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Apuntes 2º Bachillerato C.T.
MATEMÁTICAS II Tema IV Determinantes @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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4. DETERMINANTES Determinantes. Determinantes de orden dos y de orden tres. Propiedades de los determinantes. Cálculo del valor de un determinante de cualquier orden por el desarrollo de los elementos de una línea, por el método de Gauss y por el método pivotal. Cálculo de la matriz inversa. Rango de una matriz. EJERCICIOS DEL LIBRO PROBLEMAS DEL LIBRO @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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DETERMINANTES TEMA * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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DETERMINANTE Determinante de una matriz cuadrada de orden n es el conjunto de nxn números ordenados de igual manera que en la matriz. En cuanto a su notación, sirve cambiar los paréntesis de la matriz por dos rayas verticales que comprendan dicho conjunto de números, ordenados en n filas y en n columnas. Ejemplo: |A| = Un determinante de orden 4 (4x4) será |A| = [Cuatro filas x cuatro columnas] @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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REGLA DE SARRUS REGLA DE SARRUS El valor de un determinante es la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal principal (de izquierda a derecha), menos la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal secundaria (de derecha a izquierda). Cada elemento aij del determinante formará parte de un producto positivo y de un producto negativo. Para determinantes [2x2]: |A| = a11.a a12.a21 Para determinantes [3x3]: |A| = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 - - a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a11.a23.a32 Para determinantes [nxn] en general: Se procede a desarrollar, como veremos más adelante, el determinante dado en función de una sola fila o columna, resultando al final del proceso determinantes 2x2 o/y 3x3 únicamente. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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MENOR NO NULO MENOR DE UN DETERMINANTE Se llama menor de un determinante nxn (n filas y n columnas) a cualquier otro determinante (n – k)x(n – k) que se pueda formar con parte de los elementos del primero, de forma que coincidan el índice i (de las filas) o el índice j (de las columnas). Ejemplo Sea el determinante 3x3: a a12 a13 |A| = a a22 a23 a a32 a33 Menores de dicho determinante serán, entre otros: a a a11 a a22 a23 a a22 , a a , a32 a , a , a , etc. Se llamará MENOR NO NULO si su valor es distinto de cero. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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Determinante de orden 2 Sea el determinante de orden 2 Habrá únicamente 2 productos posibles: a11.a22 y a12.a21 El primer producto es positivo y el segundo negativo. El valor del determinante será: |A| = a11.a a12.a21 Ejemplo |A| = |A| = 2.5 – (- 4).3 = 10 – (- 12) = = 22 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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Determinante de orden 3 Sea el determinante de orden 3 1 2 3 |A| 4 5 6 7 8 9 Por la Regla de Sarrus |A| = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 - - a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a11.a23.a32 |A| = – – – = = – 105 – 72 – 48 = 225 – 225 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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RANGO DE UNA MATRIZ Es el orden del determinante de mayor menor no nulo de dicha matriz. El mayor determinante que podemos formar en de orden 3 (3x3). Como mucho su Rango vale 3 ; Rang (A) = 3 Ya vimos que |A| = 0, por lo que su rango no puede ser 3. Tomamos un determinante cualquiera de orden 2 |A| = |A|= 5 – 8 = – 3 <> 0 , luego Rang A = 2 Sea la matriz 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.
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