UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TACHIRA UNIDAD DE ADMISION CURSO PROPEDEUTICO ASIGNATURA FISICA Prof. Juan Retamal G.

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TACHIRA UNIDAD DE ADMISION CURSO PROPEDEUTICO ASIGNATURA FISICA Prof. Juan Retamal G. e-mail vretamal@unet.edu.ve San Cristóbal, Táchira

2 ¥ PRIMERA SEMANA ¥ Sistema de coordenadas y Marcos de referencia ¥ Magnitudes escalares y vectoriales ¥ Componentes de un vector ¥ Vectores unitarios ¥ Operaciones con vectores (suma resta, productos) SISTEMAS DE COORDENADAS Y MARCOS DE REFERENCIA Sistema de Coordenadas Unidimensional Definición: Cuando a cada punto de una recta L se asocia uno y sólo un número real o cuando a cada número real se le asigna uno y sólo un punto de la recta L L 0 1 2345-2-5-3-4 4.5 -2.5 0.2 

3 Sistema de Coordenadas Bidimensional Definición: Cuando a cada punto P del plano se le asocia uno y sólo un par de valores, denotados por la forma (a,b). P1P1 (a 1,b 1 ) P2P2 (a 2,b 2 ) P3P3 (a 3,b 3 ) Primera Coordenada Segunda Coordenada Primera Coordenada Segunda Coordenada a 1, a 2, a 3 son números reales que pertenecen al conjunto de las primeras coordenadas b 1, b 2, b 3 son números reales que pertenecen al conjunto de las segundas coordenadas

4 X 0 12345 -2-5-3-4 1 2 3 4 5 -2 -5 -3 -4 Y Sistema de Coordenadas Cartesiano Definición: Sistema coordenado bidimensional formado por dos ejes coordenados unidimensionales, dispuestos perpendicularmente e interceptados en el origen de ambos ejes El eje horizontal se llama eje de las Abscisas y se le suele designar por la letra X Al eje vertical se llama eje de las Ordenadas y se le suele designar por la letra Y A cada punto P del plano se le asigna, uno y sólo un, par de valores de la forma (x,y), donde la coordenada x representa el valor sobre el eje de las abscisas y la coordenada y representa el valor sobre el eje de las ordenadas. Gráficamente se representa por: P (a,b) (1,3) (3,2)(-5,2) (2,-3) (-2,-4) a b Links de interés: http://www.edumedia.fr/animation-CartesienPolaire-Es.html

5 X 0 12345 -2-5-3-4 1 2 3 4 5 -2 -5 -3 -4 Y Marcos o Sistemas de Referencia Definición: Conjunto formado por un Objeto Material y un Sistema Coordenado Objetos Materiales Sistemas Coordenados

6 0 X Y Siempre elija el más adecuado a la situación

7 Magnitud Escalar Aquellas que quedan definidas por una cantidad numérica y una unidad de medida. Se representan analíticamente por: Valor numérico + Unidad de medida Ej: 5 Kg Tiempo Rapidez Media Rapidez Instantánea Masa Voltaje Capacidad Corriente eléctrica Resistencia eléctrica Potencia Trabajo Tarea: completar el listado mientras se realiza el curso Magnitud Vectorial Aquellas que quedan definidas por una dirección, un sentido, una cantidad numérica y una unidad de medida Se representan gráficamente por flechas Ej: Se representan analíticamente por: Sentido, módulo, dirección, unidad de medida Ej: Desplazamiento Velocidad media Velocidad Instantánea Aceleración media Aceleración Instantánea Fuerza Cantidad de Movimiento Intensidad de Campo Eléctrico MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

8 VECTORES y OPERACIONES VECTORIALES Vector Definición: Aquellas magnitudes que quedan definidas por una dirección, un sentido, una cantidad numérica y una unidad de medida sentido módulo dirección Nota: dependiendo de la magnitud física que este representando el vector, será la unidad de medida que lo acompañe A B

9 Vector Fijo Definición: Dados dos puntos del plano A y B, se llama vector fijo al segmento AB, cuyo origen es el punto A y su extremo es el punto B, siendo estos invariantes. AB A B Punto fijo Extremo Punto fijo Origen Links de interés: http://www.edumedia.fr/animation-VecteurCoord-Es.html http://www.educaplus.org/movi/1_3componentes.html

10 Vector Nulo Definición: Cuando en un vector el punto de origen A, coincide con el punto extremo B, se define el vector nulo. AB Vectores Equipolentes Definición: Dos vectores fijos no nulos son equipolentes si: tienen igual sentido, módulo, dirección y unidad de medida Vectores iguales

11 Vectores Opuestos Definición: Dos vectores no nulos son opuestos si tienen: sentidos opuestos, igual módulo, igual dirección e igual unidad de medida. Vectores opuestos Vectores Libre Definición: Un vector que al ser trasladado paralelamente a sí mismo, no cambia de sentido, módulo, dirección y unidad de medida.

12 SUMA DE VECTORES Definición: Sean los vectores y se define el vector suma como: Analíticamente: Gráficamente:

13 SUMA DE VECTORES Propiedades de la suma: Sean los vectores se demuestran las siguientes propiedades para la suma vectorial Links de interés: http://www.educaplus.org/modules/wfsection/article.php?articleid=13http://www.educaplus.org/modules/wfsection/article.php?articleid=13

14 EJEMPLO DE SUMA DE VECTORES Desarrollo 1. Calcular el vector resultante (vector suma) expresado utilizando los vectores unitarios correspondientes al sistema cartesiano El vector resultante es:

15 EJEMPLO DE SUMA DE VECTORES Sean los vectores realizar las siguientes operaciones

16 EJEMPLO DE SUMA DE VECTORES

17 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR Definición: El producto de un escalar por un vector no nulo, es otro vector de módulo, que tiene la misma dirección e igual unidad de medida Analíticamente: Gráficamente:

18 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR Propiedades del producto de un escalar por un vector: El producto de un escalar por un vector no nulo, es otro vector que presenta las siguientes propiedades:

19 EJEMPLOS DE PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR Desarrollo 2. Dado el vectordeterminar La ponderación de un vector por un escalar posee la propiedad distributiva, sobre sus componentes por lo que:

20 VECTOR UNITARIO Definición: Si es un vector no nulo, entonces el vector, es un vector unitario con la misma dirección y unidad de medida que el vector original, es decir es un vector de módulo uno y se cumple: Gráficamente: Analíticamente:donde

21 Se define el vector unitario sobre el eje Y como: VECTORES UNITARIO CARTESIANOS Vector unitario para el eje X Sea un vector sobre el eje X, determinar un vector unitario a partir de él Vector unitario para el eje Y Sea un vector sobre el eje Y, determinar un vector unitario a partir de él Se define el vector unitario sobre el eje X como:

22 Desarrollo 3. Hallar el vector unitario de Por definición el vector unitario asociado a un vector dado, es: EJEMPLOS DE VECTORES UNITARIO CARTESIANOS

23 RESTA DE VECTORES Definición: Sean los vectores y se define el vector resta como: Analíticamente: Gráficamente: Links de interés: http://www.usd.edu/%7Etamarghe/flash/vectors.htmlhttp://www.usd.edu/%7Etamarghe/flash/vectors.html

24 Desarrollo 4. Para los vectores a) b) c) Un vector unitario paralelo al vector suma d) Un vector unitario paralelo al vector resta a) EJEMPLOS Determinar: b)

25 EJEMPLOS c) d)

26 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES (Producto punto) Definición: Sean los vectores y se define el producto escalar como: donde Propiedades del producto escalar: Si el ángulo es 90°, Si el ángulo es 0°,

27 EJEMPLOS DEL PRODUCTO ESCALAR Desarrollo 5. Determinar el ángulo que forma el vector con el eje OX, y el valor de su El ángulo que forma un vector con los semiejes positivos del sistema cartesiano esta determinado por el valor de los cosenos directores, por lo que: Y el valor de la proyección sobre el semieje X positivo es por definición 6. Calcula el producto escalar de los vectores Por definición el producto escalar de los vectores es: proyección sobre dicho eje.

28 EJEMPLOS DEL PRODUCTO ESCALAR 7. Determinar el ángulo que forman los vectores Desarrollo

29 APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR Determinar el producto escalar para cada uno de los vectores de la figura

30 PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES (Producto cruz) Definición: Sean los vectores y se define el producto vectorial como: donde Regla de la mano derecha

31 Propiedades del producto vectorial: PRODUCTO VECTORIAL

32 X Y Z Aplicación a los ejes cartesianos APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL

33 EJEMPLOS DEL PRODUCTO VECTORIAL Desarrollo 8. Hallar un vector unitario perpendicular a los vectores. Un vector perpendicular a los vectores es dado por el producto cruz entre ellos. El vector unitario asociado al producto vectorial es Y a partir de este se puede determinar un vector unitario, que por ende es perpendicular a los vectores dados, es decir:

34 Aplicación al Movimiento Circunferencial Uniforme APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL

35 EJEMPLOS DE OPERACIONES CON VECTORES 9. Para los vectoresDeterminar: Desarrollo Nota: a los vectores se les denominan las componentes del vector

36 EJEMPLOS DE OPERACIONES CON VECTORES 10. Para los vectores Determinar: Desarrollo

37 EJEMPLOS DE OPERACIONES CON VECTORES

38 11. Un vector es un segmento de línea recta que tiene módulo, dirección y sentido. El sentido lo indica a) La línea que soporta el vector b) La longitud del vector c) El punto de aplicación del vector d) La punta de la Flecha en uno de sus extremos Desarrollo En un vector, el módulo queda determinado por el tamaño de la flecha, la dirección por la inclinación de la flecha y el sentido por la punta de la flecha La respuesta correcta es la alternativa b)

39 EJEMPLOS DE OPERACIONES CON VECTORES Desarrollo 12. El resultado obtenido al realizar el producto escalar de dos vectores, es un: a) Vector b) Angulo c) Número d) Punto en el plano El producto escalar ( ) siempre da como resultado un número El producto vectorial ( x ) siempre da como resultado un vector La respuesta correcta es la alternativa c)

40 EJEMPLOS DE OPERACIONES CON VECTORES 13. Dado el vector de módulo 6 unidades. Si es el vector unitario del vector El valor de es: Desarrollo La respuesta correcta es la alternativa d)

41 EJEMPLOS DE OPERACIONES CON VECTORES 14. Al efectuar los productos el resultado es igual a: Desarrollo La respuesta correcta es la alternativa d)

42 EJEMPLOS DE OPERACIONES CON VECTORES Desarrollo 15. ¿En qué caso el producto escalar de dos vectores no nulos es máximo? Sean los vectores no nulos, por definición su producto escalar es: dado que la función coseno toma valores entre ella será máxima cuando su valor sea +1, por lo que el producto escalar de los vectores será: Desarrollo 16. ¿En qué caso el producto vectorial de dos vectores no nulos es mínimo? Sean los vectores no nulos, por definición su producto vectorial es: dado que la función seno toma valores entre ella será mínima cuando su valor sea 0 (cero), por lo que el producto vectorial de los vectores será:

43 EJEMPLOS DE OPERACIONES CON VECTORES Desarrollo 17. ¿El módulo de la suma de dos vectores dados siempre será menor que el módulo de la diferencia de esos vectores? Para los vectores La suma y el módulo son respectivamente y La diferencia y el módulo son respectivamente y Al comparar ambos módulos se deduce que:  El módulo de la suma es mayor que el de la diferencia, si los vectores forman ángulos menores a 90°  El módulo de la suma es igual al de la diferencia, si ellos son perpendiculares.  El módulo de la suma es menor que el de la diferencia, si los vectores forman ángulos mayores a 90° y menores a 180°

44 EJEMPLOS DE OPERACIONES CON VECTORES Desarrollo 18. ¿En que casos el módulo de la suma de dos vectores coincide con la suma de los módulos de los vectores que se suman? Para los vectores El módulo del vector es El módulo del vector es El módulo de la suma es  De la comparación de los módulos se deduce que el modulo de la suma será igual al modulo de la suma de los vectores, cuando alguno de los vectores sea el vector nulo.

45 EJEMPLOS DE OPERACIONES CON VECTORES Desarrollo 19. Un vectortiene componentes (1; 2; 3). Otro vectortiene módulo y componenteDeterminarpara que sea perpendicular al vector El problema se reduce a determinar las componentes del vector que cumplan las condiciones planteadas en el ejercicio, es decir: i) ii) Del desarrollo de las dos ecuaciones planteadas, se llega a los valores posibles de las coordenadas del vector, que serian dos soluciones: b) a)

46 EJEMPLOS DE OPERACIONES CON VECTORES Desarrollo 20. ¿Cuál debe ser el valor de m para que el vector forme un ángulo de 60º El ángulo que forma un vector con los semiejes positivos del sistema cartesiano vienen dados por los cosenos directores, en tal caso para el semieje Y positivo será: resolviendo la ecuación se obtienen: forme un ángulo de 60º con el semieje Y positivo?

47 EJEMPLOS DE OPERACIONES CON VECTORES Desarrollo 21. Dados los vectores Calcular a) su producto escalar b) el ángulo que forman c) los cosenos directores del vector a) b) c)

48 EJEMPLOS DE OPERACIONES CON VECTORES Desarrollo 22. Siendo los vectores y sabiendo que y además el módulo de su suma vale 9. Determinar A x y B x. i) ii) Resolviendo ambas ecuaciones se obtiene para las coordenadas X de los vectores: ii) i)

49 EJEMPLOS DE OPERACIONES CON VECTORES Desarrollo 23- Dados los vectores calcular b) Área del paralelogramo formado por ambos vectores c) Un vector de módulo 3 perpendicular al plano formado por d) a)

50 b) El área del paralelogramo formado con lados iguales al modulo de los vectores, esta dado por el módulo del producto vectorial entre ellos, es decir: c) El vector perpendicular a los vectores, es d) EJEMPLOS DE OPERACIONES CON VECTORES

51 Hasta la próxima clase UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TACHIRA UNIDAD DE ADMISION CURSO PROPEDEUTICO