@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II TEMA 1 Sistemas de ecuaciones lineales.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II TEMA 1 Sistemas de ecuaciones lineales

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.2 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN TEMA 1.7 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Es similar al método de Gauss. Se emplea en la resolución de sistemas lineales de tantas ecuaciones como incógnitas. Se emplean las mismas reglas de sistemas equivalentes que en el Método de Gauss. OBJETIVO: Conseguir que los coeficientes de la diagonal principal de un sistema sean unos y el resto de los coeficientes valgan cero. Sea: a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” Opero mediante el Método de Gauss, obteniendo: a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g h.z = j

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 Aplico el método de Jordan: Resto a la 2º fila la 3º fila multiplicada por f / h Resto a la 1º fila la 3º fila multiplicada por c / h Queda: a.x + b.y = k + e.y = p h.z = j Resto a la 1º fila la 2º fila multiplicada por b / e Queda: a.x = q  x = q / a e.y = p  y = p / e h.z = j  z = j / h MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5 Aplicación de Gauss-Jordan 1.-Una empresa fabricó tres tipos de estanterías: A, B y C. Para ello se utilizaron unidades de madera, plástico y aluminio, tal como figura en la siguiente tabla: TIPOS MADERA PLÁSTICO ALUMINIO A1 unidad1 unidad2 unidades B1 unidad1 unidad3 unidades C1 unidad2 unidades5 unidades La empresa tenía en existencia 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1500 de aluminio. Sabiendo que utilizó todas sus existencias, calcular cuántas estanterías de cada tipo fabricó.

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6 RESOLUCIÓN: Llamemos x, y, z al número de estanterías de tipo A, B y C respectivamente. El sistema de ecuaciones quedará así: x+ y+ z= 400 x+ y+2z= 600 2x+ 3y+ 5z= 1500 Lo resolvemos utilizando la matriz ampliada, compuesta por los coeficientes y los términos independientes: 1 11 400 1 12 600 2 35 1500

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.7 Aplicando el método de Gauss: A la tercera fila o ecuación la resto dos veces la primera fila o ecuación. F3 = F3 – 2F1 A la segunda fila o ecuación la resto la primera fila o ecuación. F2 = F2 - F1 111400 001200 013700 Permutamos las dos últimas filas: 111400 013700 001200 Vemos que el sistema ha quedado escalonado.

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 Aplicando el método de Jordan: A la primera fila o ecuación la resto la tercera fila o ecuación. F1 = F1 – F3 A la segunda fila o ecuación la resto tres veces la tercera fila o ecuación. F2 = F2 – 3.F3 1 10 200 0 10 100 0 01 200 Por último a la primera fila la resto la segunda. F1 = F1 – F2 100100x = 100 010100y = 100 001200z = 200 Vemos que x = 100, y = 100, z = 200

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.9 Aplicación de Gauss-Jordan 2.-La suma de las tres cifras de un número es 14. La cifra de las centenas y la de las decenas suman la de las unidades. Si invertimos el orden de las cifras el número aumenta en 396 unidades. ¿De qué número se trata?. Resolución: Sea N = zyx el número pedido Sea x = la cifra de las unidades. Sea y = la cifra de las decenas. Sea z = la cifra de las centenas. Tenemos: x+y+z = 14  x + y + z = 14 z+y=x  x – y – z = 0 xyz=zyx+396  100.x+10.y+z = 100.z + 10.y + x + 396

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.10 El sistema de ecuaciones quedará así: x + y + z= 14 x – y – z= 0 99.x – 99.z= 396 Lo resolvemos utilizando la matriz ampliada, compuesta por los coeficientes y los términos independientes: 1 11 14 1 -1-1 0 99 0-99 396 Aplicando el método de Gauss: F3 = F3 – 99F1 y F2 = F2 - F1 11114 0 – 2 – 2 – 14 0 – 99 – 198 – 990

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11 Dividiendo entre - 2 la segunda y entre – 99 la tercera, queda: 1 1 114 0 1 1 7 0 1 2 10 A la tercera fila o ecuación la resto la segunda fila o ecuación. F3 = F3 – F2 11114 0117 0013 Aplicando el método de Jordan: A la primera fila la resto la segunda y a la segunda la resto la primera: 1007  x = 7 0104  y = 4 0013  z = 3 Solución: N = 347