15 5 3 15 5 6 15 11 √ 2 . √ 4 = √ (2 . 4 ) = √ 2 . 2 = √ 2

Ejemplo 5 12 4 3 √ 2 . √ 2 . √ 2 Como no tienen el mismo índice no se pueden multiplicar. Hacemos radicales equivalente de forma que tengan el mismo índice ( el mínimo común múltiplo de los índices, el 12): 12 12 √ 2 = √ 2 4 12 3 √ 2 = √ 2 3 12 4 Ahora ya se pueden multiplicar 12 12 3 12 4 12 3 4 12 8 6 4 3 2 3 √ 2 . √ 2 . √ 2 = √ 2. 2 . 2 = √ 2 = √ 2 = √ 2 = √ 4

Ejemplo 6 3 2 3 2 3 ( √ 2 ) = √ 2 = √ 4 Ejemplo 7 5 2 5 4 2 5 8 5 5 3 5 3 ( √ 81 ) = √ (3 ) = √ 3 = √ 3 . 3 = 3. √ 3 = Ejemplo 8 3 3.2 6 √ (√ 2) = √ 2 = √ 2

OPERACIONES CON RADICALES EXTRACCIÓN DE FACTORES Siempre que se pueda es muy conveniente extraer factores de un radical. Para ello se factoriza el radicando y se buscan potencias con el mismo índice de la raíz. Ejemplo 1: 3 3 2 3 3 2 √ 108 = √ 2 . 3 = 3 . √ 2 Ejemplo 2: 4 4 10 4 4 4 2 4 2 √ 1024 = √ 2 = √ 2 . 2 . 2 = 2.2. √ 2 = 4. √ 2

Ejemplo 3: 5 5 5 5 √ 1 / 32 = √ 1 / 25 = ( 1 / 2 ). √ 1 / 1 = (1 / 2). √ 1 = 1 / 2 El 2 sale fuera de la raíz. Pero como estaba dividiendo, sale dividiendo. Ejemplo 4: 3 3 √ 8 / 27 = √ 23 / 33 = 2 / 3 El 2 sale fuera de la raíz, pero como estaba multiplicando sale multiplicando. El 3 sale fuera de la raíz, pero como estaba dividiendo sale dividiendo. Ejemplo 5: 4 4 4 4 √ 32 / 81 = √ 25 / 34 = √ 2.24 / 34 = (2 / 3). √ 2

SUMA DE RADICALES Para que se puedan sumar convenientemente dos o más radicales, deben tener el mismo índice y el mismo radicando. 3 √ 2 + √ 5  No se pueden sumar. Habría que dejar indicada la suma. 3 3 √ 2 + √ 5  No se pueden sumar Habría que dejar la suma indicada. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 √ 2 + √ 16 = √ 2 + √ 2.8 = √ 2 + √ 2.2 = √ 2 + 2 √ 2 Sacando factor común a √ 2 tenemos: 3 3 √ 2 . ( 1 + 2 ) = 3 . √ 2

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES Caso 1 Hay raíces cuadradas en el denominador. Procedimiento: Se multiplica numerador y denominador por dicha raíz cuadrada. Ejemplo: 3 3. √2 3. √2 3. √2 ----- = --------- = -------- = ------- √2 √2. √2 (√2)2 2 6.√2 6.√2.√3 6.√6 6.√6 -------- = ----------- = -------- = --------- = 2. √6 √3 √3.√3 (√3)2 3

Caso 2 Hay raíces de índice n <> 2 en el denominador. Procedimiento: Se multiplica numerador y denominador por la raíz de índice n elevada a la potencia complementaria. Ejemplo: 3 3 3 3 5 5. √ 22 5. √ 22 5. √ 22 5. √22 3 ----- = --------- = -------------- = --------- = --------- = 2,5. √22 3 3 3 3 3 √2 √2. √22 √(2.22) √23 2 5 5 5 6.√2 6.√2.√33 6.√2. √33 6.√2. √33 5 -------- = ------------- = ----------- = ------------- = 2.√2.√33 5 5 5 5 √32 √32 √33 √ 35 3

Caso 3 Hay sumas o diferencias en el denominador en las cuales intervienen raíces cuadradas: Procedimiento: Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. Ejemplo: 5 5. (3 + √2) 5.(3 +√2) 15 + 5.√2 -------- = ----------------------- = -------------- = -------------- 3 - √2 (3 - √2).(3 + √2) 9 - 2 7 √2 √2.(√3 - √2) √6 - 2 √6 - 2 ----------- = ------------------------- = ----------- = ------------- = √6 – 2 √3 + √2 (√3 + √2).(√3 - √2) 3 – 2 1