Tema III Determinantes MATEMÁTICAS A. CS II Tema III Determinantes @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES TEMA 3.2 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. REGLA DE SARRUS REGLA DE SARRUS El valor de un determinante es la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal principal (de izquierda a derecha), menos la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal secundaria (de derecha a izquierda). Cada elemento aij del determinante formará parte de un producto positivo y de un producto negativo. Para determinantes [2x2]: |A| = a11.a22 - a12.a21 Para determinantes [3x3]: |A| = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 - - a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a11.a23.a32 Para determinantes [nxn] en general: Se procede a desarrollar, como veremos más adelante, el determinante dado en función de una sola fila o columna, resultando al final del proceso determinantes 2x2 o/y 3x3 únicamente. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROPIEDADES PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES I.- Si en un determinante intercambiamos filas por columnas, su valor no varia. II.- Si todos los elementos de una fila o columna son ceros, su valor es nulo. III.- Si en un determinante se permutan dos filas o dos columnas, su valor cambia de signo. IV.- Si un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales o proporcionales, su valor es cero. V.- Si todos los elementos de una fila o de una columna se multiplican por un número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número. VI.- Si todos los elementos de una fila o columna son suma de dos (o más) términos, el determinante es igual a la suma de dos (o más) determinantes. VII.- Si todos los elementos de una fila o columna se suman a los correspondientes de otra multiplicados por un número, el valor del determinante no varía. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROPIEDADES PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES I.- Si en un determinante intercambiamos filas por columnas, su valor no varia. EJEMPLO 1 4 1 3 2 2 5 = 16 + 5 + 18 – 6 – 4 – 60 = 39 – 70 = – 31 1 3 2 Intercambiamos filas por columnas. Que a efectos prácticos significa hallar el valor del determinando de la matriz transpuesta. 4 2 1 1 2 3 = 16 + 5 + 18 – 6 – 4 – 60 = 39 – 70 = – 31 3 5 2 Vemos que es el mismo. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROPIEDADES EJEMPLO 2 0 1 3 2 0 5 = 0 + 5 – 6 – 0 + 4 – 0 = – 1 + 4 = 3 1 -1 -2 Intercambiamos filas por columnas. Que a efectos prácticos significa hallar el valor del determinando de la matriz transpuesta. 0 2 1 1 0 -1 = 0 – 6 + 5 – 0 – 0 + 4 = – 1 + 4 = 3 3 5 -2 Vemos que es el mismo. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROPIEDADES PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES II.- Si todos los elementos de una fila o columna son ceros, su valor es nulo. EJEMPLO 1 4 1 3 2 2 5 = 0 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 = 0 – 0 = 0 0 0 0 EJEMPLO 2 4 0 1 1 0 3 = 0 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 = 0 – 0 = 0 3 0 2 Vemos que siempre es cero al aplicar la Regla de Sarrus. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROPIEDADES PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES III.- Si en un determinante se permutan dos filas o dos columnas, su valor cambia de signo EJEMPLO 1 4 1 3 2 2 5 = 16 + 5 + 18 – 6 – 4 – 60 = 39 – 70 = – 31 1 3 2 Permutamos dos filas: F1 con F2. 2 2 5 4 1 3 = 4 + 6 + 60 – 5 – 16 – 18 = 70 – 39 = + 31 Vemos que su valor a cambiado de signo. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROPIEDADES EJEMPLO 2 1 1 0 2 -2 1 = 0 + (-1) + 0 – 0 – 3 – 0 = – 1 – 3 = – 4 -1 3 0 Permutamos dos columnas: C1 con C3. 0 1 1 1 -2 2 = 0 + 0 + 3 – 0 – 0 – (-1) = 3 + 1 = + 4 0 3 -1 Vemos que su valor a cambiado de signo. Nota: Si permutamos dos veces filas o columnas, el valor del determinante no varía. 1 0 1 -2 1 2 = (– 1) + 0 + 0 – 3 – 0 – 0 = – 1 – 3 = – 4 3 0 -1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROPIEDADES PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES IV.- Si un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales o proporcionales, su valor es cero. EJEMPLO 1 Veamos con un determinante que tiene dos filas iguales: 4 -1 3 2 2 5 = 24 + (-20) + (-6) – 24 – (-20) – (-6) = – 2 – (-2) = 0 EJEMPLO 2 Veamos con un determinante que tiene dos columnas proporcionales: 4 3 2 2 2 1 = 16 + 12 + 0 – 16 – 0 – 12 = 28 – 28 = 0 4 0 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROPIEDADES PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES V.- Si todos los elementos de una fila o de una columna se multiplican por un número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número. EJEMPLO 1 4 1 3 2 2 5 = 16 + 5 + 18 – 6 – 4 – 60 = 39 – 70 = – 31 1 3 2 Multiplicamos por 3 los elementos de la segunda fila 6 6 15 = 48 + 15 + 54 – 18 – 180 – 12 = 117 – 210 = – 93 Vemos que su valor es el triple que antes. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROPIEDADES EJEMPLO 2 1 1 0 2 -2 1 = 0 + (-1) + 0 – 0 – 3 – 0 = – 1 – 3 = – 4 -1 3 0 Multiplico por (-5) los elementos de la primera columna. -5 1 0 -10 -2 1 = 0 + 0 + 5 – 0 – 0 – (-15) = 5 + 15 = + 20 5 3 0 Vemos que su valor queda multiplicado por (- 5). Nota: Si multiplicamos sucesivamente las filas o columnas por constantes, el valor del determinante queda multiplicado sucesivamente por dichas constantes: Nota: Si multiplicamos las tres filas o columna por un número, k, el valor del determinante queda multiplicado por k3, no por k. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROPIEDADES EJEMPLO 3 Demuestra, sin desarrollar, que el valor del siguiente determinante es múltiplo de 6 2 6 -2 2 -3 5 = |A| -1 9 0 Todos los términos de la primera fila son múltiplos de 2. Saco el 2 como factor común: 1 3 -1 2 x 2 -3 5 = |A| = 2 x |A´| -1 9 0 Todos los términos de la segunda columna son múltiplos de 3. Saco el 3 como factor común: 1 1 -1 2 x 3 x 2 -1 5 = |A| = 6 x |A”| -1 3 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROPIEDADES PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES VI.- Si todos los elementos de una fila o columna son suma de dos (o más) términos, el determinante es igual a la suma de dos (o más) determinantes. EJEMPLO 1 Desdoblamos la primera columna: 7 1 3 4 1 3 3 1 3 13 2 5 = 8 2 5 + 5 2 5 11 3 2 6 3 2 5 3 2 Por Sarrus: 28+55+117-66-105-26 = 200 – 197 = 3 16+30+72-36-60-16 = 118 – 112 = 6 12+45+25-30-45-10 = 82 – 85 = – 3 Efectivamente 3 = 6 + (– 3) ; 3 = 6 – 3 ; 3 = 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROPIEDADES PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES VI.- Si todos los elementos de una fila o columna son suma de dos (o más) términos, el determinante es igual a la suma de dos (o más) determinantes. EJEMPLO 2 Desdoblamos la segunda fila: 7 1 3 7 1 3 7 1 3 13 2 5 = 8 5 0 + 5 -3 5 11 3 2 11 3 2 11 3 2 Por Sarrus: 28+55+117-66-105-26 = 200 – 197 = 3 70+72+0-165-0-16 = 142 – 181 = – 39 (-42)+55+45-(-99)-105-10 = 58 – 16 = 42 Efectivamente 3 = – 39 + 42 ; 3 = 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROPIEDADES PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES VII.- Si todos los elementos de una fila o columna se suman a los correspondientes de otra multiplicados por un número, el valor del determinante no varía. EJEMPLO 1 A la primera fila la sumamos el doble de la segunda fila: 2 1 3 2+2x1 1 3 4 1 3 3 2 5 = 3+2x2 2 5 = 7 2 5 1 3 2 1+2x3 3 2 7 3 2 Por Sarrus: 8+5+27-6-30-6 = 40 – 42 = – 2 16+35+63-42-60-14 = 114 – 116 = – 2 Efectivamente los resultados son iguales. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PROPIEDADES PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES VII.- Si todos los elementos de una fila o columna se suman a los correspondientes de otra multiplicados por un número, el valor del determinante no varía. EJEMPLO 2 Demostrar, sin desarrollar, que el valor de los siguientes determinantes es el mismo: 2 1 3 2 1 213 3 2 5 = 3 2 325 1 3 2 1 3 132 Aplicando la propiedad correspondiente: A la tercera columna la sumo 10 veces la segunda y 100 veces la primera. 2 1 3 2 1 3+10x1+100x2 3 2 5 = 3 2 5+10x2+100x3 1 3 2 1 3 2+10x3+100x1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.