SISTEMA DE COORDENADAS POLARES Curvas notables del sistema Integrales SISTEMA DE COORDENADAS POLARES Curvas notables del sistema

Habilidades Representa puntos del plano en coordenadas polares. Reconoce las diferentes formas de expresar un punto en coordenadas polares. Deduce la relación entre el sistema cartesiano y el sistema polar. Reconoce y grafica ciertas curvas notables en coordenadas polares.

Sistema de coordenadas Polares Imaginemos que se quiere determinar el área de un placa delgada limitad por las ecuaciones:

Problema Una piscina tiene una sección que sigue el perfil de la región interior a la cardioide y exterior a la curva . Si “ r ” está dado en metros, calcule la cantidad de agua necesaria para llenar la piscina hasta una profundidad de 1,5m.

Coordenadas Polares (r; θ) de un Punto P Emplea distancias y direcciones. r es la distancia de O a P. P (r, θ) θ es el ángulo entre el eje polar y el segmento OP. r θ θ es positivo si se mide en dirección contraria a las manecillas del reloj. Eje Polar Polo θ en radianes.

Coordenadas Polares (r; θ) de un Punto P θ P(r,θ) r Cuando medimos en la dirección dada por θ, contraria al segmento OP, podemos escribir -r, luego Q(-r; θ) = Q(r; θ + Π) se define como el punto que se encuentra a r unidades del polo en la dirección opuesta a la que da θ. Q(-r,θ)

En coordenadas polares cada punto tiene muchas representaciones x y 1 En el sistema coordenado cartesiano, todo punto tiene sólo una representación. En coordenadas polares cada punto tiene muchas representaciones . 2 Es decir, el punto en coordenadas polares (r; θ), se representa también por

Conexión entre el sistema Polar y el sistema cartesiano De la grafica observe que: Si P es un punto cuyas coordenadas polares son (r; θ) entonces, las coordenadas rectangulares (x; y) de P serán: y x r P(x; y) P(r; θ) θ Estas ecuaciones permiten hallar las coordenadas cartesianas de un punto cuando se conocen las coordenadas polares. Para hallar las coordenadas r y θ cuando se conocen x e y, se usan las ecuaciones Si x=0, el ángulo es Π/2 ó - Π/2, según sea y>0 ó y<0

Gráficas de Ecuaciones Polares La grafica de una ecuación polar r = f(θ), o de manera más general F(r; θ), consta de los puntos P que tienen al menos una representación polar (r; θ) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. Ejemplo: Trace la gráfica de la ecuación r = 3 x2 + y2 = 9 1 2 3 4 5 6

Ejemplo: Identificar y hacer la gráfica de la ecuación: q = p/4 y q = p/4 tan q= tan(p/4) q = p/2 q = p/4 q = 3p/4 x q = p q = 0 1 2 3 4 5 q = 7p/4 q = 5p/4 q = 3p/2

¿La gráfica pasa por el polo? Resuelve: f() = 0. Si existe al menos un valor para el ángulo , la gráfica sí pasa por el polo (0; ). ¿Cuales de las siguientes gráficas cuyas ecuaciones polares se dan, pasan por el polo? r = 2 sen r = 2 + sen

(r ; q) (r ; -q) o q -q Simetría Si una ecuación no cambia al sustituir θ por –θ, la gráfica es simétrica respecto al eje polar o (-r ; q) (r ; q) Si una ecuación no cambia al sustituir r por –r, la gráfica es simétrica respecto al polo. (r ; p-q) (r ; q) p - q -q Si una ecuación no cambia al sustituir θ por Π – θ, la gráfica es simétrica respecto a la recta vertical q = Π/2 (eje y)

Algunas curvas polares comunes Círculos Cardiodes En general, la gráfica de cualquier ecuación de la forma

Encontrar el área de la región R que se encuentra fuera de la curva . Encontrar el área de la región R que se encuentra fuera de la curva y dentro de la curva .

Calcula el área de la región interna a las curvas y

Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart Ejercicios 10.3 Pág. 647 – 648: 2, 4, 6, 8, 16, 18, 24, 30 y 32.