Sesión 14.3 Vectores en el espacio. 1

Vectores en el espacio El concepto de vector en el plano se puede extender de manera natural, con ligeros cambios, en el espacio. Los vectores tienen tres componentes en lugar de dos y al igual que en el plano, el conjunto de segmentos dirigidos de rectas (o flechas) son vectores. 2

Vectores en el espacio Se definen: El vector v = v1; v2; v3 Vectores unitarios canónicos i, j, k: Vector cero o nulo: v1; v2; v3 x y z v1 v2 v3 v i j k El vector v = v1; v2; v3 i = <1; 0; 0> j = <0; 1; 0> k = <0; 0; 1> 0 = <0; 0; 0> v = v1; v2; v3 = v1i + v2j + v3k 3

Vectores en el espacio El vector v que está representado por la flecha que va de P a Q es: z Q3 v = PQ = OQ - OP Q k P2 Q2 j y i P1 v Q1 P3 x P 4

Vectores en el espacio Un vector v se puede multiplicar por un escalar c de la de la siguiente manera: cv = cv1; v2; v3 = cv1; cv2; cv3 v cv 0 < c < 1 cv c > 1 cv c < -1 cv -1 < c < 0 5

Vectores en el espacio: Propiedades 6

Vectores en el espacio: Propiedades Si u, v y w son vectores y c es un número real, se cumple que: u  v = v  u u  (v + w)= u  v + u  w c(u  v) = (cu)  v = u  (cv)  u v 0  u = 0 donde  es el ángulo que forman los vectores u y v 7

Vectores en el espacio: Propiedades Si u y v son vectores no nulos Son perpendiculares sí y solo sí u  v = 0 La medida del ángulo que forman se puede calcular a partir de la ecuación:  u v 8

Ejercicio de cálculo con vectores Resuelva según el caso 3-2; 1; 4 6; 0; -7 + -5; 5; 8 1; -3; 4 – -2; -4; 5 |2; 0; -6| 5; 3; -1  -6; 2; 3 9

Producto vectorial Dado los vectores El producto cruz o vectorial u  v es: Para ayudarnos a recordar la fórmula, usaremos la notación de determinante: Ejemplo Si u = 4; -1; 2 y v = 1; -3; 2, halle u  v. 10

Propiedades del producto vectorial Si u, v y w son vectores y c es un número real, se cumple que: u  v = – (v  u) c(u  v) = (cu)  v = u  (cv) 0  u = u  0 = 0 u  (v + w) = u  v + u  w (v + w)  u = v  u + w  u 11

Propiedades del producto vectorial Respecto a los vectores unitarios i, j, k se tiene que: x y z i j k i  j = k j  k = i k  i = j 12

Características del producto vectorial El producto u  v es ortogonal a u y v. u  v v  u Si  es el ángulo entre u y v (0     ), entonces: u v |u  v| = |u||v| sen b área= b x h = |u||v|sen = |u  v| 13

Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Ejercicios: 22, 24, 26, 28, 30, 32 y 34 de la página 693. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle. 14