VECTORES EN EL PLANO PEDRO GODOY G. 2012. SANTIAGO MIAMI MADRID A B C Un avión puede volar de Santiago a Madrid haciendo una escala técnica en Miami,

Presentación del tema: "VECTORES EN EL PLANO PEDRO GODOY G. 2012. SANTIAGO MIAMI MADRID A B C Un avión puede volar de Santiago a Madrid haciendo una escala técnica en Miami,"— Transcripción de la presentación:

1 VECTORES EN EL PLANO PEDRO GODOY G. 2012

2 SANTIAGO MIAMI MADRID A B C Un avión puede volar de Santiago a Madrid haciendo una escala técnica en Miami, sin embargo, se puede ahorrar combustible y contaminar menos la atmosfera, si el viaje se hace directamente, sin escalas, de Santiago a Madrid.

3 Asi tenemos que Def: Un vector es un segmento dirigido que tiene un origen y un extremo.

4 Características del vector El MODULO de un vector, es la longitud de este, lo representamos como DIRECCION : es la dirección de la recta que lo contiene. Si dos vectores son paralelos tienen la misma dirección.

5 SENTIDO es el que va del origen al extremo, lo representamos por la punta de la flecha. Una dirección tiene dos sentidos. Vectores equipolentes: Son aquellos que tienen la misma dirección, el mismo sentido, y el mismo módulo.

6 Vector libre: Es el conjunto formado por un vector y todos los vectores equipolentes a el.

7 Suma geométrica de un vector: Para sumar dos vectores u y v podemos hacerlo de dos maneras 1.- Desde un punto cualquiera del plano colocamos un vector equipolente a u del extremo de este colocamos otro vector que sea equipolente a v de manera que coincidan el extremo del primero con el origen del segundo. La suma es el vector que tienen como origen el origen del primero y como extremo el extremo del segundo. u v u+v

8 2.- Ley del paralelogramo: Formamos un paralelogramo con dos vectores equipolentes a los dados de forma que coincidan los orígenes y la suma es la diagonal del paralelogramo tomando como origen de los vectores equipolentes elegidos

9 OBS: Si a es un vector cualesquiera entonces –a es un vector con la misma dirección, el mismo módulo pero no el mismo sentido. a -a a ka

10 Resumiendo, multiplicar un vector por un número k equivale a alargar (o encoger) su módulo tantas veces como indica el valor absoluto de k, e invertir su sentido si k es negativo. El número k por el que se multiplica un vector recibe el nombre de escalar.

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12 Propiedad conmutativa

13 Propiedad distributiva

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16 Dados los vectores a y b es posible obtener gráficamente lo siguiente

17 EJERCICIO: Dados los vectores Aplicando la regla del paralelogramo dibuja en tu cuaderno los vectores

18 Base: Dos vectores cualesquiera del plano con distinta dirección forman una base porque nos permiten expresar cualquier otro Vector como combinación lineal de ellos a b v De este modo se verifica que v = xa + yb A los números (x, y) se les llama coordenadas de v respecto de la base

19 Obs: Se le llama base canónica a dos vectores perpendiculares y modulo unidad Se anotan por { i, j } siendo i y j los vectores citados. Sistema de referencia en el plano. Es el conjunto formado por: - Un punto fijo O, llamado origen. Tomando la base canónica B= {i, j} como base habitual, un sistema de referencia queda expresado en la forma siguiente Dado un sistema de referencia, a cada punto P del plano se le asocia un vector OP que recibe el nombre de vector de posición

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21 Es decir, las coordenadas de i son (1, 0) las coordenadas de j son (0, 1) Podemos, por tanto, expresar i y j en función de sus coordenadas. I =(1, 0) j = (0. 1) En el caso de v y w será: v = 3i +4j = (3, 4); w =9i +5j = (9, 5) En general, si v =xi + yj, podemos poner v = (x, y) donde x e y son las coordenadas del vector.

22 OBS. Si A (a,b) y B(c,d) son dos puntos del plano, entonces el vector asociado es

23 Operaciones con vectores expresados en coordenadas de una base canónica. Suma:

24 Vemos que las coordenadas de u+v se obtienen sumando las coordenadas de u y v En general, si y entonces,

25 PRODUCTO

26 Si a es un vector cualquiera, y k es real Si k > 0 entonces Ka es un vector que tiene la misma dirección, y sentido Si k < 0 entonces Ka es un vector que tiene la misma dirección, y cambia de sentido a ka K>0 b kb K<0

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29 Sea v = xi + yj y u = ai + bj entonces el producto v  u = (xi + yj )(ai + bj )=xaii+xbij+ yaji + ybjj Pero ii = 1, ij = ji=o y jj= 1 Tenemos que v  u= (x,y)(a,b)= xa + yb Ejemplo : v  u = (2,3)  (4,5)= 8 + 15 = 23 Obs : v  u = u  v

30 OBS: Si u  v = 0 entonces u y v son vectores perpendiculares u v

31 VECTOR UNITARIO Luego se cumple la relación O bien

32 Proyección de vector sobre otro Al proyectar el vector sobre la dirección del Vector ; obtenemos: Proyección de sobre : medida del segmento Vector proyección de sobre =

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35 Operaciones básicas de determinantes ++ + - --

36 VECTORES EN EL ESPACIO

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40 Modulo de un vector

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