Sesión 11.3 Números complejos.

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1 Sesión 11.3 Números complejos

2 Información del curso Tareas: ingresar al Aula Virtual e imprimir.
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3 Habilidades Define un número complejo.
Suma, resta y multiplica números complejos de la forma a + ib. Define el conjugado de un número complejo. Divide números complejos de la forma a + ib. Resuelve ecuaciones cuadráticas y reconoce cuando sus soluciones son complejas. Expresa un número complejo en su forma trigonométrica y binómica.

4 Habilidades Expresa un número complejo en forma trigonométrica partiendo de la gráfica en el plano complejo. Multiplica, divide, potencia y saca raíces de números complejos en su forma trigonométrica.

5 Números complejos Un número complejo es cualquier número que puede escribirse en la forma Re Im a bi Z=a+bi donde a y b son reales. El número real a es la parte real, el número b es la parte imaginaria y a + bi es la forma estándar.

6 Operaciones con números complejos
Sean a + bi y c + di son dos números complejos, entonces: Suma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Resta: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i Considerando que: Multiplicación: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

7 Ejemplos Escriba la suma o diferencia en la forma estándar.
(2 - 3i) + (3 - 4i) (2 + i) - (9i - 3) ( i) + ( ) ( + i2) – ( ) Escriba el producto en la forma estándar. (2 - i)(1 + 3i) (5i - 3)(2i +1) ( i) + (6 + 5i) 8.

8 Conjugado complejo El conjugado complejo del número complejo
z = a + bi es: z = a + bi = a - bi Así mismo, el inverso multiplicativo o recíproco de z = a + bi es:

9 División de números complejos
Escriba los números complejos en la forma estándar. 1. a) b) 2. 3. 4.

10 Soluciones complejas de ecuaciones cuadráticas
La solución de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0, están dadas mediante la fórmula: El radicando b2-4ac es el discriminante, y si este valor es menor que cero, entonces las raíces serán conjugados complejos.

11 Ejemplos Resuelva: 2. 3. 1.

12 Trazo de números complejos
Trace en el plano complejo u = 1 + 3i, v = 2 - i y u + v. Compárelo con la traza de vectores. u = 1 + 3i Eje real o v = 2 - i Eje imaginario u + v = 3 + 2i o v = 2; -1 y u + v = 3; 2 u = 1; 3 x La aritmética es la misma que la suma de vectores.

13 Forma trigonométrica de los números complejos
Eje imaginario Eje real r=|z| a = r cos  b = r sen z = a +bi La forma trigonométrica del número complejo z = a + bi es Donde: r es el módulo de z y  es un argumento de z r = |z| = |a + bi| =

14 Ejemplos Determine la forma trigonométrica con 0 ≤  ≤ 2 para el número complejo:  ’ Eje imaginario Eje real  ’ Eje imaginario Eje real

15 Ejemplos Determine la forma binomial para el número complejo de la forma trigonométrica: c) d) Note el uso de los grados sexagesimales y radianes

16 Multiplicación y división de números complejos.
Sean: Entonces: 1. 2.

17 Teorema de Moivre Para elevar un número complejo z = r(cos + isen) a una determinada potencia n entera positiva, entonces: Determine mediante el teorema de Moivre: 1. 2.

18 Raíces de números complejos
Para determinar las raíces enésimas de un número complejo Si z = r(cos + isen) Los n números complejos distintos son: donde k = 0, 1, 2, 3, n-1 Son las n-ésimas raíces del número complejo z.

19 Ejemplos Determine las raíces n-ésimas de las siguientes números complejos y grafíquelos. Raíces cuartas de z = 5(cos(/3) + i sen((/3)). Raíces cúbicas de z = -1. Raíces octavas de la unidad.

20 Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Ejercicios: 6, 10, 16, 22, 24, 30, 36, 42, 50, 58, 66 y 70 de la página 559. Ejercicios: 80, 82 y 84 de la página 560. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle.